課堂教學中的目標分裂現象:以小學數學為例

　　一、數學教學的不同目標
　　話說有一位名叫杰克的人，偶爾撿到了一盞古舊的油燈。在擦拭油燈的時候，杰克喚醒了被囚禁在里面的魔鬼。為了表示感謝，魔鬼答應杰克，可以幫他實現三項愿望。可憐的杰克并不知道這個魔鬼是個刻薄鬼。他高興壞了，考慮了半天，提出要魔鬼幫他發現所羅門王的寶藏。魔鬼答應了。可是，出現在杰克面前的是9只一模一樣的密封罐。魔鬼告訴他，除了裝藏寶圖的罐子略微重一點，其余的罐子都一樣重。但是，杰克只能拿走其中一只罐子。魔鬼說，這才算是幫杰克實現了“發現寶藏”的愿望呢。沒有辦法，杰克只能用掉自己的第二項愿望，請魔鬼給他變出一架天平來。天平變出來了，可是魔鬼告訴他，因為這是一項愿望換來的，所以這架天平只能稱一次。杰克一聽就傻眼了，趕忙說：“我要的是別的天平……”還沒等杰克說完，魔鬼又給杰克變出一架來。當然啦，因為這架天平也是用一項愿望換來的，所以也只能用一次。現在，杰克把三項愿望都用光了，但眼前只有2架一次性天平和9只看起來一樣的罐子。請問，杰克能利用這些工具找到那張藏寶圖嗎？（答案在后文揭曉）
　　上面這則“刻薄鬼”的故事，本身是一項數學游戲。為了完成這項數學游戲，玩家至少需要兩方面的準備：其一，玩家要有一些基本的數學運算能力；其二，玩家不能遇到難處就放棄。其實，這兩項準備基本上可以對應數學教學的兩組目標。它們分別是：數學內容目標，這是針對數學學科內容而規劃的目標；數學過程目標，這是針對學生獲得、發展數學知識、數學技能的過程而規劃的目標。[1]對廣大中小學教師來說，第一組教學目標基本上被認為是不言而喻的，第二組目標則不然。
　　這則“刻薄鬼”的故事也告訴我們，為了在生活中具有數學智慧或數學眼光，不僅要準備數學學科知識和技能，而且要有諸如“不放棄”這樣的情意品質。因此，需要教師在教學中，對兩組目標都有所關注。例如，柏拉斯[2]提供的數學教學目標包括：鼓勵學生探索；幫助學生說出自己的數學觀念；向學生展示許多數學問題多于一種答案；通過經驗教學生們細致推理和規范理解的重要性；向學生表明數學是活的、讓人興奮的；幫助所有學生建立學好數學的信心。又例如，伯格和斯塔貝德[3]將自己編寫的數學讀本稱之為“改變生命的課程”。他們為數學制定的目標包括：指向人類最偉大的那些觀念；讓學生體驗思維的勝利；教有力的思考方法；發展探索未知和分析復雜情境的技術；強調發現；培養積極的數學態度。這些目標體系，都已經超越了學科內容目標的范圍。
　　那么，這樣的目標體系，是偶然出現的嗎？并非如此。實際上，在數學教育發展史上，這兩組目標先后都得到了強調。到了今天，對兩組目標的關注，基本上成為數學教育改革的大勢所趨。按照柏拉斯[4]對國際數學教育改革的發展歷程的概括：20世紀60年代的數學教育研究主要關注課程內容的變革。改革者考慮的主要問題包括：應該教什么數學內容？應該按照什么順序來教？用什么教學材料來教？可以說，這時期受關注的教學目標，主要是上述“數學內容目標”。經過70、80年代的持續發展，到了90年代以后，數學教育研究不再強調具體的數學事實和技術，轉而關注學生數學能力的發展，包括提出和解決各種數學相關問題的能力、以數學方式進行推理和溝通的能力、對數學價值和潛能的認同等等。可以說，這時期受到關注的教學目標，已經轉變為“數學過程目標”了。可以說，由數學內容目標向數學過程目標轉向，代表了國際數學教育改革的重要走向。
　　二、數學教學中的目標分裂現象
