培養(yǎng)能力需要“變”

波利亞認為：數學教學就是解題教學.這里的“題”其實是“問題”，即在教師的日常教學與學生的數學學習中，我們自始至終是在逐步地解決問題.而“變式教學”就是將問題逐步遞進、逐步深入，最終解決問題.它既能培養(yǎng)學生的縱橫聯系能力，又能提高學生的發(fā)散思維能力.馬頓從教育的角度提出變式是學習的基礎，沒有變式就不需要辨別.而學習又是源于辨別的，“變式教學”是數學中的引申，推廣在教學中的訴求.在數學教學中，學生要學習大量的性質定理、判定定理和公式等.以往的數學學習常常是老師“告訴”學生，學生機械地練習，很多學生感到枯燥乏味.要想激發(fā)學生提出和論證命題的興趣，“變式教學”成為一個重要的渠道.以下就兩方面分別闡述.

一、概念的變式教學

數學概念的一個基本特征是抽象性，但許多數學概念又直接來自具體的感性經驗，因此，概念引入教學的關鍵是建立感性經驗與抽象概念之間的聯系.而已具備的經驗，概念的敘述，以及掌握概念所依據的變式是學生掌握概念的主要因素.

以函數單調性的概念教學為例.函數單調性概念的教學主要有兩個關鍵：（1）它是針對定義域的某個“區(qū)間”而言；（2）“任意性”.我們在教學的時候往往可以借助不同的典型的圖形加深學生對概念的理解.過程如下.

1.如圖為某市一天24小時內的氣溫變化圖：

觀察上圖，說出氣溫在哪些時間段內是升高的？怎樣用數學語言刻畫“隨著時間的增多氣溫逐步提高”這一特征？

（在此基礎上，再變化延伸到我們具體的數學問題上來，研究幾個重要的基本初等函數.）

2.觀察下列函數的圖像，指出圖像變化的趨勢.

第一個圖：在R上，y隨著x的增大而增大.第二個圖：在區(qū)間（-∞，1]，y隨著x的增大而減小；在區(qū)間[1，+∞），y隨著x的增大而增大.第三個圖：在區(qū)間（-∞，0），y隨著x的增大而減小；在區(qū)間（0，+∞），y隨著x的增大而減小.

3.總結單調性、單調區(qū)間概念，寫出上面三個圖的單調區(qū)間.由圖一了解“單調函數”；由圖二體會單調性是針對定義域的某個“區(qū)間”而言；由圖三的單調區(qū)間不能用“并”（舉反例）加深對“任意性”的理解.

說明：上述過程體現了從特殊到一般的變式思想.采用這種變式，可以使學生更深刻、更有效地理解概念.

二、習題的變式教學

講解習題時對其進行各種引申（如改變條件、改變結論、一般化等），或一道習題用多種方法解決，或用一種方法解決多個問題，可以滲透數學解題的思想和方法，提高學生的綜合運用能力.“引申”的例題在（二）中已涉及，這里不再舉例.下面舉一個“一題多解”的例子：設等差數列{a}的前n項和為S，且a=12，S>0，S<0.

（1）求公差d的取值范圍；

（2）指出S，S，…，S中哪一個最大，并說明理由.

解：（1）由已知可得不等式組a=a+2d=12S=12a+66d>0S=13a+78d<0，即144+42d>0156+52d<0，∴-

（2）方法一：由d<0，可知數列{a}是一個遞減數列.因此在1≤n≤12中必存在一個自然數n，使得a>0，a<0，此時對應的S就是S，S，…，S中的最大值.由于S=6（a+a）>0S=13a<0，于是a<0，a>0，因此S最大.

方法二：由于數列{a}是一個遞減數列，解關于n的不等式組a=a+（n-3）d>0a=a+（n-2）d<0得n<3-n>2-.由-2->2+=5.5，即5.5

方法三：利用等差數列的前n項和公式，得S=na+d=n+12-dn=n-5-？搖-5-？搖.∵d<0，∴當n-5-？搖最小時，S最大.由于-

說明：本題第二問采用了三種不同的方法，殊途同歸.方法一、二主要運用了函數的單調性思路，結合了數列的特征；方法三是運用二次函數最大（小）值的求解思路.用不同的方法強化了函數的解題思想.

總之，變式教學在教學實踐中一直被教師自覺和不自覺地應用著.在新課程改革的背景下，如何進行變式教學更是教師應時刻關注的問題.通過對于概念、問題的多層次變式構造，學生對概念的形成及問題的解決過程有一個清晰的認識，是積累活動經驗、提高解決問題能力的一條有效途徑.</