淺談數學教學中的發散思維與集中思維

摘要：數學能力是一個人思維能力的綜合體現，因此數學教學中的關鍵就是對思維能力的培養，本文通過對思維訓練原理、分類與技巧的分析來探討思維訓練與數學教學的關系以及如何有效地將其融入高中數學教學。

關鍵詞：數學教學；思維訓練

作者簡介：李超，男，重慶市璧山中學數學教師。

[中圖分類號]：G633.6 [文獻標識碼]：A

[文章編號]：1002-2139(2012)-17-00-01

前 言

古希臘時期，柏拉圖在他的的雅典學園門楣上銘下這樣一句話——“不懂數學者，莫入此門”，表明哲學家將數學能力視做個人思維能力的基礎與綜合表現。《圣哲言行錄》亦記載了柏拉圖曾成功地引導從未系統學習幾何的小孩自己推導出勾股定理，這可能是人類歷史上最早的數學教學記載，而柏拉圖則想以此證明兩件事，一是數學是一種先天存在于人類大腦中的知識，二是有效的思維訓練能直接有效地幫助個人開發自己的數學能力與數學潛力。對于即將成年大腦發育接近成熟的高中生來說，對發散思維與集中思維的有意識訓練將在數學教學過程中將起到更為積極有效的作用。

一、數學訓練就是思維訓練

觀察一個孩子從小學到高中的變化總能發現這樣的規律，小學時學生讀兩三遍就能記下的文章到了高中卻要花更長的時間，而低年級時絞盡腦汁才能明白的數學難題到了高年級似乎極其明白易懂。學生在語文學習中的記憶能力（不使用任何理解性技巧）隨著年齡增長而減弱這是腦發育的規律，而且人們普遍認可幼年時期是記憶的黃金時期。但對于后一種現象，很多老師認為這是學生數學知識積累的結果，其實不全然如此，與記憶能力的衰退一樣，邏輯思維、數學思維能力的提高在更大程度上是學生腦發育的表現。這意味著很多在低年級學生腦發育尚不完全時期需要“教”才能“學”會的數學知識，到了高中時期完全可以通過有效的引導自己領悟，因此高中數學教育具有其建立在思維能力養成基礎之上的特有規律。

高中學生的數學思維的形成建立在對高中數學基本概念、定理、公式理解的基礎之上，而發展高中學生數學思維最有效的方法是通過解決問題來實現的。然而，在學習高中數學過程中，我們經常聽到學生反映上課聽老師講課，聽得很“明白”，但到自己解題時，總感到困難重重，無從入手，這種現象其根源在很大程度上在于老師或學生在教與學的過程中忽視了對思維能力本身的培養，將題海戰術作為一種經驗性的積累而非規律性的探索。例如在代數幾何的教學中，學生可能通過大量分析同類題型來累積解題經驗，但如果老師未能引導學生在此過程中形成自主探索意識，那么當學生面對新題時往往依然感到似曾相識而又無從下手，因為學生在面對新問題時很容易去回想“過去那幅類似的圖”，而實際上一個點一條線的微妙變化可能使兩道題的解法存在本質差別。因此高中數學不能停留在對定理對題型的經驗性掌握，數學不是一種知識而是一種建立在思維規律基礎上能力。

二、發散與集中思維在數學教學中的應用

思維是人腦對客觀事物本質屬性和內在聯系的概括和間接反映，可分為發散思維與集中思維，發散思維（Divergent Thinking）又稱輻射思維或求異思維，是指大腦在思維時呈現的一種擴散狀態的思維模式，它表現為思維視野廣闊，思維呈現出多維發散狀，如“一題多解”， 不少心理學家認為，發散思維是創造性思維的最主要的特點。集中思維，是與發散思維相對而言的，又稱為求同思維或聚斂思維，就是從已知的種種信息中產生一個結論，從現成的眾多材料中尋找一個答案，因此集中思維就是鑒別、選擇、加工的思維。所以數學解題思維活動實際上是發散思維和集中思維有機結合而構成的思維活動。

1、善用發散思維鼓勵一題多解

發散思維代表了一個人思維能力的廣度與靈活度，良好的數學能力首先建立在優秀的發散思維基礎之上。數學題的答案只有一個，但獲取答案的路徑卻有很多，數學教學不是告訴學生答案，也不僅僅是為其指明一條路徑，而更應鼓勵、培養學生自主探索的能力。因此讓學生盲目地陷入題海，不如鼓勵學生用多種方法來求解經典題目，倡導一題多解、一題多變、一題多思，一旦養成良好的發散思維能力，即便學生面對陌生、復雜的題目也能盡快發現多種解題路徑。

在教學過程中引導學生自主修改題目條件的教學方式是培養發散思維的有效手段，在一題多解的基礎上，學生通過修改題目建立新題不僅是對題目本身更深層次的理解，更是一種問與答的角色轉換。讓學生站在出題者、提問者的角度來看待問題，更有助于他們發現數學定理萬變不離其宗的靈活運用。

2、培養集中思維做到一題巧解

發散思維有助于學生一題多解，但精準、縝密的集中思維能將其提升為一題巧解。尤其在幾何推導題中，不少學生都能發現兩種以上的解題思路，但這并不意味著他們能找到最快捷的解題方法，而如果恰恰選擇了復雜的解題思路，還是很容易在推導過程中犯錯并花費更多的時間。與發散思維相比集中思維具有更高的抽象度，要求學生對數學基礎擁有更全面更深入的理解。解題過程中的集中思維具體體現為對多種思路的鑒別與篩選，仍以幾何推導為例，在推理過程中巧用定理、推論往往能極大地簡化解題步驟，而這必須建立在學生對公理、定理與推論之間關系擁有深層次理解的基礎之上。

培養集中思維的最有效方式莫過于讓學生總結在解題過程中所用到的公理、定理，一題多解能讓學生發現解答同一題所用到的多種定理、推論，而對定理的再反思則有助于學生總結如何篩選、發現最簡易快捷的解題路徑，做到這一步時數學往往已成為學生的樂趣。

3、運用素質教育培養思維能力

優秀的數學教學其實是思維訓練，而良好的思維訓練往往離不開素質教育，發散思維與集中思維的靈活轉換運用建立在學生良好的綜合素養之上，因此優秀的數學老師必須通過良好的素質教育讓學生愛上數學，養成主動思考、積極思考的思維習慣。數學課堂上的素質教育往往表現為趣味數學與趣味邏輯，并且最好能將時事與生活融入數學之中，讓學生親身體會數學與生活的緊密關系，讓學生認識到愛數學就是對思考對知識對創造的熱愛。

三、結語

當前很多學者包括教育界內人事詬病我國初高中數學教育過于拔高，甚至說“買菜用不著cos，何必學那么復雜”，這源于人們認為數學就是解題的狹隘單一映像，而事實上數學訓練與思維訓練是互有助益、相輔相成的，對很多人來說在生活中直接運用高深數學技能的機會確實不多，但通過數學教育培養起來的優秀思維能力、良好思維習慣以及對解決問題的由衷熱愛卻能讓人受用一生。因此，在高中數學教育中脫離傳統的題海模式，善用發散思維與集中思維的培養，將使學生從數學課堂中獲得更長遠的助益。