二次函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

　　摘 要：二次函數(shù)是貫穿初中和高中數(shù)學(xué)課程的一種很重要的函數(shù)，不管在代數(shù)中，還是解析幾何中，利用此函數(shù)的機(jī)會(huì)都特別多；同時(shí)各種數(shù)學(xué)思想如函數(shù)的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論的思想，利用二次函數(shù)作為載體，展現(xiàn)得最為充分.尤其是在高中階段，有基本函數(shù)、不等式、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等部分的基礎(chǔ)內(nèi)容.本文通過對(duì)二次函數(shù)在不等式，數(shù)列，導(dǎo)數(shù)，解析幾何中的應(yīng)用來說明二次函數(shù)作為高考的重點(diǎn)及其難點(diǎn)始終是高中教學(xué)的重點(diǎn)，因此對(duì)于二次函數(shù)的應(yīng)用的研究對(duì)于高中階段教學(xué)有重要的意義.
　　關(guān)鍵詞： 二次函數(shù) 不等式 數(shù)列 導(dǎo)數(shù) 解析幾何
　　
　　一、二次函數(shù)定義的理解
　　一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系：y=ax+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0），與二次函數(shù)在初中階段理解的不同，高中階段的二次函數(shù)在集合和映射的基礎(chǔ)之上進(jìn)行認(rèn)識(shí)理解的，主要以映射的知識(shí)重新認(rèn)識(shí)了函數(shù)的定義：二次函數(shù)是從一個(gè)集合A（定義域）到集合B（值域）上的映射f:A→B使得集合B中的元素y=ax+bx+c（a≠0）與集合A的元素X對(duì)應(yīng)，記作：f（x）=ax+bx+c（a≠0），這里面的這里ax+bx+c表示對(duì)應(yīng)法則，又表示定義域中的元素X在值域中的象，從而使學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念有一個(gè)較明確的認(rèn)識(shí).
　　二、二次函數(shù)的單調(diào)性，最值，圖像
　　將一元二次函數(shù)配方得：y=ax+bx+c=a（x+）+，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-，），對(duì)稱軸是x=-.
　　（1）當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間（-∞，-）上是減函數(shù)，在區(qū)間（-，+∞）上是增函數(shù)，函數(shù)圖像開口朝上，f（x）=，無最大值.
　　（2）當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間（-∞，-）是增函數(shù)，在區(qū)間（-，+∞）上是減函數(shù)，函數(shù)圖像開口朝下，f（x）=，無最小值.
　　三、二次函數(shù)在不等式中的應(yīng)用
　　由二次函數(shù)的圖像可知：若一元二次方程ax+bx+c=0有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x，x（x＜x），則
　　當(dāng)a＞0時(shí)，不等式ax+bx+c＞0的解集為{x|x＞x或x＜x}，
　　不等式ax+bx+c＜0的解集為{x|x＜x＜x};
　　當(dāng)a＜0時(shí)，不等式ax+bx+c＞0的解集為{x|x＜x＜x}，
　　不等式ax+bx+c＜0的解集為{x|x＞x或x＜x}.
　　例：函數(shù)f（x）=（4-3a）x-2x+a，若0≤x≤1，x為變量，a為常量，求證：
　　（1）當(dāng)a＞時(shí)，f（x）≤a;
　　（2）當(dāng)1＜a＜時(shí)，f（x）≤2-2a.
　　證明：（1）當(dāng)a＞時(shí)，4-3a＜0，則當(dāng)x≤＜0時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，
　　當(dāng)x≥時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，＼0≤x≤1，f（x）單調(diào)遞減，
　　＼f（x）=f（0）=a，＼f（x）≤a;
　　（2）當(dāng)1＜a＜時(shí)，4-3a＞0，則當(dāng)x≥＞1時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，
　　當(dāng)x≤時(shí)，f（x）單調(diào)遞減，＼0≤x≤1，f（x）單調(diào)遞減，
　　＼f（x）=f（1）=2-2a，＼f（x）≤2-2a.
