淺析初中數學中的數形結合思想

　　摘 要： 本文主要從兩方面（一）建立適當的代數模型；（二）建立幾何模型（或函數圖像）揭示了數形結合思想在初中數學解題中的具體應用.
　　關鍵詞： 數形結合思想 初中數學 代數模型 幾何模型
　　在初中學段，數形結合是數學解題中常用的思想方法，數形結合的思想可以使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質，如果能將數與形巧妙地結合起來，有效地相互轉化，一些看似無法入手的問題就會迎刃而解，取得事半功倍的效果.
　　一、建立適當的代數模型（主要是方程、不等式或函數模型）
　　1.列方程解應用題的難點是如何根據題意尋找等量關系列出方程，要突破這一難點，往往就要根據題意畫出相應的示意圖.這里隱含著數形結合的思想方法.例如，在初一教學中，在行程問題方面，作為老師，我們應滲透數形結合的思想方法，依據題意畫出相應的示意圖，才能幫助初一學生迅速找出等量關系列出方程，從而突破難點.
　　例：一小船由A港到B港順流需行6小時，由B港到A港逆流需行8小時.一天小船從早晨6點由A港出發順流行到B港時，發現一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小時后找到救生圈，問：（1）若小船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小時？（2）救生圈是在何時掉入水中的？
　　解此類應用題多采用圖示法，教學過程中要充分利用圖形的直觀性和具體性，引導學生從圖形上發現數量關系找出解決問題的突破口.學生掌握了這一思想要比掌握一個公式或一種具體方法更有價值，對解決問題更具有指導意義.
　　2.新人教版第九章《一元一次不等式組》教學時，為了加深初一學生對不等式解集的理解，結合數軸表示解集很直觀.
　　教師要適時地把不等式的解集在數軸上直觀地表示出來，使學生形象地看到，不等式有無數個解，其中蘊藏著數形結合的思想方法.
　　3.函數及其圖像內容突顯了數形結合的思想方法.教學時注重數形結合思想方法的滲透，這樣會收到事半功倍的效果.
　　在教學二次函數的應用時，設計這樣的問題：
　　例：桃河公園要建造圓形噴水池.在水池中央垂直于水面處安裝一個柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m.由柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向沿形狀相同的拋物線落下，為使水流形狀較為漂亮，要求設計成水流在離OA距離為1m處達到距水面最大高度2.25m.
　　B6X8ikkvTcEunLnchHt1tw==（1）如果不計其他因素，那么水池的半徑至少要多少m，才能使噴出的水流不致落到池外？
　　（2）若水流噴出的拋物線形狀與（1）相同，水池的半徑為3.5m，要使水流不落到池外，此時水流的最大高度應達到多少m（精確到0.1m）？
　　根據此實際問題中數量變化關系的圖像特征，用相關的二次函數知識解決實際問題.可安排學生活動：（1）分析實際問題中的量，分清常量、變量及變量的變化范圍；（2）探索量與量之間的關系，變量的變化規律，確定函數關系；（3）根據函數關系式，求二次函數的最大值或最小值；（4）考查所得到的二次函數的最大值或最小值是否符合實際問題的意義，明晰結論.引導學生從探索具體問題中的函數關系的經歷中，體驗將實際問題數學化的過程，體會二次函數是刻畫現實世界數量關系的有效的數學模型，進而獲得相應的數學思想、方法和技能，感受數學的價值.
　　二、建立幾何模型（或函數圖像）
　　例1：A、B兩地相距150千米，甲、乙兩人騎自行車分別從A、B兩地相向而行.假設他們都保持勻速行駛，則他們各自到A地的距離s（千米）都是騎車時間t（時）的一次函數.1時后乙距A地120千米，2時后甲距A地40千米.問：經過多長時間兩人相遇？
　　分析：可以分別作出兩人s與t之間的關系圖像，找出交點的橫坐標即可.
　　例2：已知二次函數y=ax+bx+c的圖像的頂點坐標為（0，2），且ac=1.
　　（1）若該函數的圖像經過點（-1，-1）.
　　①求使y＜0成立的x的取值范圍.
　　②若圓心在該函數的圖像上的圓與x軸、y軸都相切，求圓心的坐標.
　　（2）經過A（0，p）的直線與該函數的圖像相交于M，N兩點，過M，N作x軸的垂線，垂足分別為M，N，設△MAM，△AMN，△ANN的面積分別為s，s，s，是否存在m，使得對任意實數p≠0都有s=mss成立，若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由.
　　不少同學一看如此多的文字且語言抽象，還沒有圖形，就放棄了，其實在分析此類問題時，應該將抽象的語言結合條件畫出圖形（不一定很標準），然后結合圖形觀察出（1）①使y＜0成立的x的取值范圍.②更是如此，再求得的拋物線上盡量多畫些圓，最終從你的圓中找到與x軸、y軸都相切的條件.（2）重新構造拋物線，畫出草圖，標出s，s，s，畫出經過A（0，p）的直線，表示出s，s，s，即可求解.
　　利用現有教材，教學中著意滲透并力求幫助學生掌握數形結合的思想方法，使學生在初中學段，做到“數”與“形”結合，相互滲透，把代數式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述相結合，使代數問題、幾何問題相互轉化，使抽象思維和形象思維有機結合，給學生提供足夠的材料和時間，啟發學生積極思維，相信會使學生在認識層次上得到極大的提高，收到事半功倍的教學效果.
　　參考文獻：
　　［1］全日制義務教育課程標準（實驗稿）.
　　［2］初中生學習方法與能力培