　　數學教學的不同目標，可以概括為內容目標與過程目標。在數學教學研究領域，這兩組目標都被認為是不可或缺的。而且，許多教師在進行教學設計時，也可以比較自如地從不同角度去設計目標。但是，在實際教學過程中，兩組目標之間往往出現一種相互取消、相互干擾的現象。這就是本文所指的“目標分裂現象”。下文的這兩節數學課，就都遭遇了這種現象。我們以這兩節課為例，嘗試展現這種現象的形態以及形成的原因。
　　1.教例1：方圓世界
　　這節課的教學內容，改編自課本中的隨堂練習。課上教師要帶領小學6年級的孩子們學習圓（C1）及其外切正方形（S1）、內接正方形（S2）三者之間在面積上的對比關系。在此基礎上，進一步掌握S2的內切圓（C2）與C1的面積比，S1與S2的面積比。
　　在教學之前，執教老師做了兩個方面的準備。準備一：教師向孩子們演示“旋轉正方形可以得到圓”（圖1）。孩子們看到，以不同的點和線段來旋轉，可以得到不同的圓（圖1中的虛線圓）。它們分別以正方形的對角線和邊長為直徑和半徑。通過這種旋轉，孩子們可以很清晰地觀察到正方形的對角線、邊長與所形成的圓的半徑之間的關系。準備二：教師帶領孩子們回憶正方形和圓形面積的計算方法。借此，師生共同回憶出計算這兩種圖形面積的關鍵變量是邊長、半徑。
　　完成上述準備以后，教師接著安排了兩個探究環節。探究環節一：教師請孩子們完成工作紙上的探究問題。問題包括：計算已知半徑的圓的面積；計算該圓內的最大正方形和該圓外的最小正方形的面積。在孩子們完成這些計算以后，教師要求他們比較圓與兩個正方形之間的面積比。通過計算，師生共同總結出，圓的面積是圓外最小正方形面積的π/4，圓的面積是圓內最大正方形的π/2。探究環節二：教師呈現日常生活中圓形餐桌配圓形轉盤的問題。要解答其中包含的數學問題，就要求孩子們能夠正確計算已知正方形內的最大圓、已知正方形外的最小圓之間的面積比。通過計算，師生共同總結出，正方形面積是其外部最小圓面積的2/π，正方形面積是其內部最大圓面積的4/π。
　　完成這兩個探究環節以后，教師很自然地推出本節課的難點，要求孩子們比較上述C1與C2、S1與S2之間的面積比。因為黑板上已有兩個實例，孩子們很容易判斷出這兩個面積比都是2倍關系。老師進一步將問題復雜化，向內可以找到的C3、C4……、S3、S4……在相關圖形的面積比上數值不變。向外找到的類似圖形之間，也有這個規律。
　　簡析：這堂課有許多可貴之處。教師對教學內容的深度挖掘，最終通過孩子們積極的學習反應回報給教師。通過教師的細致剖析，原本復雜的數學難題，變得簡單起來。孩子們可以借用已經學習過的面積計算方法，比較容易地解決難題。但是，我們注意到，從探究環節開始，孩子們對探究過程中各個子問題的解答，就都是通過計算得到的。例如，孩子們在找到π/2、π/4、2/π、4/π幾對關系之前，是先計算所比較圖形的面積。又例如，孩子們找到的C1與C2、S1與S2的面積比，也是利用黑板上的記錄推導出來的。在這些計算和歸納的過程中，孩子們要做的只是找到待計算圖形的邊長、半徑（或直徑），然后根據相應的面積公式進行運算。在這個過程中，教師使用了本課開始所做的第二項準備。教師始終沒有提示孩子們，利用圖形的旋轉來找到邊長、半徑的關系。
　　2.教例2：周長問題
　　這節課的教學內容，也是對課本的再加工。課上老師要帶領小學3年級的孩子們學會計算復雜拼圖的周長問題。在課上，教師為孩子們準備了4塊正方形學具，以幫助孩子們完成兩項學習任務：既能夠計算出自己拼出的圖形的周長，也能夠根據周長拼出合乎要求的圖形。