　　四、二次函數(shù)在數(shù)列中的應(yīng)用
　　例：等差數(shù)列{a}的首項(xiàng)a＞0，前n項(xiàng)和S，當(dāng)l≠m時(shí)s=s，問n為何值時(shí)s最大?
　　分析：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)，可將問題轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于n的二次函數(shù)的最大值，但易忘記此二次函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集這個(gè)限制條件.
　　解析：由題意知s=f（n）=na+d=n+（a-）n，因?yàn)閍＞0，當(dāng)l≠m時(shí)，s=S，故d＜0，即此二次函數(shù)開口向下，故由f（l）=f（m）得當(dāng)x=時(shí)f（x）取得最大值，但由于n∈N，故若l+m為偶數(shù)，當(dāng)n=時(shí)，s最大.
　　若l+m為奇數(shù)，當(dāng)n=時(shí)，s最大.
　　小結(jié)：數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式都可視為定義域?yàn)檎麛?shù)集或其子集上的函數(shù)，因此在解題過程中要樹立函數(shù)思想及觀點(diǎn)應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決問題.特別的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式是關(guān)于n的二次函數(shù)且沒有常數(shù)項(xiàng)，反之滿足形如s=an+bn所對(duì)應(yīng)的數(shù)列也必然是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.此時(shí)由=an+b知數(shù)列中的點(diǎn)（n，）在同一直線上，這也是一個(gè)很重要的結(jié)論.此外形如前n項(xiàng)和s=ca-c所對(duì)應(yīng)的數(shù)列必為一等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.
　　五、二次函數(shù)在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用
　　例：函數(shù)y=f（x）=x+ax+bx+a在x=1處取得極值10，求a，b的值.
　　分析：易知f′（1）=0，f（1）=10，從而求出a，b的值，但f′（1）=0是函數(shù)在該點(diǎn)取得極值的必要不充分條件，故應(yīng)進(jìn)行檢驗(yàn).
　　解：由題意得f′（x）=3x+2ax+bx=1是函數(shù)的極值，且極值為10，則有：
　　f′（x）=0f（1）=10即3+2a+b=01+a+b+a=10解得a=4b=-11或a=-3b=3
　　當(dāng)a=4，b=-11時(shí)，f′（x）=3x+8x-11=（x-1）（3x+11）
　　＼x＞1時(shí)，f′（x）＞0；＼-＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0＼x=1是函數(shù)的極值點(diǎn).
　　當(dāng)a=-3，b=3時(shí)，f′（x）=6x-6x+3=3（x-1）≥0
　　此時(shí)f（x）在R上單調(diào)遞增，＼x=1不是函數(shù)的極值點(diǎn)，故應(yīng)舍去.
　　＼a=4，b=-11.
　　小結(jié)：函數(shù)y=ax+bx+cx+d（a≠0）存在極值的充要條件是f′（x）=3x+2ax+b=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即D=4b-12ac＞0.
　　六、二次函數(shù)在解析幾何中的應(yīng)用
　　例：討論直線y=kx+1與雙曲線x-y=1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).
　　解：由y=kx+1x-y=1消去y得：（1-k）x-2kx-2=0.
　　當(dāng)1-k=0，即k=±1時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)，并且是交點(diǎn)；
　　當(dāng)1-k≠0，即k≠±1時(shí)，D=8-4k，
　　由D＞0得，-＜k＜時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，
　　由D=0得，k=±時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)，并且是切點(diǎn)，
　　由D＜0得，k＞-或k＜時(shí)，無交點(diǎn).
　　綜上所述：k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）時(shí)，有兩個(gè)公共點(diǎn)；
　　k=±時(shí)，相切于一點(diǎn);
　　k=±1時(shí)，相交于一點(diǎn);
　　k∈（-∞，-）∪（，+∞）時(shí)，無公共點(diǎn).
　　小結(jié)：直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對(duì)稱問題、軌跡問題等.直線與圓錐曲線有無公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問題，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程是否有實(shí)數(shù)解成實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問題，要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.
　　
　　參考文獻(xiàn)：
　　［1］王后雄.教材完全解讀高一數(shù)學(xué)（上學(xué)期），2006.
　　［2］吳書林.名師面對(duì)面（選修2—2），2009.