向量綜合運用的數(shù)形結(jié)合

　　向量身具數(shù)和形的雙重身份，成為了高中數(shù)學(xué)中各章節(jié)知識的媒介，它與各個知識的聯(lián)系比較緊密.近年對向量自身的考查難度一般不大，只要掌握了平面向量的基礎(chǔ)知識就可順利作答.但一旦涉及與其他知識的結(jié)合時，就需要關(guān)注其圖形的特點.有時數(shù)形結(jié)合更利于解決問題，以下作簡單闡述.
　　一、與三角函數(shù)的綜合
　　向量與三角的綜合最為常見，是高考考查的重點內(nèi)容之一，一般是以基本的運算為主.但有時需結(jié)合圖形解決.
　　例題：已知向量==（cosα，sinα），==（2cosβ，2sinβ），==（0，d）（d＞0），其中O為坐標(biāo)原點，且0＜α＜＜β＜π，
　　（1）若⊥（-），求β-α的值；
　?。?）若=1，=，求△AOB的面積S.
　　解析：（1）∵⊥（-），∴?=，?=（cosα，sinα）（2cosα，2sinβ）=1，∴cos（α+β）=.
　　∵0＜α＜＜β＜π，∴β-α=.
　?。?）如圖，
　　||=1，||=2，〈，〉=θ，〈，〉=θ，由圖可知θ=β-，θ=-α，且θ，θ∈（0，），由=||cosθ=1，cosθ=，∴β-=，由=||cosθ=，cosθ=，∴-α=，∴∠AOB=β-α=，∴S=×2×1=1.
　　如果忽略了向量的圖形特征，求法就不容易找到了.
　　二、與解析幾何的綜合
　　解析幾何基本思想是利用代數(shù)方法研究幾何問題，是代數(shù)與幾何的綜合運用.而向量也具有集數(shù)形于一身的特征，所以兩者常常會交匯出現(xiàn).在中學(xué)教學(xué)中大家關(guān)注的往往是兩者數(shù)量關(guān)系的研究，而忘記了在形上的共同點，忽略了它acSWFKXsk6RanRTODllpmqTFJgpp2UkHV4lznDA7+W4=們的形的作用，從而使解題過程繁瑣.實際上如果在學(xué)習(xí)過程中我們能關(guān)注其形的特征，那么在綜合運用中就能化繁為簡，減少運算.
　　解幾中可能出現(xiàn)的向量內(nèi)容：
　　（1）+=?圳A是MM的中點；
　?。?）?=0?圳PA⊥PB，即∠APB是直角；當(dāng)與不共線時，?＜0?圳∠APB是鈍角；?＞0?圳∠APB是銳角；
　?。?）在△ABC中，給出==，等于已知O是△ABC的外心（三角形外接圓的圓心，三邊垂直平分線的交點）；
　?。?）在△ABC中，給出++=，等于已知O是△ABC的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點）；
　?。?）在△ABC中，給出?=?=?，等于已知O是△ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點）；
　?。?）在△ABC中，給出=（+），等于已知AP是△ABC中BC邊上的中線.
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　　例題：過雙曲線C：-=1（a＞0，b＞0）的左焦點F（c，0）作圓x+y=的切線，切點為E，延長FE交雙曲線的右支于點P，若=（+），求雙曲線C的離心率.
　　解析：如果純粹從數(shù)的角度，不作圖可這樣求解：
　　設(shè)P（x，y），則∵=（+），∴E為EP的中點，E（，）.
　　∵E在圓上，且∵⊥，∴?=-1（）+（）=?圯x=c-y=a-
　　∵P在雙曲線上，-=1?圯b（c-a+）-a（a-）=ab?圯bc-2ab-=0?圯4e-12e+5=0（e＞1）?圯e=，∴e=.
　　由于運算量較大，有的同學(xué)往往無法計算到底，但注意到其圖形的特征，作出幾何圖形，解題過程就可以大為簡化.
　　如圖，∵=（+）∴E為EP的中點，又O為FF的中點，而E在圓上，且OE⊥EP，∴FP⊥PF，且PF=2EO=a，由雙曲線的定義知EP=3a，根據(jù)勾股定理得（3a）+a=（2c）.
　　∴e=，所以e=.
　　近年高考對向量的考查難度成下降趨勢，我們在復(fù)習(xí)時需要把握好尺度，在解決向量與代數(shù)、三角、解幾等交匯問題時，注意運用或創(chuàng)造條件，調(diào)整思維方向，作出恰當(dāng)?shù)膱D形，運用向量工具簡潔地解決問