　　在教學之前，教師對孩子們已掌握的內容做了復習。教師向孩子們演示在計算周長時可以“通過移動化繁為簡”（圖2）。孩子們已經很熟練地掌握了長方形周長的計算方法。通過這項演示，孩子們進一步鞏固了通過移動化繁為簡的周長計算方法。通過頭腦中想象的線段平移，孩子們很容易發現，圖2中的4個陰影圖形的周長都相同。
　　
　　完成上述復習任務以后，教師向孩子們呈現這節課的探究問題：用四個小正方形來拼圖，拼出的圖形，周長最大是多少？周長最小是多少？周長還可以是多少？孩子們拼圖完成后，請他們中的代表向全班報告自己的圖形，并說清楚自己計算周長的方法和結果。
　　在完成這項探究任務的過程中，教師向孩子們介紹了拼合邊的概念。帶領孩子們認識到，圖形的總周長等于四個小正方形的周長總和與拼合邊2倍的差。孩子們了解了拼合邊的概念以后，老師進一步引導孩子們，讓他們應用這條規律，根據所要求的周長，計算出拼合邊的數量，進而指導自己的拼圖。至此，教師和孩子們共同完成了這節課的兩項重要教學目標。
　　完成了這兩項目標以后，教師把問題情境進一步復雜化。參與拼圖的圖形，由正方形變成長方形。并且，教師課前已經把教室里的課桌，按照4張一組的方式，擺在了一起。要求孩子們利用拼合邊的規律，找到自己所在小組的課桌圖形的邊長。
　　簡析：在這節課中，教師通過探究問題，帶領孩子們找到“拼合邊”這個概念。隨后，在解決“根據所需周長來拼圖”的問題時，教師引導孩子們應用“拼合邊”這條規律。基本上，這節課的大半時間，是圍繞著這一規律來進行的，沒有十分關注周長計算方法的練習。一條在課堂上發現的規律，幫助孩子們化繁為簡、變不可能為可能。這對孩子們來說，是一次很好的數學學習體驗。不過，在這節課一開始老師演示的“通過移動化繁為簡”的技巧，在進入“拼合邊”的教學環節以后，就被放棄了。
　　3.目標分裂在課例中的表現
　　首先，關注內容目標，損害了過程目標。在這兩個課例當中，教師對教材的許多深入挖掘，都沒有在教學中充分展開。課例1當中的“旋轉”、課例2當中的“平移”，恰恰是帶有規律性認識、可以化繁為簡的數學要點。為什么會出現這種浪費？原來，教師在帶領孩子們探索、總結這些規律時，需要花費大量的時間進行運算①。在這個過程中，除非孩子們已經充分掌握了計算的技巧，否則他們并不清楚結果怎么來的。譬如，在課例1當中，已知圓的半徑要求計算其內接正方形的面積。在解決這個問題時，有的學生應用了“勾股定理”。這明顯超出了6年級小學生應知應會的范圍。又譬如，在課例2當中，有的學生可以用周長為4的4個小正方形，拼出周長為13的圖形。這對一部分孩子來說，也可能有理解上的難度。教師要幫助孩子們克服這些知識、理解的障礙，可能就要犧牲一些對整體進展的關照。
　　其次，關注過程目標，損害了內容目標。在兩個課例當中，規律性的認識固然可以吸引孩子們，但是卻會對嚴肅的計算構成干擾。譬如，在課例1當中，當教師追問面積為1平方米的正方形，其外接圓的面積是多少時，發生了這樣一段對話。
　　師：“我想知道，為什么要把正方形的面積除以２再乘以π呢？”生：“因為圓與小正方形的比是π比２。小正方形的面積是１平方米，所以這個小正方形外最小圓的面積是1/2再乘以π。”
　　很明顯，孩子們在解答這個問題時，已經理解了這節課待探索的規律之一，即正方形與其外接圓的面積比是2/π。又譬如，在課例2當中，當老師概括出拼合邊的規律以后，孩子們很快就會傾向于用這條規律來解決拼圖問題，而只是在老師要求時才會使用計算或數數的方法來解釋自己的答案。
