微分方程應(yīng)用舉例

摘 要：通過(guò)舉例給出了微分方程在實(shí)際中的應(yīng)用，從而使學(xué)生易于理解和掌握微分方程概念及理論。

關(guān)鍵詞：微分方程 應(yīng)用

中圖分類(lèi)號(hào)：O175 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2012）12（a）-0215-01

微分方程指的是，聯(lián)系著自變量，未知函數(shù)及它的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式子。微分方程是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，是一門(mén)與實(shí)際聯(lián)系較密切的一個(gè)內(nèi)容。在自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)領(lǐng)域中，例如化學(xué)，生物學(xué)，自動(dòng)控制，電子技術(shù)等等，都提出了大量的微分方程問(wèn)題。在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注重實(shí)際應(yīng)用例子或應(yīng)用背景，使學(xué)生對(duì)所學(xué)微分方程內(nèi)容有具體地，形象地認(rèn)識(shí)，從而激發(fā)他們強(qiáng)大的學(xué)習(xí)興趣。

1 應(yīng)用問(wèn)題舉例

1.1 生態(tài)系統(tǒng)中的弱肉強(qiáng)食問(wèn)題

在這里考慮兩個(gè)種群的系統(tǒng)，一種以另一種為食，比如鯊魚(yú)（捕食者）與食用魚(yú)（被捕食者），這種系統(tǒng)稱(chēng)為“被食者—捕食者”系統(tǒng)。

Volterra提出：記食用魚(yú)數(shù)量為，鯊魚(yú)數(shù)量為，因?yàn)榇蠛５馁Y源很豐富，可以認(rèn)為如果，則將以自然生長(zhǎng)率增長(zhǎng)，即。但是鯊魚(yú)以食用魚(yú)為食，致使食用魚(yú)的增長(zhǎng)率降低，設(shè)降低程度與鯊魚(yú)數(shù)量成正比，于是相對(duì)增長(zhǎng)率為。常數(shù)，反映了鯊魚(yú)掠取食用魚(yú)的能力。如果沒(méi)有食用魚(yú)，鯊魚(yú)無(wú)法生存，設(shè)鯊魚(yú)的自然死亡率為，則。食用魚(yú)為鯊魚(yú)提供了食物，致使鯊魚(yú)死亡率降低，即食用魚(yú)為鯊魚(yú)提供了增長(zhǎng)的條件。設(shè)增長(zhǎng)率與食用魚(yú)的數(shù)量成正比，于是鯊魚(yú)的相對(duì)增長(zhǎng)率為。常數(shù)>0，反映了食用魚(yú)對(duì)鯊魚(yú)的供養(yǎng)能力。所以最終建立的模型為：

這就是一個(gè)非線性的微分方程。

1.2 雪球融化問(wèn)題

有一個(gè)雪球，假設(shè)它是一個(gè)半徑為r的球體，融化時(shí)體積V的變化率與雪球的表面積成正比，比例常數(shù)為>0，則可建立如下模型：

1.3 冷卻（加熱）問(wèn)題

牛頓冷卻定律具體表述是，物體的溫度隨時(shí)間的變化率跟環(huán)境的的溫差成正比。記T 為物體的溫度，為周?chē)h(huán)境的溫度，則物體溫度隨時(shí)

2 結(jié)語(yǔ)

文中通過(guò)舉生態(tài)系統(tǒng)中弱肉強(qiáng)食問(wèn)題，雪球融化及物理學(xué)中冷卻定律問(wèn)題為例給出了微分方程在實(shí)際中的應(yīng)用。在講解高等數(shù)學(xué)微分方程這一章內(nèi)容時(shí)經(jīng)常舉些應(yīng)用例子，能引起學(xué)生對(duì)微分方程的學(xué)習(xí)興趣，能使學(xué)生易于理解和掌握其基本概念及理論，達(dá)到事半功倍之效。

參考文獻(xiàn)

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