數(shù)形結(jié)合的思想方法

摘 要： 數(shù)形結(jié)合一直是歷年高考考查的一種重要的思想方法，同時又是數(shù)學研究的常用方法.數(shù)學思想方法的教學分為兩個階段，即數(shù)形對應階段和數(shù)形轉(zhuǎn)化階段.教學中應遵循以下原則：等價性原則、雙向性原則、簡單性原則.

關(guān)鍵詞： 數(shù)形結(jié)合思想方法 高中數(shù)學教學 基本原則

數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)與形的對應關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題，把圖形性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問題，或者把數(shù)量關(guān)系問題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)問題.通過“以數(shù)解形”或“以形助數(shù)”，把復雜問題簡單化，抽象問題具體化，兼取了數(shù)的嚴謹與形的直觀兩方面的長處.

一

縱觀整個高中階段的數(shù)學教學，筆者分兩個不同階段來開展數(shù)形結(jié)合思想方法的教學.

1.數(shù)形對應階段：這是數(shù)形結(jié)合思想方法中的基礎階段，主要在新授課階段逐步滲透和感悟.

例1.不等式|x+1|+|x+2|≤3的解集為？搖？搖？搖 ？搖.

解：

如圖：|AP|+|BP|≤3，由圖可知x≥1或x≤-3.

注：此題若按照純數(shù)學方法去解，則需要通過零點分區(qū)間法分為三個不等式組后取并集才能完成，但是如果能關(guān)注到|x+1|和|x+2|的幾何意義為x軸上線段|BP|，|AP|的長，就可以一目了然，得到正確答案.

拓展：求y=+的最小值.

解：表示點P（x，0）與點A（1，2）之間的距離，表示點P（x，0）與點B（-1，0）的距離，則由三角形兩邊之和大于第三邊的關(guān)系可知在點B處的距離之和的最小值.

注：此題如果用“純數(shù)”的方法是很難解決的，但是通過考察式子的特點可以找到相應的幾何圖形，從而利用幾何圖形的性質(zhì)幫助我們解決問題.在分析問題，解決問題時重視“由數(shù)想形，以形助數(shù)，數(shù)形結(jié)合”，對于提高數(shù)學解題能力是十分有益的.

2.數(shù)形轉(zhuǎn)化階段：它體現(xiàn)在數(shù)與形的關(guān)系在具體問題的解決過程中，如何作為一種方法來加以使用。

例2.在拋物線x=-y上求一點P，使得點P到直線l：x+y=4的距離最小.

解：設直線l：x+y=b，且與拋物線相切，則由x+y=bx=-y得：x-x+b=0.

△=1-4b=0，∴b=.當b=時，x=，y=，∴P點坐標為（，-）.

注：利用兩平行線內(nèi)的點到直線l的距離都小于兩平行線間的距離；兩平行線間的距離小于兩平行線之外且在l的一側(cè)的點到l的距離，從而確定點P的幾何位置.

例3.已知：x≥1，y≥1且滿足logx+logy=log（ax）+log（ay）（a>0且a≠1），求：log（xy）的取值范圍.

解：logx+logy=1+2logx+1+2logy，

令X=logx，Y=logy，

則有（X-1）+（Y-1）=4 （1）

令T=logx+logy=X+Y （2）

（1）若a>1，則X≥0，Y≥0，

則方程（1）所表示的曲線就為如圖所示圓的一部分.

方程（2）Y=-X+T表示的直線為l，

T為直線l在y軸上的截距，由圖易求得T∈[1-，2+2].

（2）當0

∴當a>1時，log（xy）的取值范圍為[1-，2+2]；

當0

注：解答數(shù)學問題時，要注意數(shù)與形的辯證統(tǒng)一，盡量避免撇開“形”去孤立地研究“數(shù)”或忽視“數(shù)”去孤立地研究“形”，實際上離開數(shù)的研究也很難得到精確的答案.

二

數(shù)形結(jié)合解題教學過程中應遵循以下幾個基本原則。

1.等價性原則

在數(shù)形結(jié)合時，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價的，否則解題將會出現(xiàn)漏洞.填空題的解答由于不需要過程，因眩可以大膽猜想，此時的幾何性質(zhì)很多時候可以采取直觀判斷甚至猜想的方法得出結(jié)果.但是作為解答題，需要完整的邏輯推理過程，此時數(shù)形結(jié)合的思想方法更多的是作為思路分析、化簡運算及推理的過程的一種手段.這時圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說明，但它同時也是抽象而嚴格證明的誘導.

2.雙向性原則

數(shù)形結(jié)合作為一種溝通“數(shù)”和“形”的重要思想方法，過分注重數(shù)的運算不考慮幾何性質(zhì)固然不可取，但是過于依賴形的直觀丟掉數(shù)的嚴密也會帶來很多的失誤，兩者必須相輔相成.

3.簡單性原則

從途徑上來說數(shù)形結(jié)合有兩個方向：以數(shù)找形和賦形以數(shù).至于具體采用代數(shù)方法還是幾何方法，取決于何種方法更為簡潔，而不是刻意把幾何問題代數(shù)化或者代數(shù)問題幾何化.

總之，數(shù)形結(jié)合是研究數(shù)學問題并實現(xiàn)問題的模型轉(zhuǎn)換的一種基本思想和基本方法，它能溝通數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系.在解題中學會以形論數(shù)、借數(shù)解形、數(shù)形結(jié)合，直觀又入微，提高形數(shù)聯(lián)想的靈活性，有助于思維素質(zhì)的發(fā)展，有利于提高解題能力.</