一道高考題引起的思考

摘 要： 在數學教學中，學生在學習的時候似乎已懂，而在實際操作過程中卻無法從問題中分離出數學問題的實質，從而導致解題的失敗.作者從一道高考題出發，對于高一基本不等式的教學作思考.

關鍵詞： 基本不等式 高一基礎數學 高考題

江蘇省2012高考題是一道應用題，如下：如圖，建立平面直角坐標系xoy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米.某炮位于坐標原點.已知炮彈發射后的軌跡在方程y=kx-■（1+k■）x■（k>0）表示的曲線上，其中k與發射方向有關.炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標.（1）求炮的最大射程；（2）設在第一象限有一飛行物（忽略其大小），其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標a不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由.

本題所考查的內容是函數、方程和基本不等式的綜合應用，是高中內容的重點，在這里考察的難度并不算大，但是從學生的得分情況看和教師的預期相去甚遠.究其原因，學生反應看不懂題目，數學中的看不懂題目并不是指不理解字面意思，而是無法從中抽象出數學模型，導致無法選用合適的數學方法解決問題.在平時學習中熟練掌握的各種方法找不到用武之地.經過教師稍加點撥，大多數學生均能解決此題，而自己獨立做題時卻出現“懂而不會”的尷尬局面.

現在的教材編排，高一的內容是重頭，而在高一的基礎教學中普遍存在進度來不及的情況，教師往往為了趕進度照本宣科，而學生停留在模仿機械訓練的狀態，解決變化的問題特別是如上題中隱藏在背景中的數學問題敏感性不強，無法抽象出其數學本質.比如高一的必修五的第三章不等式無疑是代數部分的重頭戲，課標指出“不等關系與相等關系都是客觀事物的基本數量關系，是數學研究的重要內容.建立不等觀念、處理不等關系與處理等量問題是同樣重要的.學生將通過具體情境，感受在現實世界和日常生活中存在著大量的不等關系，要求認識基本不等式及其簡單應用，體會不等式、方程及函數之間的聯系”.在教材中專門用一章研究“基本不等式”表明不等式在高中內容體系中占有重要位置，基本不等式還反映了算術平均數和幾何平均數之間的一種不等量關系，可以很好地解決實際生活中一些最大值與最小值問題，因此，基本不等式的內容對學生弄清楚數學知識內部聯系與解決實際問題很有好處.而且基本不等式有很多變換，還可以推廣推導出很多有用結論，在學生后續學習中起著重要的基礎作用.學習和應用不等式有利于學生觀察、分析、抽象概括、歸納總結等能力的培養，有利于學生自身數學知識的整合，比如不等式與方程、不等式與函數、不等式與數列等，幾乎觸及高中代數的各個部分.在不等式的教學中，教師應幫助學生理解和掌握數學的基礎知識、基本技能，在評價過程中要注重對數學本質的理解和思想方法的把握，避免片面強調機械記憶、模仿及復雜技巧.例如下面的案例：

問題：a，b∈R■，a■+■=1，求a■的最大值.

思路剖析：解決問題有兩個思路：①利用公式ab≤■關鍵是借助于條件a■+■=1使a■轉化為a■+■=1形式，a■=■a·■≤■·■=■■；

②在a、b兩個變量中利用題設條件消去其中一個，再利用基本不等式求最值.由已知b■=2-2a■代入所求得：

a■=3■=■■·■≤■（■）=■■.

點評：要善于觀察條件與待求式的結構，找出它們的共同處，不要盲目套公式.在學生中會出現這樣的盲目做法，如a■≤■，這樣右邊不能使用條件轉化為常數.

由上面的一個簡單案例可以看出，學生因為看問題角度不同會做出不同的操作方式，學生往往懂這個知識點，但在實際操作中往往感覺做不到底，不能合理地選用公式或者進行合理變形，受到對數學公式結構理解的影響.所以筆者認為在高一的教學中還應夯實雙基，引導學生對知識結構的理解，而并非是浮于表面的模仿.

參考文獻：

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