一道中學(xué)不等式證明題的推廣及應(yīng)用

　　不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)乃至現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，在不等式證明中，利用已知不等式來(lái)證明常常能收到事半功倍的效果.本文通過(guò)對(duì)2010年高考題遼寧卷24題中的不等式a+b+c+++≥6的項(xiàng)數(shù)，運(yùn)算方式的推廣，得到一些新的不等式.
　　例1（2010年高考題遼寧卷24題）：已知a，b，c均為正數(shù)，證明：a+b+c+++≥6，并確定a，b，c為何值時(shí)等號(hào)成立，并且給出證明.
　　證明：因?yàn)閍，b，c均為正數(shù)，由平均值不等式得：
　　a+b+c≥3（abc）
　　++≥3（abc）
　　所以++≥9（abc）
　　故a+b+c+++≥3（abc）+9（abc）
　　又因?yàn)?（abc）+9（abc）≥2=6
　　所以原不等式成立.
　　當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，③式和④式等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)3（abc）=9（abc）時(shí)，等號(hào)成立.即當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=3時(shí)，所證不等式的等號(hào)成立.
　　定理1：已知a，a，…，a均為正數(shù)，則a+a+…+a+++…+≥2n，當(dāng)且僅當(dāng)a=a=…=a=n時(shí)等號(hào)成立.
　　證明：因?yàn)閍，a，…，a均為正數(shù)，由上文引理2中的不等式①、②得：
　　a+a+…+a≥n（aa…a）
　　（當(dāng)且僅當(dāng)a=a=…=a時(shí)等號(hào)成立）
　　++…+≥=n（aa…a）
　　（當(dāng)且僅當(dāng)a=a=…=a時(shí)等號(hào)成立）
　　所以++…+≥n（aa…a）
　　故a+a+…+a+++…+
　　 ≥n（aa…a）+n（aa…a）
　　 ≥2
　　（當(dāng)且僅當(dāng)n（aa…a）=n（aa…a）時(shí)等號(hào)成立）=2n
　　綜上可得a+a+…+a+++…+≥2n，當(dāng)且僅當(dāng)a=a=…=a=n時(shí)等號(hào)成立.
　　定理2：已知a，a，…，a均為正數(shù)，則
　　（a+a+…+a）++…+≥n，當(dāng)且僅當(dāng)a=a=…=a時(shí)等號(hào)成立.
　　證明：因?yàn)閍，a，…，a均為正數(shù)，
　　a+a+…+a≥n（aa…a）
　　（當(dāng)且僅當(dāng)a=a=…=a時(shí)等號(hào)成立）
　　++…+≥=n（aa…a）
　　（當(dāng)且僅當(dāng)a=a=…=a時(shí)等號(hào)成立）
　　所以++…+≥n（aa…a）
　　故（a+a+…+a）++…+≥n（aa…a）?n（aa…a）=n
　　綜上（a+a+…+a）++…+≥n，當(dāng)且僅當(dāng)a=a=…=a時(shí)等號(hào)成立.
　　例2：若a＞0，b＞0，c＞0且a+b+c=3，求u=a++b++c+的最小值.
　　解：因?yàn)閍＞0，b＞0，c＞0，所以a+＞0，b+＞0，c+＞0，則由權(quán)方和不等式得：
　　u=a++b++c+≥=
　　（當(dāng)且僅當(dāng)a+=b+=c+，即a=b=c時(shí)等號(hào)成立）
　　又由定理2得：++≥=3
　　（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立）
　　所以u(píng)≥=24，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí)等號(hào)成立.
　　
　　參考文獻(xiàn)：
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