強化反思訓練， 提升解題能力

　　摘 要： 反思是數學思維活動的核心和動力。在習題課教學實踐中，引導學生從知識脈絡、解題思路、解題過程、錯解根源和變式拓展等五個方面進行反思性學習訓練，有利于學生夯實基礎知識，提高審題能力，掌握解題方法，優化思維能力，把握解題規律，提升解題能力。
　　關鍵詞： 數學教學 反思訓練 解題能力
　　荷蘭著名數學家、數學教育家弗賴登塔爾指出：“反思是數學思維活動的核心與動力?！庇纱丝梢姺此荚跀祵W學習中的重要性。在習題講解過程中采取各種有效措施對學生進行反思性數學學習訓練，促使學生由被動反思轉為主動反思，由不會反思變成善于反思，是提高學生解題能力的有效途徑。在數學教學中，我從以下幾方面引領學生學會反思。
　　一、反思知識脈絡，夯實基礎知識
　　習題訓練的目的是對已學知識進行鞏固，進而熟練運用。因此，在反思過程中，教師要引導學生理清題干中的知識點及知識點之間的聯系，并加以鞏固。如：
　　例1：已知圓的方程x+y-6x-4y+12=0，求在y軸上的截距為1，且與圓相切的直線方程。
　　教師講解解題過程后，通過一系列設問，引導學生一步步反思知識點，總結題型結構。學生通過反思，應總結出的知識點有：
　?。?）圓心坐標公式（-，-）；
　　（2）半徑公式：r=；
　?。?）直線方程：點斜式y-y=k（x-x），斜截式y=kx+b；
　　（4）點到直線距離公式：d=；
　?。?）直線與圓的位置關系的判別方法：
　　距離法：相交：d＜r相切：d=r相離：d＞r
　　判別式法：相交：Δ＞0相切：Δ=0相離：Δ＜0
　　如果學生能堅持這樣進行反思，對于考試的知識脈絡將了然于心，夯實基礎知識就不會是一句空話了。
　　二、反思解題思路，提高審題能力
　　解題思路就是將理解題意時所獲信息和頭腦中的信息結合起來，進行加工、重組與再生，使思維向目標靠近，實現問題解決的過程。因此，反思解題思路的形成過程就是對信息加工、重組與再生的反思，探索如何實現從初始狀態到目標狀態的轉化，選擇哪條途徑，解題關鍵在哪里，看是否可用一般原理代替許多步驟，提高思維層次。結合例1，教師可以這樣引導學生反思解題思路。
　　教師：本題解題過程中，核心環節是什么？
　　學生：圓心到切線的距離等于半徑，即d=r。
　　教師：求圓心到直線的距離需要哪些條件？
　　學生：圓心坐標與直線方程。
　　教師：很好！由此，我們可以總結出本題的解題步驟了，本題可以分為幾個步驟來解答？
　　學生：四個步驟。第一步，設出直線方程；第二步，求圓心坐標與半徑；第三步，求圓心到直線的距離，并代入公式d=r；第四步，化簡求值得出結論。
　　教師：由此，我們可以得出如下解題規律：欲求切線方程，關鍵在于求出圓心到直線的距離，此時需要圓心坐標、半徑及直線方程三個基本條件。
　　通過這樣的反思，解題思路就會比較自然、有條理，從而大大地提高了思維層次，審題能力也會上一個新臺階。
　　三、反思解題過程，掌握解題方法
　　建構主義認為，學習并非學生對于教師所授予知識的被動接受，而是依據其已有的知識和經驗所作的主動建構。解題過程反思是對解題活動的反思，它是對解題活動的深層次的再思考，不僅僅是對數學解題學習的一般性回顧或重復，更重要的是深究數學解題活動中涉及的知識、方法、思路、策略等。因此在總結知識脈絡、反思解題思路之后，教師應引導學生回顧解題過程，分析破題關鍵，理清解題步驟，拓展解題思路，優化思維方式。特別是引導學生嘗試從不同的角度尋求解決問題的方法，通過探求一題多解，鑒別不同方法之間的作用、特征及差異，挖掘解決問題的核心問題與共同本質，最后升華為解題方法。如：
　　例2：求證=tanθ
　　證法1：（運用二倍角公式統一角度）
　　左邊===右邊
　　證法2：（逆用半角公式統一角度）
　　左邊===右邊
　　證法3：（運用萬能公式統一函數種類）設tanθ=t
　　左邊===t=右邊
　　證法4：可用變更論證法。只要證下式即可。
　　（1-cos2θ+sin2θ）sin2θ=（1-cos2θ）（1+cos2θ+sin2θ）
