數學的才是本質的

　　數學的教學不僅要傳授數學知識，更重要的是要發展學生的數學思維能力，這就要求我們在數學教學中關注數學的本質。所謂數學的本質，就是指數學本身所固有的、決定數學學科性質、面貌和發展的根本屬性。從微觀上說，數學本質就是具體數學內容的本質意義。因此，在教學中我們就得抓住“對基本數學概念的理解；對數學思想方法的把握；對數學特有思維方式的感悟；對數學美的鑒賞；對數學精神（理性精神與探究精神）的追求”。
　　在數學教學的實踐、交流、研討中，筆者深刻感受到由于一些數學教師身上數學涵養的缺失引起了對數學課本質的把握不當，使得數學的課堂中出現了種種弊端，以下就通過四個案例來詮釋這個現象。
　　一、數學課成了常識課
　　【案例1】三年級下冊《年、月、日》的教學片斷中，教師安排了3個環節：
　　（1）理清年、月、日的關系。首先學生通過觀察、討論準備好年歷卡，小組內整理出粗淺的年、月、日的知識，接著通過師生共同整理，獲得年、月、日的知識。
　　（2）認識大月、小月。首先教師通過傳授的方法，告訴學生大月、小月、平月的知識。接著讓學生通過數拳頭、編口訣等方法記住大月、小月、平月，最后在游戲中鞏固新知。
　　（3）平年、閏年的認識、判斷和計算。首先教師讓學生匯報在觀察年歷卡的過程中發現的問題，接著讓學生看書閱讀有關平年、閏年的知識，并讓學生通過討論、列式計算得到平年、閏年的全年天數，最后通過練習判斷平年、閏年。
　　我們不難發現，很多教師都用類似的方法進行教學：讓學生通過對年歷的觀察、發現、交流等學習活動，探究年、月、日相關的知識。
　　關于年、月、日這樣的知識，我們首先需要思考：數學課堂中年、月、日該教什么？如果是在語文課上該教什么？常識課上又該教什么？如果是語文課，或許我們需要更多地描寫日的彩炫、月的變化、年的收獲；如果是常識課，那可能需要研究年、月、日之間的變換。說到這里，我不由得憶起牛頓的萬有引力：蘋果落地只能說是自然現象，只有形成數學關系式F=G■才能被稱為萬有引力。鹽水中的鹽放得越多越咸是常識，只有得出■<■時才是數學的。
　　太陽升起又落下，春、夏、秋、冬又是春，這樣的循環往復，如果讓我們從數學的角度該如何刻畫呢？——于是產生了時間單位。有了這樣的單位，我們就可以用單位的疊加或單位的分割來測量時間的長短以及時間的流逝。由此可以看出時間單位產生的必要性、單位設計的合理性、單位的特點就成了這節數學課的本質，也是我們需要教給學生能終身受益的精髓之處。
　　回顧本課：我們看到教師帶領學生更多的是認識大月、小月、平年、閏年，連起碼的“時間單位應該是：大月、小月、平月、閏年、平年，而不是年、月”都不曾有過，更談不上讓學生建立起這些較長的時間觀念，體會時空的變化。
　　二、數學課沒有了科學味
　　【案例2】三年級下冊《面積和面積單位》教學中，教師為了讓學生體驗統一面積單位的必要性，是這樣安排的：首先讓學生觀察兩個面積接近但形狀不同的長方形，并思考比較方法。學生應用觀察、重疊、割補等方法都無法比較，激發認知沖突。接著教師提供學具袋，內有長方形、圓片、正方形、正三角形，并提出操作要求：（1）同桌二人各選一個長方形，然后任選一種圖片，在長方形上拼擺。（2） 遇到困難，可在小組內尋求幫助。學生動手拼擺，合作探究，操作中因提供的每種圖片均不夠擺滿整個圖形，出現了兩種情況：A.小組內合作使用圖片，把長方形擺滿。B.先用圖片擺出長方形的長，再擺出寬，計算大小。通過討論、交流，得出：選擇的圖形不同，拼擺的結果也不相同；圓片有縫隙，不準確；長方形長寬不同，不方便；正方形和正三角形能測量出結果，比較起來，正方形更簡便。因此比較兩個圖形的面積大小，要用統一的面積單位，正方形表示面積單位最合適。
　　看了這個教學過程，大部分教師可能會說，這樣的設計符合之前案例中所涉及的單位產生的必要性。然而在這個教學環節中教師忽視了單位合理性的本質含義。片斷中的這位教師在進行單位統一的測量需求下，選擇了正方形的學具，指明它比較合理與方便，而這種所謂的合理性，僅僅只是一種方便和合適，缺少了科學本質——即匹配性。這種單位的匹配性，在所有單位教學的課里幾乎都被遺忘了，為什么會去用長方形、正方形、圓形來進行測量，而不會用已經學過的線段來進行測量？我們得透過現象看本質：線段是一維的，面積是二維的，兩者是不相匹配的。因此我們說單位時，總是用相同領域的屬性作為標準去表示。
　　回顧本課：我們可以看到教師停留于自身經驗，因而被表面現象所迷惑，導致在課堂教學中舍本求末。其實很多教師對于面積單位的理解也只停留在感性直觀認識與自身經驗相適應的程度上，因而總擺脫不了直觀經驗的局限性，這種經驗性思維往往習慣于由經驗到歸納，卻很少考慮到它們的內在聯系，因而使得數學課沒有了科學味。
　　三、數學課成了割裂課
　　【案例3】六年級下冊《用正比例解決問題》新授課的教學中，安排了這樣的教學：首先教師出示題目：水龍頭4小時漏水7.2升，照這樣計算，10小時會浪費多少水？學生獨立列式計算解決問題，并思考這個問題可能有幾種解法。接著學生匯報并說說自己的想法，出現了以下兩種情況：（1）7.2÷4×10＝18（升）；（2）10÷4×7.2＝18（升）。最后教師采用傳授方式教學第（3）種解法：
　　解：設10小時會浪費x升水。
　　7.2÷4=x÷10
　　1.8=0.1x
　　x=18.
