直線的參數(shù)方程

1.引入

問題1：經(jīng)過點(diǎn)M（x，y）的直線有多少條？

問題2：再加一個什么條件就可以確定一條直線？

教師：請同學(xué)們說出經(jīng)過點(diǎn)M（x，y），傾斜角為θ的直線的方程。

學(xué)生：根據(jù)點(diǎn)斜式，斜率k=tanθ，所以直線方程為y-y=tanθ（x-x）。

2.新課講解

教師：能否引進(jìn)一個參數(shù)，使得直線上任何一點(diǎn)M（x，y）都能用這個參數(shù)來表示？

學(xué)生：利用|MM|，就是利用M到M的距離。

教師：如果利用距離的話，一個參數(shù)就會對應(yīng)兩個點(diǎn)了，如何解決這個問題呢？

學(xué)生：根據(jù)方向來區(qū)分，向上是正的，向下是負(fù)的。

教師：很好，那跟方向有關(guān)的話，我們能想到什么？

學(xué)生：向量。

教師：不錯，那我們能否找到一個單位向量和直線是平行的？如果可以的話，那p的坐標(biāo)是什么？并給出提示：op要滿足什么條件就會和直線是平行的？

學(xué)生：可以，根據(jù)斜率相同就可以了，所以p（cosθ，sinθ），記==（cosθ，sinθ）。

教師：因為和是共線的，所以就可以用表示出來，即=t，那么，M的坐標(biāo)如何用參數(shù)來表示呢？

學(xué)生：根據(jù)向量相等，就能得出直線的參數(shù)方程x=x+tcosθy=y+tsinθ。

教師：這個參數(shù)方程跟哪種曲線的參數(shù)方程是很像的，有什么區(qū)別？

學(xué)生：跟圓的參數(shù)方程很像，區(qū)別在于，在直線的參數(shù)方程中t是參數(shù)，在圓的參數(shù)方程中θ是參數(shù)。

教師：參數(shù)t的幾何意義是什么呢？

學(xué)生：因為=|t|=|t|，所以|t|就是M到M的距離。

教師：什么時候是正的，什么時候是負(fù)的？

學(xué)生：根據(jù)向量的數(shù)乘可知，如果與同向，則t是正的，反之t是負(fù)的。

教師：很好，那我們看一下的方向有什么特點(diǎn)？

學(xué)生：根據(jù)傾斜角θ的范圍，可以知道的方向總是向上的。

教師：所以我們直接看的方向就可以了，如果的方向是向上的，則t是正的，反之t是負(fù)的。

教師：那M所對應(yīng)的參數(shù)是多少？

學(xué)生：根據(jù)參數(shù)的幾何意義可知，M所對應(yīng)的參數(shù)是0。

3.例題講解

例1：已知直線l∶x+y-1=0與拋物線y=x交于A、B兩點(diǎn)，求線條AB的長和點(diǎn)M（-1，2）到A，B兩點(diǎn)的距離之積。

學(xué)生：思考，互相交流。

教師：直線l的參數(shù)方程是什么？

學(xué)生：因為M（-1，2）在直線l上，θ=，所以直線l的參數(shù)方程是x=-1-ty=2+t。

教師：能否利用參數(shù)，線段AB的長就是什么？

學(xué)生：根據(jù)參數(shù)的幾何意義可以得出，|AB|=|t|+|t|。

教師：那如何解出t，t呢？

學(xué)生：因為t，t是A，B兩點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)，而A，B兩點(diǎn)是直線與拋物線的交點(diǎn)，所以將直線的參數(shù)方程代入拋物線方程，得到2+t=（-1-t），化簡得t+t-2=0，所以t，t就是上述方程的兩個解。

教師：那|MA||MB|=？

學(xué)生：根據(jù)韋達(dá)定理|MA||MB|=|t||t|=|tt|=2。

教師：求|AB|能不能也根據(jù)韋達(dá)定理，不解方程來做？引導(dǎo)學(xué)生從向量的角度來考慮，因為=-=t-t=（t-t），所以|AB|=|t-t|，那如何用韋達(dá)定理呢？

學(xué)生：|AB|=|t-t|==。

教師：說明一下|AB|=|t-t|是通用的，其中t，t是A，B所對應(yīng)的兩個參數(shù)。

那A，B的中點(diǎn)P所對應(yīng)的參數(shù)等于多少呢？

學(xué)生：猜測中點(diǎn)P所對應(yīng)的參數(shù)為。

教師：通過畫圖來解釋，或者根據(jù)向量=+。

例2：經(jīng)過點(diǎn)M（2，1）作直線l，交橢圓+=1于A，B兩點(diǎn)。如果點(diǎn)M恰好為線段AB的中點(diǎn)，求直線l的方程。

分析：首先寫出直線的參數(shù)方程x=2+tcosθy=1+tsinθ，因為M是A，B的中點(diǎn)，所以M所對應(yīng)的參數(shù)是=0。

教師小結(jié)：對于直線與曲線相交的問題，交點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)，就是把直線的參數(shù)方程代入曲線方程得到的關(guān)于參數(shù)的方程的解。直線的參數(shù)方程可應(yīng)用于直線與曲線相交的有關(guān)距離和中點(diǎn)的問題。