對圖形折疊問題的思考

摘　要：折疊型問題立意新穎、變換巧妙，對培養學生的識圖能力，提高學生良好的空間觀念和靈活運用數學知識解決問題的能力都有非常重要的作用。在解決有關折疊的問題時可以充分運用軸對稱的思想和軸對稱的性質，運用所學的三角形相似、三角形全等、勾股定理、方程思想等數學知識來解決。折疊問題使我們充分體會到了數學的“趣味美”“對稱美”和“變幻美”。

關鍵詞：折疊；軸對稱；思想方法

新的數學課程標準中，明確倡導“在數學學習過程中，學生的情感態度體現在課堂學習的全過程中。學生學習數學的過程應是一個有效的、主動從事數學活動的興趣過程”。初中階段的數學學習主要是培養學生的思維能力，發展學生的智力。教師應讓學生逐步樹立空間觀念和形成空間思維能力，即根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體。

近幾年來，各地中考數學試題中常常出現折疊問題，折疊型問題立意新穎、變換巧妙，對培養學生的識圖能力，提高學生良好的空間觀念和靈活運用數學知識解決問題的能力都有非常重要的作用。

數學中圖形的折疊問題，題型多樣，變化靈活。本人就如何解決折疊問題談一些自己的體會。我覺得折疊問題主要包括三個類型方面的問題：

一、動手操作型問題

此類問題主要考查學生動手操作的能力，它包括裁剪、折疊、拼圖，它既考查學生的動手能力，又考查學生的想象能力，使學生的各類知識能更好地融合在一起。

在初三中考復習《四邊形》專題時，結合折疊問題，在上課一開始，我就和同學們進行互動。首先，我手拿一張三角形紙片，把紙片先沿BC邊上的高折疊，折痕是AD，垂足為D；接著把△ABC往下翻折，使A與D重合，折痕是EF。如圖所示，試問：（1）四邊形BEFC是什么特殊四邊形？（2）如果四邊形BEFC是等腰梯形，則原△ABC需要滿足什么條件？

接著，請同學們思考一下，如何把剛才這張紙片折成一個菱形？如果要把這張紙片折成一個正方形，又應該如何進行折疊呢？是否應該對原三角形增加條件呢？課堂上，可以讓學生進行實際操作，利用小組合作交流的形式共同完成。

在課堂上一邊提出問題，一邊讓學生動手實踐，由學生揭示折疊問題的本質和規律。（1）圖形經過翻折后，兩個重合的部分是全等形。（2）折痕是對應點連線的中垂線。通過兩個三角形紙片折疊問題，提高了學生動手操作的能力，體驗到了成功的喜悅。

二、計算和證明類問題

此類問題大體包括：

1.利用圖形折疊的性質，計算線段的長度或者圖形的面積等等

例如，圖一中P是以AB為直徑的半圓上的一點，PA＝4，AB＝10，將半圓折疊使弦PA正好落在AB上，試求出折痕AC的長。

分析：根據折疊的性質可得∠1=∠2，CQ=CP。根據圓中的相關性質可得CP=BC，∠BCA=90°

∴CB=CQ，在等腰△BCQ中，過點C作CD⊥BQ，可得BD=DQ

∴在Rt△ABC中，利用射影定理可求出AC的長。

2.利用折痕的特殊性解決相關問題

折疊問題中的折痕所在的直線就是對應線段的對稱軸。它垂直平分對應點的連線，且它到對應點的距離是相等的。

例如，圖二中矩形紙片ABCD，其中AB=4　cm，BC=6　cm，點E是BC的中點，將紙片沿直線AE折疊，使B落在梯形AECD內，記為點P，試求出線段PC的長度。

分析：解決此題可以充分利用折疊后線段相等的特點，連接BP，∵E是BC的中點，∴BE=CE，根據折疊的性質可得：PE=BE=CE，∴點B、P、C是在以E為圓心，BE為半徑的圓弧上，∴△BPC是直角三角形，其中∠BPC=90°，易知△BPC∽△ABE，容易求出PC=■　cm。

另解：連接BP，∵AE是折痕，∴AE垂直平分BP，即點F是BP的中點，又∵E是BC的中點，∴線段EF是△BCP的中位線，∴PC=2EF，要求PC，只需要求出EF，而線段EF的長度很容易在△ABE中求出。

所以，在解決此類問題時要充分運用以上結論，借助輔助線構造直角三角形，結合相似形、銳角三角函數或構造方程的思想等知識來解決有關折疊問題，使得解題更輕松。

三、拓展探索類問題

此類題目常涉及畫圖、測量、猜想證明、歸納等問題，它與代數、幾何均有聯系。此類題目注重考查學生知識形成的過程，領會研究問題的方法，符合新課改的教育理論。

例如，操作：現把△ABC紙片沿DE向內折疊，

如圖一，當A落在四邊形BCDE的CD邊上，試探究∠1與∠A的數量關系。如圖二，當點A落在四邊形BCDE內部時，試探究∠1、∠2與∠A的數量關系。如圖三，當點A落在四邊形BCDE外部時，試探究∠1、∠2與∠A的數量關系。

其實，此題就是一道探究規律的題目，圖一是最簡單的情況，同學們也比較容易解決。圖二這種情況就需要學生去和折疊的性質結合起來。圖三又是對圖二情況的一種遷移。解決這類問題的關鍵是弄清楚折疊前后圖形的對應關系，折疊前后哪些量變了，哪些量沒有變，折疊后又有哪些條件可利用。這一類題目可以充分鍛煉學生的思維拓展能力。讓學生學會創新，在創新中體會到數學的“變幻美”。

總的來講，折疊問題都有一個共同點——“折”是過程，“疊”是結果。折疊問題的實質是圖形的軸對稱變換，折疊就是將圖形的一部分沿著一條直線翻折180°，使它與另一部分圖形在這條直線的同旁與其重疊或不重疊。在解決有關的折疊問題時，可以充分運用軸對稱的思想和軸對稱的性質，運用所學的三角形相似、三角形全等、勾股定理、方程思想等數學知識來解決。折疊問題使我們充分體會到了數學的“趣味美”“對稱美”和“變幻美”。只要我們善于鉆研和體會，一定會感受到數學帶給我們的無窮樂趣。

（作者單位　江蘇省無錫市洛社初中）