　　教學好三種解法后，教師小結：解此題共有兩種方法：（1）、（2）都是利用正比例的意義來解答的，屬于同一種方法，而（3）是利用方程的意義來解答的，是另一種方法。……
　　聽了這位教師的小結后，我不由得細細品味起第三種解法來。我們可以看到方程的左右兩邊都表示每小時的滴水量，7.2÷4也可以寫成■，x÷10可以寫成■，7.2和x都表示滴水總量，4和10都表示滴水時間，它們的比值就表示每小時的滴水量，由此形成比例關系：■=每小時的滴水量，由于這兩個對應數量比值一定，因此成正比例關系。至此，我們不難發現：無論用哪種方法解題都圍繞著每小時的滴水量不變，第三種解法也是利用正比例的意義來列式的，因而這三種算式都屬于同一種方法，只不過采用了不同的表達方式而已。
　　回顧本課：教師將第（3）種方法解讀成了解方程，而忽略了此題重要的相關聯的兩種量。我想這正是由于執教者解讀教材不到位、不深入，才導致數學課成了割裂課。
　　四、數學課成了看圖說話課
　　【案例4】一年級上冊第107頁《解決問題》教學中，教師創設了一個情境：一片草地上，有白兔、灰兔。畫面出現后，學生根據情境圖找信息、提問題，經過多位學生補充后，終于得到兩組不同的信息并提出了問題：（1）左邊有8只兔子，右邊有7只兔子，一共有多少只兔子？（2）有10只白兔，5只灰兔，一共有多少只兔子？此時教師很滿意學生的回答，并請學生根據不同的信息解決問題。而當學生列出算式后，教師卻未追問為什么用加法計算。
　　可以看到教師非常注重學生找信息、提問題的學習過程，學生也找得不錯，同一個問題能從不同角度找到兩組不同的信息，這也是解決問題教學中應培養的能力之一。但解決問題教學中除了會找信息、提問題之外，更重要的是用數學語言表述數量關系，形成解決問題的思路。我認為本節課在學生列出算式后更重要的是引導學生聯系加法的含義，說說解決問題的數量關系：要求一共有多少只兔子？需要把左邊的8只兔子和右邊的7只兔子這兩部分合起來（或需要把10只白兔和5只灰兔這兩部分合起來），所以用加法計算。
　　回顧本課：教師雖然做到了讓學生在生動具體的情境中學習數學，但由于教師把握不當，把本節課至關重要的數量關系輕描淡寫，甚至不追問為什么用加法計算。我想學生雖然可以憑經驗知道題目怎樣算，但很難把自己的思維過程表達得清楚、完整。數學學科有它本身固有的特點，教學中教師應該適當滲透規范的數學術語和數學思想方法，而不是將數學課上成了學生的口語訓練課，上成了看圖說話課。如果堅持這種做法，在今后的分數加法、小數加法解決問題中學生能明白為什么用加法計算嗎？數學課的本質在哪里呢？
　　我認為數學本質表現在解決問題中便是數量關系，因而在解決問題教學中首先是數量關系的積累和數學思考。縱觀小學階段，問題解決主要呈現了三種方式，體現了三方面本質。
　　1.一步計算解決問題——運算意義的應用與深化
　　四則運算的意義決定了加、減、乘、除法的應用范圍，應用范圍里涉及的內容就是基本的數量關系。因而一步計算解決的問題是加、減、乘、除法運算意義的運用，從根本上分析的是運算意義的應用與深化（數量關系）。細細咀嚼，我們不難發現：一步計算解決問題各數量之間的關系不外乎有這樣幾類：（1）總量與部分量的關系：部總關系（部分量＋部分量＝總量）、份總關系（每份數×份數＝總量）；（2）兩個量的比較關系：相差關系（大數－小數＝相差數）、倍數關系（大數÷小數＝倍數）。因而四則運算的意義是數量關系最為基本的模型，學生在利用兩條信息解決一個問題時，更多的是依靠直覺。
　　2.兩步計算解決問題——解決問題的方法與步驟；
　　“用兩步計算解決問題”的教學是在用一步計算解決問題、計算兩步式題等知識基礎上學習的。兩步計算解決問題注重的是解決問題的方法與步驟，具體地說就是從看圖的二步計算列式到二步計算的結構意義。它需要用三條信息來解決問題，是學生對信息的選擇和組合，解決問題的策劃和部署，從而形成先解決一個中間問題，再解決最終問題的解題步驟。
　　3.特殊的解決問題——數量關系的抽象概括及應用
　　我們知道數學解決問題里都含有一定的數量關系，而數量關系都是帶有一定抽象性的。小學階段數量關系除了有加、減、乘、除意義的基本數量關系外，也有密切結合某類實際問題概括而得的常見數量關系，是數量關系的抽象概括及應用。如“單價×數量=總價”、 “速度×時間=路程”、“工作效率×工作時間=工作總量”等。
　　那么如何挖掘數學的本質呢？我認為，不僅需要教師能從很高的知識層面對數學有所把握，還需要教師對小學數學的教學內容、教學目標、教學重難點及學生的認知水平等方面都有所研究。我們不妨從以下幾方面入手：
　　第一方面，不斷進修