數(shù)形結(jié)合的思想方法

摘 要： 數(shù)形結(jié)合一直是歷年高考考查的一種重要的思想方法，同時(shí)又是數(shù)學(xué)研究的常用方法.數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)分為兩個(gè)階段，即數(shù)形對(duì)應(yīng)階段和數(shù)形轉(zhuǎn)化階段.教學(xué)中應(yīng)遵循以下原則：等價(jià)性原則、雙向性原則、簡(jiǎn)單性原則.

關(guān)鍵詞： 數(shù)形結(jié)合思想方法 高中數(shù)學(xué)教學(xué) 基本原則

數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)與形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，把圖形性質(zhì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問(wèn)題，或者把數(shù)量關(guān)系問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)問(wèn)題.通過(guò)“以數(shù)解形”或“以形助數(shù)”，把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，兼取了數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)與形的直觀兩方面的長(zhǎng)處.

一

縱觀整個(gè)高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)，筆者分兩個(gè)不同階段來(lái)開(kāi)展數(shù)形結(jié)合思想方法的教學(xué).

1.數(shù)形對(duì)應(yīng)階段：這是數(shù)形結(jié)合思想方法中的基礎(chǔ)階段，主要在新授課階段逐步滲透和感悟.

例1.不等式|x+1|+|x+2|≤3的解集為？搖？搖？搖 ？搖.

解：

如圖：|AP|+|BP|≤3，由圖可知x≥1或x≤-3.

注：此題若按照純數(shù)學(xué)方法去解，則需要通過(guò)零點(diǎn)分區(qū)間法分為三個(gè)不等式組后取并集才能完成，但是如果能關(guān)注到|x+1|和|x+2|的幾何意義為x軸上線段|BP|，|AP|的長(zhǎng)，就可以一目了然，得到正確答案.

拓展：求y=+的最小值.

解：表示點(diǎn)P（x，0）與點(diǎn)A（1，2）之間的距離，表示點(diǎn)P（x，0）與點(diǎn)B（-1，0）的距離，則由三角形兩邊之和大于第三邊的關(guān)系可知在點(diǎn)B處的距離之和的最小值.

注：此題如果用“純數(shù)”的方法是很難解決的，但是通過(guò)考察式子的特點(diǎn)可以找到相應(yīng)的幾何圖形，從而利用幾何圖形的性質(zhì)幫助我們解決問(wèn)題.在分析問(wèn)題，解決問(wèn)題時(shí)重視“由數(shù)想形，以形助數(shù)，數(shù)形結(jié)合”，對(duì)于提高數(shù)學(xué)解題能力是十分有益的.

2.數(shù)形轉(zhuǎn)化階段：它體現(xiàn)在數(shù)與形的關(guān)系在具體問(wèn)題的解決過(guò)程中，如何作為一種方法來(lái)加以使用。

例2.在拋物線x=-y上求一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到直線l：x+y=4的距離最小.

解：設(shè)直線l：x+y=b，且與拋物線相切，則由x+y=bx=-y得：x-x+b=0.

△=1-4b=0，∴b=.當(dāng)b=時(shí)，x=，y=，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，-）.

注：利用兩平行線內(nèi)的點(diǎn)到直線l的距離都小于兩平行線間的距離；兩平行線間的距離小于兩平行線之外且在l的一側(cè)的點(diǎn)到l的距離，從而確定點(diǎn)P的幾何位置.

例3.已知：x≥1，y≥1且滿足logx+logy=log（ax）+log（ay）（a>0且a≠1），求：log（xy）的取值范圍.

解：logx+logy=1+2logx+1+2logy，

令X=logx，Y=logy，

則有（X-1）+（Y-1）=4 （1）

令T=logx+logy=X+Y （2）

（1）若a>1，則X≥0，Y≥0，

則方程（1）所表示的曲線就為如圖所示圓的一部分.

方程（2）Y=-X+T表示的直線為l，

T為直線l在y軸上的截距，由圖易求得T∈[1-，2+2].

（2）當(dāng)0

∴當(dāng)a>1時(shí)，log（xy）的取值范圍為[1-，2+2]；

當(dāng)0

注：解答數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，要注意數(shù)與形的辯證統(tǒng)一，盡量避免撇開(kāi)“形”去孤立地研究“數(shù)”或忽視“數(shù)”去孤立地研究“形”，實(shí)際上離開(kāi)數(shù)的研究也很難得到精確的答案.

二

數(shù)形結(jié)合解題教學(xué)過(guò)程中應(yīng)遵循以下幾個(gè)基本原則。

1.等價(jià)性原則

在數(shù)形結(jié)合時(shí)，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價(jià)的，否則解題將會(huì)出現(xiàn)漏洞.填空題的解答由于不需要過(guò)程，因?？梢源竽懖孪?，此時(shí)的幾何性質(zhì)很多時(shí)候可以采取直觀判斷甚至猜想的方法得出結(jié)果.但是作為解答題，需要完整的邏輯推理過(guò)程，此時(shí)數(shù)形結(jié)合的思想方法更多的是作為思路分析、化簡(jiǎn)運(yùn)算及推理的過(guò)程的一種手段.這時(shí)圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說(shuō)明，但它同時(shí)也是抽象而嚴(yán)格證明的誘導(dǎo).

2.雙向性原則

數(shù)形結(jié)合作為一種溝通“數(shù)”和“形”的重要思想方法，過(guò)分注重?cái)?shù)的運(yùn)算不考慮幾何性質(zhì)固然不可取，但是過(guò)于依賴形的直觀丟掉數(shù)的嚴(yán)密也會(huì)帶來(lái)很多的失誤，兩者必須相輔相成.

3.簡(jiǎn)單性原則

從途徑上來(lái)說(shuō)數(shù)形結(jié)合有兩個(gè)方向：以數(shù)找形和賦形以數(shù).至于具體采用代數(shù)方法還是幾何方法，取決于何種方法更為簡(jiǎn)潔，而不是刻意把幾何問(wèn)題代數(shù)化或者代數(shù)問(wèn)題幾何化.

總之，數(shù)形結(jié)合是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題并實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的模型轉(zhuǎn)換的一種基本思想和基本方法，它能溝通數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系.在解題中學(xué)會(huì)以形論數(shù)、借數(shù)解形、數(shù)形結(jié)合，直觀又入微，提高形數(shù)聯(lián)想的靈活性，有助于思維素質(zhì)的發(fā)展，有利于提高解題能力.</