培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)建合理的數(shù)學(xué)模型

摘 要：教師應(yīng)以生活數(shù)學(xué)問(wèn)題為載體，培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)建合理的數(shù)學(xué)模型，真正把提高學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)落到實(shí)處，激發(fā)學(xué)生潛能。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型；研究；應(yīng)用

中圖分類(lèi)號(hào)：G427 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2012）23-090-1

一、根據(jù)問(wèn)題建立模型

在學(xué)生議論的基礎(chǔ)上，做如下總結(jié)：

設(shè)原窗戶(hù)面積為a、地板面積為b（00），要解決問(wèn)題3，只需證明不等式a+mb+m>ab成立即可，回過(guò)來(lái)思考問(wèn)題1、2都是同一個(gè)模型。

模型：已知a，b∈R+，并且aab

二、模型的研究

現(xiàn)在就上述模型的正確性證明方法進(jìn)行討論，你能用何方法證明這個(gè)不等式正確。學(xué)生討論總結(jié)：

（1）常規(guī)方法：

證法一：求差（求商）——比較法；

證法二：執(zhí)果索因——綜合法；

證法三：正難則反——分析法。

（2）幾何方法：

考慮模型的右邊ab的形式，聯(lián)想到三角函數(shù)在直角三角形中的定義，以及增量m可看作直角邊的適當(dāng)延長(zhǎng)，觀察右邊的直角三角形，不難得到下面的證法：

證法四：橫向聯(lián)系——構(gòu)造斜率法

在射線(xiàn)y=x（x<0）上任取一點(diǎn)A（.m，.m），設(shè)B（b，a），由b>a>0知，B在第一象限位于直線(xiàn)y=x的下方，易知：kAB>kOB，所以：a+mb+m>ab

如果把模型的左邊施行分子、分母同除于b的恒等變形，即

a+mb+m=ab+1·mb1+mb（b，m∈R+）這個(gè)式子的形式使我們聯(lián)想到定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式，于是就考慮坐標(biāo)符合上式的點(diǎn)的位置關(guān)系，利用這個(gè)位置關(guān)系研究模型。

下面我們換個(gè)角度來(lái)進(jìn)一步研究模型

（3）函數(shù)的方法：

對(duì)于模型的形式，如果我們簡(jiǎn)單地把兩邊都看成正分?jǐn)?shù)，對(duì)真分?jǐn)?shù)ab（b>a>0）的分子、分母同加一個(gè)正數(shù)m，其結(jié)果是分?jǐn)?shù)變大了，這個(gè)特點(diǎn)不禁激起我們用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)研究模型的欲望。

方法五：動(dòng)靜結(jié)合——單調(diào)函數(shù)法

設(shè)x≥0，y=f（x）=a+xb+x=1+a-bb+x則由00時(shí)，f（m）>f（0），因此a+mb+m>ab

如果進(jìn)一步對(duì)模型中m應(yīng)滿(mǎn)足的條件進(jìn)行研究，我們發(fā)現(xiàn)，不等式a+xb+x>ab的解集是（-∞，b）∪（0，+∞），即只需m在（-∞，b）∪（0，+∞）內(nèi)取值，不等式a+mb+m>ab必定成立，因此利用解不等式也是證明模型的一個(gè)好的方法。

方法六：縱向聯(lián)系——解不等式法

因?yàn)椴坏仁絘+xb+x>ab的解集是（-∞，b）∪（0，+∞）又因?yàn)閙∈R+，R+是（-∞，b）∪（0，+∞）的子集，所以當(dāng)x=m時(shí)，不等式成立，即a+mb+m>ab成立。

三、模型的應(yīng)用

研究模型的目的是將模型正確、方便地利用解決問(wèn)題，這也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目的，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)必須強(qiáng)調(diào)知識(shí)和方法的應(yīng)用。

應(yīng)用：（1）已知a、b、c為△ABC的三邊，求證：ab+c+bc+a+ca+b<2

分析：請(qǐng)學(xué)生思考：①本題結(jié)論的特點(diǎn)（輪換分式）；

②和模型的關(guān)系（放大左邊）；

③是否具備用模型的條件（兩邊之和大于第三邊）.

證明：在△ABC中，a

由模型知：ab+c<2aa+b+c

同理ba+c<2ba+b+c；ca+b<2ca+b+c；

故ab+c+ba+c+ca+b<2ca+b+c=2

應(yīng)用：（2）設(shè)z1、z2∈C，求證：|z1+z2|1+|z1+z2|≤|z1|1+|z2|+|z2|1+|z2|

分析：能否利用模型分離|z1+z2|成為|z1|、|z2|的形式.

證明：∵|z1+z2|≤|z1|+|z2|，∴|z1|+|z2|-|z1-z2|≥0

∴|z1+z2|1+|z1+z2|≤|z1+z2|+|z1+|z2||-|z1+z2|1+|z1+z2|+|z1|+|z2|-|z1+z2|=|z1|+|z2|1+|z1|+|z2|

=|z1|1+|z1|+|z2|+|z2|1+|z1|+|z2|≤|z1|1+|z1|+|z2|1+|z2|

說(shuō)明：很明顯，不等式左邊是類(lèi)似函數(shù)f（x）=x1+x的形式.

我們利用函數(shù)的單調(diào)性證明了模型，同樣也可以證明上面的不等式，所以函數(shù)方法是證明不等式的一種常用方法。

模型的應(yīng)用實(shí)質(zhì)上是對(duì)模型本質(zhì)的進(jìn)一步研究和發(fā)掘，通過(guò)應(yīng)用，使學(xué)生感受到，對(duì)研究的結(jié)果深入的思考，能夠做到舉一反三，觸類(lèi)旁通，真正提高學(xué)習(xí)效率，從盲目的解題中解脫出來(lái)，既有利于減輕學(xué)生的負(fù)擔(dān)，也有利于培養(yǎng)思維的廣闊性和深刻性。