　　數學課堂教學的內容目標與過程目標之間趨于分裂的現象，向授課老師提出了一個兩難境地。顯然，兩組目標無論哪一方受到損害，都不是老師愿意見到的。那么，有沒有一種能兼顧不同類型目標的思路呢？
　　三、目標分裂現象的實質
　　通過“刻薄鬼”的故事，我們引入了兩組數學教學目標的概念。隨后的敘述、分析和示例顯示，這兩組目標之間存在“目標分裂”的隱憂。并且，這種隱憂往往真的會體現在課堂教學中，并干擾教師的教學。這使得一部分教學目標設計，最終落空或受到干擾。在提出一種可能的解決方案之前，有必要先對這種“目標分裂現象”做一些追本溯源的分析。
　　數學教學中的兩組不同目標，大致可以用一對比喻來分別說明其特點。第一個比喻說的是一個趕著赴重要約會的人。對他來說，準時趕到目的地是當前最重要的目標。至于路上看到什么、發生什么，他并不關心。如果他的司機一時迷了路，他會很惱火。找到正確的路，糾正錯誤，才是他所關心的。第二個比喻說的是一個在陌生城市游覽的游客。對他來說，雖然也有比較明確的游覽線路，但只要沿途足夠精彩，他也會獲得許多游覽的樂趣。對游客來說，一時迷路并不可怕。反而，在發現自己迷路時，他可能還會隱隱期待有意料之外的驚喜出現在眼前。可以說，強調數學知識和技能等內容目標的教師，傾向于把學生理解為趕著赴約的人；而強調教學過程的教師，則更傾向于把學生理解為來自他鄉的游客。
　　在第二個比喻的情境中，迷路的游客需要自己做點什么，以便走出困局。遷移到數學教學中來，這暗示了學生應該是學習過程的主動參與者，而不要時時處處等待老師來幫他們。同時，在第二個比喻當中，迷路的游客一定會有種種情緒體驗。這提醒我們，數學教學過程總是連帶著一些情緒問題，教師在教學中要關注學生的情緒。最后，在第二個比喻當中，迷路游客的最終收獲很可能比預想的要豐富。這提示我們教學過程的潛能，可能要比我們預見的更大。雖然我們還可以引申出更多的喻意，但是無論是主動參與、情緒體驗還是創生，都可以納入數學過程目標的范圍內。也就是說，把學生比作游客的教師，將更傾向于強調數學過程目標。
　　在第二個比喻的情境中，迷路游客的探索，一定不同于各種旅游陷阱。如果這種迷路，意味著要參加一些外界強加的，與游覽的目標一點無關的各種購物，那么，大多數游客恐怕都是會起來反對，而不是欣然接受。
　　利用這一對比喻，我們對“目標分裂”的實質有了基本的認識。原來，所謂的目標分裂，是因為我們把過程目標理解為外加的、與學科無關聯的目標。這就好像旅游過程中的強制購物一樣，往往是不受歡迎的。通過這一對比喻，我們也發現，如果過程目標意味著學科自身內部的一些目標設計，就好像在一個富有文化氣息的城市偶爾迷失路線一樣，這種目標設計反而會受到歡迎。總的來說，目標分裂現象是起源于對過程目標本身的一種不恰當的設計。②
　　四、基于學科特色的解決之道
　　基于上述認識，我們可以提出一種基于學科特色的，解決“目標分裂現象”的方案。基本來說，這種方案就是倡導從學科內部選擇過程目標。可以將學科自身蘊含的思考方式，設定為學科教學的過程目標。這樣，對學科特點的認識，將成為我們設計教學過程目標的知識基礎。例如，對數學學科教學來說，過程目標就來自數學學科自身所倡導的那些思考方式。