　　證法5：由正切半角公式tanθ==，利用合分比性質，則命題得證。
　　這樣，學生從不同的側面、多角度地思考體會探索的方法、策略，在不斷反思中，加深了對知識的理解，掌握解決問題的多種方法，溝通了知識與能力間的縱橫關系，訓練和培養了發散思維能力，提高了綜合解題能力。
　　四、反思錯解根源，優化思維能力
　　美國心理學家R.bainbrdge說：“差錯人皆有之，作為教師不利用則是不能原諒的。沒有大量的錯誤作為臺階就不能攀登上正確的寶座?！币虼?，面對在數學解題過程中，學生往往會出現形形色色的錯誤，教師除了糾正學生的錯誤，提出正確解法之外，還應引導學生反躬自省，挖掘錯解根源，探尋突破迷局的路徑，從而在探求新知的過程中加深對知識本質的理解和掌握，提高數學思維能力。
　　例3：求函數y=sin2α++（α∈0，）的最小值。
　　學生解答1：y≥2+=
　　學生解答2：y=sin2α+++
　　顯然，會有學生對這兩種解法提出質疑：等號取不到。最后經過積極論證，學生發現了下面解法：
　　y=sin2α+++
　　≥?2++
　　=++=2
　　這樣本題迎刃而解。但如果此時師生立即停止探究，則學生僅僅了解了本題的錯誤之外，收獲并不大。或許學生還會存在這樣的疑惑，這樣的分拆是否唯一？再次碰到類似的問題，怎樣分拆才合理呢？面對這樣的疑惑，教師應積極引導學生進行反思。
　　反思1：除了上述分拆方法，還有別的合理分拆方法嗎？
　　y=sin2α+-+
　　≥2-+
　　=2-+=2
　　反思2：這兩種合理分拆方法有什么共同的特征？
　　顯然，這兩種合理分拆都滿足“當sin2α=1時，y取最小值”，所以肯定會分拆出sin2α+的模塊，這也說明兩種分拆本質是一樣的。
　　反思3：為什么當sin2α=1時，y取最小值？
　　教師引導學生構造出函數y=++1在（0，2］上遞減，在［2，+∞）上遞增，而x=sin2α∈（0，1），故當sin2α=1時，y取最小值。所以上述兩種合理分拆其實是一致的。
　　通過這樣不斷引導學生反思，學生才真正明白了怎樣去分拆變形，同時也引入了解決最值問題的另一種有效的解法——利用函數的單調性，這比利用基本不等式更具一般性。教師還可引導學生再進一步探究形如函數y=ax+（a＞0，b＞0）的最值或值域，會收到更好的效果。在這一反思過程中，學生的數學知識與技能得以鞏固，數學思想方法得以有效滲透，數學思維能力得以優化和發展。
　　五、反思變式拓展，提煉解題規律
　　數學習題浩如煙海，但一些數學習題必然存在著共同的特點、共同的解決方法，對這類問題有通法可套用。這就要求學生在反思過程中，通過對題目的條件進行變換，或是對原題的結論進行拓寬引申，設計出新題并進行求解。這樣有助于學生全面認識數學知識間的相互聯系，把握問題的本質，提煉出同一題型的解題規律和技巧，達到舉一反三的效果。如：
　　例4：在等差數列{a}中，已知a+a+a+a=40，求S的值。
　　分析：本題只需根據公式得出a+a=a+a=a+a=20，代入前n項和公式，即可求解。
　　在學生得出正確解法后，教師可“借題發揮”，引導學生進行適當變換，開闊學生視野。
　　變換1：在等差數列{a}中，已知a=10，求S的值。
　　變換2：在等差數列{a}中，已知S=90，求a+a的值。
　　變換3：在等差數列{a}中，已知S=90，求a+a+a+a的值。
　　變換4：在等差數列{a}中，已知S=90，求a的值。
　　教師通過引導學生反思幾種變換，指導學生把與這種題型相關的問題研究透徹，把握解題規律，避免“題海戰術”，有效提高學習效率。同時，通過演變，可使學生思維活躍，充分調動學生的積極性，啟發學生的思維，提高學生的數學解題能力。
　　總之，引導和培養學生的反思意識和反思能力是數學學習活動中的重要內容之一。教師應通過多種途徑培養學生的反思的習慣，鼓勵學生自覺反思，讓學生在反思中感悟，在反思中不斷成長。
　　參考文獻：
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