波利亞“解題理論”及啟示

　　摘 要： 波利亞的“解題理論”體現了他對解題方法及解題思維過程的深刻研究，它對于培養學生良好的解題習慣，培養學生創造性思維，推動數學素質教育都有著重要的啟示作用。
　　關鍵詞： 波利亞 解題思想 學習習慣 創新意識
　　
　　解題是數學的核心，是創造性思維方法學研究中不可缺的課題，中外許多學者在解題理論和解題訓練，特別是創造性解題訓練方面都作出許多貢獻，其中最為突出的代表就要數波利亞了。
　　喬治·波利亞（1887—1985）美籍匈牙利人，20世紀杰出的數學家，年輕時期于布達佩斯、維也納、格廷根、巴黎等地攻讀數學、物理、哲學。1912年于布達佩斯大學獲哲學博士學位，1914年在蘇黎世著名的瑞士聯邦理工學院任教，1940年移居美國，自1942年起一直擔任美國斯坦福大學教授。波利亞十分熱心教育，重視從小培養學生的理解能力和解題能力。他致力于解題研究，為了回答“一個好的解法是如何想出來的”這一令人困惑的問題，他專門研究了解題的思維過程，并把研究結果寫成《怎樣解題》一書。
　　1.波利亞“解題表”的主要思想
　　《怎樣解題》的中心思想即談解題過程中怎樣誘發靈感，具體核心部分就是他分解解題的思維過程得到的“怎樣解題表”，這張表給出了一個完整的解題過程一般包含的四大步驟［１］。
　　1.1弄清問題。
　　弄清問題即審題，是解題的基礎。因為只有正確理解了題意，才能正確地樹立解題的思維方法，找出解題途徑。在這一步，解題者必須了解問題的文字敘述，弄清題目的已知條件是什么，未知條件是什么，題目要求的是什么。然后通過觀察、分析、畫圖等把文字、圖形、符號等發出的信息正確的接收下來，把條件的各個部分分開，充分挖掘題設的內涵，判清題型，審清問題。
　　1.2擬訂計劃。
　　擬訂計劃即探索解題的途徑，這是解題的關鍵環節。當我們審清了問題之后，熟悉的問題有一定的解題套路，不需要太多的思考，而對于不熟悉的題目，千萬不要急于動筆演算，而是要在頭腦中從整體上設計好一個解題思路，稍進一步的問題，需要有一點變化。正如波利亞表中所說：你是否見過形式上稍有不同的題目？你是否知道與此有關的題目？是否知道用得上的定義、定理、公式等？是否可以引進輔助元素？是否可以先解一個有關的或較容易的、較一般的題目?
　　總之，一個正確的解題思路的形成過程是復雜的，它涉及解題者的知識因素、解題經驗和解題能力。不過，從思維角度看，都是按照由果索因或由因導果而進行的。
　　1.3實現計劃。
　　解題的核心即實現計劃，就是根據所探索的思路付諸行動。在解題過程中，這一步是相對容易的。如果計劃擬訂完善，實現計劃往往是做一些機械性的計算。但計劃往往是不完善的，所以往往又需要回到上一步，出現一些反復。另外，計算或操作過程中也會存在某些困難，甚至會遇到難以逾越的困難，這時原來的計劃就必須推翻重來，此時所需要的主要就是解題者的耐心。解題方案給出了一個解題的總體框架，我們必須耐心地對每一步進行嚴格推導和計算，確保每一步的細節都是正確的，必須考慮問題的所有條件，步步有理有據、簡明、規范地把解決問題的全過程完整地表達出來。
　　1.4檢驗回顧。
　　檢驗回顧是解題的魅力所在。這一步相當于我們平日解題所說的“驗算”，但比單純的驗算內容更豐富，意義更深邃。它不只是簡單地核對答案，判斷解題是否正確，進而找出錯誤并予以糾正，而是要用多種方法，從不同的角度去獲得正確的結果，重要的是對解題結果或方法進行遷移思考，總結解題經驗，擴大解題成果。正如波利亞所說：“這是領會方法的最佳時機”，“當解題者完成了他的任務，而且他的體驗在頭腦中還是新鮮的時候，去回顧他所做的一切，可能有利于探索他剛才克服困難的實質。他可以對自己提出許多有用的問題：關鍵在哪里？重要的困難是什么？什么地方我們可以完成得更好些？我為什么沒有覺察到這一點？要看出這一點，我必須具備那些知識？應該從什么角度去考慮？這里有沒有值得學習的訣竅可供下次遇到類似問題時應用？”
　　2.波利亞“解題理論”對數學教學的啟示
　　2.1借助“解題理論”，培養學生良好的解題習慣［2］。
　　在數學學習中，學生的各種數學能力最終體現在他的解題能力上，而良好的解題習慣是走向成功的橋梁。那么，如何培養學生良好的解題習慣呢？我認為可從以下幾點做起。
　　2.1.1應培養良好的審題習慣。
　　學生解題出錯或解題感到困難，通常都是由于不認真審題或審題不清，未弄清題意造成的，相當一部分學生在拿到題目后，匆匆瀏覽完題目后就急于解題，直到解不下去才回頭重讀題目，發現竟是由于粗心看錯了題目條件。要培養良好的審題的習慣，可分以下幾步走：第一，通讀題目，明確題意；第二，注意挖掘隱含條件；第三，邊審邊記，邊做邊審。
　　2.1.2注意培養一題多解，一題多變的思維習慣。
　　一題多解就是對同一道題目分別從不同角度對問題進行分析，求解。這培養了學生綜合運用數學知識分析問題、解決問題的能力，如：已知a+b=1，求證a+b=1，可以運用代數法、三角法、復數法、幾何法、基本不等式、引進二次函數等多種方法進行求解。一題多變就是指同一題目經過適當變化，變換為與原題目內容不同，但解法相同或形似的題目，這有利于擴大學生的視野，深化知識，舉一反三，觸類旁通。如：若p是△ABC的內心，∠BPC=100°，求∠A的度數。把題目中的“內心”改為“外心”再求∠A的度數。
　　2.1.3養成解題后反思的好習慣。
　　“學而不思則罔，思而不學則殆”。即使是相當優秀的學生，當他們得到問題的解答，并且條理分明，干凈利落地寫出論證后，也會合上書本，找點別的事來做。這種做法，其實錯過了解題的一個重要而有益的階段，即通過回顧完整的解題過程來鞏固所學知識，培養解題能力。解題是學好數學的必由之路，做題的目的就是為了運用所學知識解決實際問題，提高數學素養。因此，養成對自己解題過程進行回顧和反思的習慣是具有正確解題思想的體現，是提高學習效率，培養數學能力的有效方法。做題后的反思，不僅僅是簡單的回顧或檢驗，更重要的是要對解題思路和解題途徑進行反思，反思本題所包括的知識點，運用的方法，找出哪些是容易出錯的地方。另外，也要注意對一節一章的方法進行反思，積累總結知識經驗，提煉解題方法，揭示其中蘊含的數學思想與規律。
　　2.2培養學生創造性思維，激發學生探索意識。
　　2.2.1波利亞關于創造性思維培養的認識［3］。
　　波利亞認為：“任何學問都包括知識和能力兩個方面。對于數學，能力比起僅僅具有一些知識要重要得多，因此，學校的目的應該是發展學生本身的內蘊能力，而不僅僅是傳授知識。”波利