例談兩點之間線段最短

　　在數(shù)學問題中，有一類問題是求距離最短或周長最小的問題，許多同學望而生畏、一籌莫展.實際上，解此類問題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為平面上兩點之間線段最短的問題來解決，下面舉例說明.
　　例1：如圖1，要在河邊（直線l）修建一個水泵站，分別向A村、B村送水，問修在河邊什么地方可使所用的水管最短？
　　解析：如圖2，作出點A關(guān)于河邊所在直線的對稱點A′，連接A′B交直線l于點P，此時點P到點A點A′距離相等，根據(jù)兩點之間線段最短可知A′B最短，所以PA+PB有最小值，即水泵站應(yīng)建在P處，才能使水泵站到A村B村距離之和最小.
　　將直線同側(cè)兩點轉(zhuǎn)化到異側(cè)，構(gòu)造出兩點之間的線段，這對于以下幾題都具有直接的思想指導作用.
　　例2：如圖3，⊙O的半徑為2，點A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上的一動點，求PA+PC的最小值.
　　解析：如圖3，延長AO交⊙O于D，則A、D關(guān)于OB所在直線對稱，連接CD交OB于P，此時，由例1可知PA+PC最小.因為∠AOC=60°，所以∠COD=120°，作OE⊥CD，由垂徑定理可求出CD=2，即PA+PC的最小值為2.
　　歸納：在圓內(nèi)，利用圓的軸對稱性質(zhì)尋找對稱點快捷獨特，具有典型性.
　　例3：如圖4，∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點，PO=10，Q，R分別是OA，OB上的動點，求△PQR周長的最小值.
　　解析：如圖5，分別作P點關(guān)于OB，OA的對稱點P，P，連接PP交OB、OA于點R、Q，則PR=PR， PQ=PQ，△PQR的周長就等于PP的長，此時周長最小.連接OP，OP，則OP=OP=OP=10，∠POP=2∠AOB=90°，所以可求得PP＝10，即△PQR周長的最小值為10.
　　歸納：本題作點P關(guān)于角的兩邊的對稱點，將三角形的周長轉(zhuǎn)化為線段的長，同時利用對稱的性質(zhì)構(gòu)造等腰直角三角形，構(gòu)思巧妙.
　　例4：如圖6，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對角線BD（不含B點）上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN，AM，CM.
　　（1）當M點在何處時，AM+CM的值最小？
3OPUSTKigNV8Z6F6wmm5Dg==　　（2）當M點在何處時，AM+BM+CM的值最小？
　　解析：如圖7：（1）顯然M點在BD的中點時，A、M、C三點在同一條直線上，AM+CM的值最小.
　　（2）由題意可知，連接CE交BD于M點，在CE上取N點使∠MBN=60°，可證△ABM≌△EBN，得EN=AM；△BMN為等邊三角形，得BN=BM=MN，可得AM+BM+CM＝CE，此時AM+BM+CM的值最小.
　　歸納：本題利用旋轉(zhuǎn)作為內(nèi)在的變換，將（2）中的三條線段構(gòu)造為一條線段，從而形成兩點之間線段最短解題.
　　例5（2010天津）：在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點O在坐標原點，頂點A、B分別在ｘ軸、ｙ軸的正半軸，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點.
　　（1）若E為邊OA上的一個動點，當△CDE的周長最小時，求點E的坐標.
　　（2）若E、F為OA上的兩個動點，且EF=2，當四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標.
　　解析：（1）如圖8，作D點關(guān)于x軸的對稱點Q，連接CQ交x軸于E，由例1可知：此時△CDE的周長最小.CQ的解析式為：y=2x-2，可求得E（1，0）.
　　（2）如圖9，作D點關(guān)于x軸的對稱點Q，在線段BC上取點M，使CM=EF=2，連接QM，交x軸于E點，過C點作QM的平行線交x軸于F點，可知四邊形EFCM為平行四邊形，ME=CF，在四邊形CDEF中，邊CD、EF為定值，此時QE+ME=DE+CF最小，所以四邊形CDEF的周長最小.MQ的解析式為y=6x-2，可求得E（，0），F(xiàn)（，0）.
　　歸納：本題坐標系中的對稱性確定對稱點，特別是第二問中構(gòu)造平行四邊形，利用平行四邊形的對邊相等性質(zhì)來尋找E、F兩點的位置，立意巧妙.
　　以上問題都是在平面圖形中的兩點之間線段最短問題，另外還有一些討論立體圖形中兩點之間線段最短問題，以下列舉兩例做簡要分析.
　　例6：如圖10，一長方體的長、寬、高分別為4、3、5，一只螞蟻要從A點沿表面爬到C點尋找食物，則螞蟻爬行的最短路徑為?搖?搖 ?搖?搖.
　　解析：我們要把立體圖形展開為平面圖形，轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短的問題.但是，該長方體的長寬高不等，則有以下三種展開方式：
　　經(jīng)比較發(fā)現(xiàn)最小值為.
　　歸納：長方體的長寬高分別為：a、b、c，則異面兩頂點之間的距離根據(jù)不同的展開圖為：，，，然后經(jīng)比較確定最小值.
　　例7：如圖11，一個圓錐形的糧堆，母線長4米，底面圓半徑為1米，一只老鼠在底面圓上的某點A處，該老鼠要繞糧堆爬一周回到原處的最短路程是?搖?搖 ?搖?搖.
　　解析：如圖11，沿圓錐的母線OA將圓錐的側(cè)面展開，得扇形OAA′，則最短路徑為線段AA′，可求得扇形圓心角的度數(shù)為90°，在直角△OAA′中，AA′=4米，即老鼠爬行一周的最短路程為4米.
　　數(shù)學的教學與學習要注重知識的歸納、歸類，從而尋找特定的方法來解決問題，思路明確，具有一定的針對性、代表性.以上幾例是我在教學過程中選舉的一些典例加以說