一道課本問題的解決引發的思考
2012-12-31 00:00:00劉洪志
中學課程輔導·教師教育(上、下) 2012年23期
摘 要：數學課程改革應倡導教學探究，讓學生在探究過程中理解數學的本質。筆者認為這里的探究的含義是多方面的，對我們一線教師而言對課本上的知識生成、例習題解法以及涉及的思想方法的探究意義尤為重要。
關鍵詞：探究；課本問題；多種方法；數學思想
中圖分類號：G427 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2012）23-068-1
選自蘇教《選修1-1》P90 練習8：已知海島A與海岸公路BC的距離為AB為50km，B，C間的距離為100km.從A到C，先乘船，船速為25km/h，再乘汽車，車速為50km/h，登陸點應選在何處，所用時間最少？
分析：易知點P一定在B，C之間，可設BP=x，則水路AP=2500+x2公里，陸路PC=（100-x）公里，將這里的總時間y表示成關于x的函數，得y=2500+x225+100-x50，這里由題意可知x∈（0，100），下面就是如何解函數的最小值問題了。
方案1 由于我們剛剛學習過導數，我們可以對函數進行求導
y′=12（2500+x2）′252500+x2-150=x252500+x2-150，令y′=0則x2500+x2=12，
x=5033（負值舍去）
當x∈（0，5033）時，y′<0；
當x∈（5033，100）時，y′>0。
所以當x=5033時，函數有最小值。
所以當登陸點距離B點x=5033km時，所用時間最少。
這種處理問題的方式是用導數來研究函數的最值，學生容易想到這種處理方案。“這個世界本不缺少美，只是缺少發現的眼睛”，同樣，我們是不是少了探索的眼睛呢？是不是我們對問題的解決就僅限如此呢？
方案2 u=22500+x2-x，為了求解u的最小值，除了平方，我們還可以考慮把根式里面的式子配成完全平方式，聯想到1+tan2θ=sec2θ，我們可以將函數關系變形為u=22500+x2-x=1001+（x50）2-x，令x50=tanθ，θ∈（0，arctan2），則
u=1001+tan2θ-50tanθ=100secθ-50sinθ=100cosθ-50sinθcosθ=50·2-sinθcosθ
上面兩種方案中我們都是選擇的長度為變量，實際上我們在處理這種圖形類應用題時經常選擇一個活動的角為變量。下面我們來看如下解法。
方案3 設∠BPA=θ，（arctan12<θ<π2），于是有AP=50sinθ，CP=100-50tanθ
則所用時間y=AP25+BP50=2sinθ-1tanθ+2=2-cosθsinθ+2
下面的處理方式就豐富多彩了，（1）可以轉化為方案3的處理方法，看成是斜率模型，利用數形結合的思想方法解決。（2）我們可以利用導數解決y′=（2-cosθsinθ+2）′=1-2cosθsin2θ，令y′=0，則cosθ=12，θ=π3
當θ∈（arctan12，π3）時，y′<0，函數單調遞減
當θ∈（π3，π2）時，y′>0，函數單調遞增
所以當θ=π3，即BP=50tanθ=5033∈（0，100）時，函數有最小值，即著陸點據點B為5033km時所用時間是最少。
我們再回頭看幾種解法，方案2為了去掉根號，我們采用了三角換元，我們沒有考慮角θ的幾何意義。但是在方案3中，我們直接選擇了∠BPA=θ作為變量，實際上方案2中的角實際上就是∠BAP啊！
這兩種方案本質是相同的呀！總結起來前面的3種方案可以變化為8種解題方法。
辯證唯物主義認為事物是普遍聯系的，在數學中，不同的數學分支，不同的思想方法之間也都具有這種聯系性，有的顯而易見，有的則較為隱秘。數學教學的一個功能就是要向學生揭示這種關系，在這個過程中，可以使學生的知識體系得到整合，并逐漸對數學中的各種思想方法如轉化、數形結合等思想產生較為清晰的認識。
回顧這幾種方法，無非是選擇長度為變量，還是角為變量列出時間與變量之間的函數關系。但當你看問題的視角不同，切入口不同時，所面臨的問題也不盡相同。雖然這幾種方法中有些處理問題的方法現在不常用甚至不用，但我們不能否認這種思維方式的存在。一道課本問題的解決背后有著豐富數學思想，如果沒有認真探究和深入的思考是沒有辦法領悟到的。
王國維在《人間詞話》說：“古今之成大事業、大學問者，必經過三種之境界。數學解題也何嘗不是呢？第一重境界是“解”，就是想盡一切辦法解決當前問題；第二重境界是“思”，就是解題后的回顧和反思，總結解題的思想、方法和變化；第三重境界是“歸”，就是將獲得的知識經驗與書本知識聯系起來，在回歸到書本上來。只有這樣多思考，多探索才能諳熟課本例、習題目功能，對數學本質有著更深入的理解。只有這樣，數學教師才能引領學生跳出題海，數學才能真正從學術形態走向教育形態。
