函數與方程思想在解題中的應用

函數部分既是高中數學的一個重要知識點，同時也是一個難點。許多同學在學習這部分章節知識的時候都很難從本質上去理解、掌握，但長期以來這部分知識又在高考試題中占據著可觀的分值，而且考核的形式也比較靈活，學生在學習過程中稍有不慎就容易造成失分現象。那么，在平時的學習過程中應該如何訓練才能有效解決這一問題，提高函數試題的得分把握呢·下面，筆者就從函數方程思想這一方面來和大家探討一下。

我們都知道，對于任何一個數學初學者而言，可以把數學知識分為兩部分，一部分是固定的公式、定理，這部分內容相對來講是比較簡單的，學生在平時的學習過程中只需要反復多練習，就能夠提高應用的熟練程度和解題的準確程度；另一部分則是如何運用這些公式、定理，也就是對于數學學科的認識和理解深度。大部分學生在高中數學的學習過程中都能較為輕松地掌握第一部分內容，但對于第二部分內容的把握性就相對較低。換句話來說，學生在高考中之所以在函數部分失分情況較為嚴重，主要原因就是對于函數部分的本質內容和數學思想沒有達到深刻的認識程度。那么，應該如何把握這部分內容反映的函數與方程思想呢·

一、什么是函數與方程思想

在高中數學課本上，是這樣來分別定義函數和方程的概念的。函數關系是指自變量與因變量之間的一種特殊的映射關系；方程則是溝通了算術方法與代數方法的重要橋梁。由此可見，函數與方程在高中數學知識體系中都是起著重要的連接紐帶的作用，因此，在高中數學思想中常常將二者合稱為函數與方程思想。函數思想指的是在面對某一個或是某一類試題時，通過深入分析題目中所給的已知條件，結合自己學過的數學知識去構造出一個適合題意的函數模型，這個函數模型一定要是學生在日常學習中經常用到的、熟知其結構特點的函數模型，然后利用構造出來函數的性質去解決問題，找出答案。而方程思想則是從問題的數量關系入手，找出題目中所給條件和所求問題之間的等量關系，然后以方程或是不等式的形式反映出來，進行通過求解來找出問題的答案。但是，函數與方程的表達方式并不是一成不變的，很多情況下都可以進行轉化。面對已知條件和未知問題等量關系比較清晰的情況，就可以將函數轉化為方程，通過方程的求解或是不等式性質的變換來解決問題；面對函數特點明確（如奇偶性、單調性）的情況，就需要將方程問題轉化為函數問題，利用函數性質來解決數學問題。在高中階段，我們將函數思想、方程思想以及二者相互進行轉化的思想統稱為函數與方程思想，在具體的解題過程中，以下兩個方面問題的求解需要經常應用到函數與方程思想。一方面是在求解一些試題時迅速建立函數關系式或是構造出中間函數，進行轉化，將其他問題轉化為函數問題；另一方面是充分發揮函數性質的特性，用以解決方式、不等式以及參數范圍討論的問題。總的來說，適當的應用函數方程思想，能夠有效降低數學試題的難度。

二、函數與方程思想的具體應用

高中學習階段，函數與方程的表達式是可以相互轉化的。以方程為例，方程的左右兩端各有一個表達式，這兩個表達式可以看作是兩個函數式，而方程的求解過程也就是對函數式進行變形解答的過程，方程的解就是兩個函數式反饋到圖形上的交集。同樣的，多個函數式共同組成的求解范圍也可以以方程的形式表達出來。在具體的解題過程中，要善于挖掘題目中給出的隱藏條件，有意識地運用函數與方程思想進行解題。具體到高中知識，在進行以下幾個方面的試題解答時應用函數與方程思想有時候能夠起到事半功倍的作用。

一是在不等式解題中的應用。不等式是等式的一種特殊形式，不等號兩端各有一個函數式，但在實際解題時往往要通過等式進行解答，這就是方程。以函數f(x)為例，當討論函數f(x)與某一定值的大小關系時，就可以轉化為不等式問題。二是在集合問題中的應用。從學習層次上來看，集合可以看作是函數內容的基礎知識，函數方程思想自然也適用于集合問題。在集合問題中，大部分是用變量去研究問題，通過不同的變形去建立函數關系或是構造函數，近而應用函數性質去解題。同時，高中階段學習中遇到的變量大部分都是有一定的定義域的，從而構造出來的函數關系或是函數模型自然也有相對應的值域，這樣一來，又轉化成為方程問題。三是在數列問題中的應用。數列是高中數學中的一個重要知識點，從函數的角度來看，可以將數列看作是一類定義在正整數集定義域上的一類特殊函數，數列中的通項公式、等差數列求和公式以及等比數列求和公式，都可以看作是函數式。因此，在這些函數式的求解過程中可以引入函數性質，更有利于解題。四是在二項式問題中的應用。二項式問題由于較為抽象，許多學生在理解的時候都很難從本質上有所突破，但如果換個角度，把二項式通式看作是函數式來分析的話，可以大大降低學習難度。

總的來說，函數在高中數學學習過程中占據著非常重要的位置，由于它的知識點多、涉及面廣以及應用靈活性較強等特點，一直都是高考考查的重要知識點。在解答這類題型時，一方面需要反復多次地練習，加大訓練強度，從而提高解題的速度；另一方面還需要真正掌握這類題型的本質，了解出題人的意圖，在具體的解題過程中靈活運用函數與方程思想進行各種變換，從而達到解決問題的目的。