一元二次函數根的分布規律探究

引例：方程x2-2ax+4=0的兩根均大于1，求實數的取值范圍。

錯解：用韋達定理 設x1，x2為方程x2-2ax+4=0兩根，則x1，x2均大于1的充要條件x1+x2>2x1·x2>1·駐≥0

分析：錯誤的原因在于若此題運用韋達定理求解，則方程x2-2ax+4=0兩根x1，x2均大于1的充要條件(x1-1)+(x2-1)>0(x1-1)·(x2-1)>0·駐≥0

另解：運用求根公式方程x2-2ax+4=0的兩根為x=■=a±■.要使兩根均大于1，只要小根a-■>1即可，解得2≤a<■.

分析:此種解法思路簡單，但是求解過程計算量太大。

此例屬于一元二次函數根的實根分布問題。一元二次函數根的實根分布問題是初高中數學銜接的一個重要問題，也是高考的一個熱點問題。一元二次方程根的分布也是二次函數中的重要內容，也是歷來學生難以掌握的地方。這部分知識在初中數學中雖有所涉及，但遠遠不夠系統和完整。而且解題方法多局限于應用判別式法和根與系數的關系。本文通過“數形結合、函數與方程”淺顯易懂的簡析。分兩根分布在同一區間與兩根分布在不同區間兩種情況系統地介紹一元二次方程實根分布的充要條件及其運用，有助于學生掌握其精髓。

設方程ax2+bx+c=0(a>0)的不等兩根為x1，x2且x1

情況一：兩根分布在同一區間

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情況二：兩根分布在不同區間

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對表二的根的分布表中一些特殊情況作說明：

（1）有且僅有一根在(m，n)內有以下特殊情況：1.若f(m)=0或f(n)=0，則此時f(m)·f(n)<0不成立，但對于這種情況知道了方程有一根為m或n，可以求出另外一根，然后可以根據另一根在區間(m，n)內，從而可以求出參數的值．求出參數值后需檢驗是否滿足題意。若不滿足題意，則舍去所得參數值。2.方程有且只有一根，且這個根在區間(m，n)內，只要滿足·駐＝0，此時由·駐＝0可以求出參數的值，然后再將參數的值代入方程，求出相應的根，檢驗根是否在給定的區間內，如若不在，舍去相應的參數.

練習：已知二次方程x2+(m-3)x=0，根據下列條件求m的范圍.

（1）兩根都小于1；（2）兩根都在（0，2）內；（3）一根大于1，一根小于1；（4）一根小于2，一根大于4；（5）一根在（-2，0），一根在（0，4）;（6）有且只有一根在（0，2）之間.

分析：對于（1），（2）屬于兩根在同一區間的情況；（3）（4）（5）屬于兩根在不同區間的情況；（6）要考慮(ⅰ)f(0)·f(2)<0，解得0

綜上，m的取值范圍為0