　　回過頭來再來考慮“刻薄鬼”這個故事，可能你早已發現，只要杰克把9只罐子分為3只一組，然后再動用天平，就能夠取得成功了。前面提到過，為了找到正確答案，對杰克來說，最困難的不是簡單的計算能力，而是要跟我們一樣能在數學難題面前保持堅韌、積極的態度，同時又有靈活、富有彈性的思維。這些有關態度、思維的目標，是數學學科可以教的嗎？這就要看教師對于數學學科性質的認識了。基本上來說，把數學理解為有單一確定答案的學科，這還是一種比較表層的認識。更為深刻的認識，恐怕是把數學理解為一種認識世界的方法。它是有彈性和富于選擇的。
　　總的來說，我們提供的方案設計，是倡導根據學科思維方式選擇過程目標。讓過程目標真的是學科以內的，而不要是自外部強加于學科教學的。這對教師提出了更高的要求。教師不但要懂得自己所教學科的知識，而且要對這個學科的思維方式有所認識。存在主義教育哲學家格林曾把教師比作“陌生人”而不是“返鄉者”。[5]她希望教師能夠對自己的世界保持警覺、不斷重建。這正是擔心教師在習慣的世界里，喪失反思能力。所以說，我們在這里提出的解決方案，也對教師的反思水平提出考驗。我們一方面感知到在數學、語文、英語等學術性學科中進行價值教學的困難，另一方面又觀察到不同學科出身的人的確有十分不同的看問題和思考問題的方式。為什么會存在這一對看似矛盾的觀察？在我們看來，這證明了兩個事實：其一，學科思維方式，的確對人具有深刻和長遠的影響。其二，在學科價值之外，附加所謂態度、價值觀的教學還沒有找到有效的實施路徑。
　　
　　本文提出的“目標分裂”現象，并不僅限于數學學科。例如，在語文、英語等學科中，有語言技能、語料素材與對語言情感、作品欣賞之間的潛在沖突；在物理、化學等學科中，有科學事實和科學史及科學精神之間的潛在沖突；在藝術類學科當中，有技能、技法與愛好和欣賞之間的潛在沖突。可以說，本文指出的目標分裂現象，幾乎在所有學科中都可能遇到。那么，我們提出的解決路徑，即“挖掘學科自身獨有的思考方式”的觀點，是否也適合其他學科呢？這與在數學學科的情況一樣，都還有待更多的老師參與進來，和我們一同去檢驗。
　　（歡迎各位老師與我分享有價值的課例。通信郵箱：dingdaoyong@bnu.edu.cn）
　　本研究受“中央高校基本科研業務費專項資金資助（項目號：702105562GK）”，受北京建華實驗學校“人生中心教育”研究項目支持。
　　注釋:
　　①俞子夷早年就提出過，在小學數學教學中要多用歸納法，而少用成人所熟悉的演繹法。他的原話是這樣的：“正式的數學，差不多完全是用演繹法推論的。但是小學生的心理，最怕的是演繹的推論。我們成人，做慣了演繹的數學，往往依樣畫葫蘆，用同樣的方法去教小學生，那知他們拒不接受，愈講愈弄糊涂。我們以為學生太笨。其實，還是我們自己不夠聰明。演繹的推論，實在是一種很經濟的辦法。我們從這等推論里，可以發現新的原質，新的行星。但是，在養成這等演繹的推論以前，一定要經過相當的歸納研究。歸納在先，演繹在后，是當然的次序。”[6]直接教規律并用來解題，這是一種演繹的思路；經歷各種錯誤，再找到規律，這就類同于歸納的思路了。
　　②我們樂觀地相信，這個主張從另一個角度，補充了杜威有關自然主義的科目與人文主義的科目之間關系的認識。杜威從自己的哲學觀點出發，主張取消這種學科性質上的二元論，認為：“近代科學的興起就預示著恢復自然和人性的緊密聯系，因為近代科學把自然知識看做取得人類進步和幸福的手段。”[7]這種觀點基本上還是在教育哲學層面的討論。對于如何實現內容與方法的統一，還沒有給出教學上的解決方案。我們的主張，為學科內容目標與學科過程目標的整合提供路徑。這是實現“自然主義學科”的“人文性”的一種途徑。
　　參考文獻：
　　[1]Ern