《素數和合數》教學實錄

【名師檔案】

陸麗萍，溧陽市外國語學校副校長。中學高級教師，江蘇省數學特級教師，江蘇省第二批人民教育家培養對象，江蘇省優秀教育工作者，常州市中小學名教師工作室領銜人。出版專著（編著）2本，在國家級、省級刊物發表論文100多篇，先后應邀到青海、山西、福建、四川、河南、南京、蘇州等省市上公開課、作講座多次。

教學內容：《素數和合數》（蘇教版四年級下冊）

教學時間：2012年3月24日

教學場合：“三晉之春”全國名師小學數學教學觀摩活動

教學地點：山西省小學教師培訓中心大禮堂

教學班級：山西太原市興華小學四（2）班

一、激活問題意識，喚醒探究欲望

1.創設問題情境

師：請大家嘗試著從12個小正方形里拿出幾個來，拼成一個大的長方形。

生：我拿出了12個小正方形，拼成的是6×2型的長方形。（見下圖1）

師：還有誰是用了12個小正方形拼的？

生：我也拿出了12個小正方形，拼成的是12×1型的長方形。（見下圖1）

生：我也是拿出了12個小正方形，拼成的是4×3型的長方形。（見下圖1）

師：12個小正方形還能拼成其他形狀的長方形嗎？

生：不能，12個小正方形拼成長方形只有這三種。

師：其他同學又是用了幾個小正方形拼的呢？

生：我拿出了8個小正方形拼成的長方形有兩種，一種是4×2型，另一種是8×1型的長方形。（見下圖2）

生：我拿出了7個小正方形，只能拼成一種，是7×1型的長方形。（見下圖3）

生：我拿了11個小正方形，也只能拼成一種，是11×1型的長方形。

2.激活問題意識

師：我們同樣都是拿了一些小正方形去拼長方形，為什么有的可以拼成幾種不同的長方形？有的卻只能拼成一種長方形？

生：拿的個數不同，拼成的長方形的個數就會不同。

師：怎么個不同？

生：我感覺拼成的長方形與拿出小正方形個數的因數有關。

生：對的，12它有1，2，3，4，6，12六個因數，能拼成3種；11只有1和11兩個因數，只能拼成一種。

師：那我們就根據這些數的因數個數情況繼續來研究。

二、引導探究發現，實現意義建構

1.觀察比較，嘗試分類

師：請先寫出1～20各自然數的所有因數，再觀察與思考。（學生填寫下表）

師：我們可以看到，以上各個自然數的因數的個數都不盡相同，如果請你從一個數所含因數的個數來分類的話，你打算分為哪幾種情況？

生1：我分了許多類，按照有幾個因數就分為幾類，于是就分成了只含有1個因數的為一類，只含有兩個因數的分為一類，含有3個的分為一類，含有4個的分為一類……；

生2：我打算分為兩類，只含有1個因數的分為一類，含有兩個或兩個以上的分為一類；

生3：我是分為三類，只有一個因數的1單獨為一類，只含有兩個因數的一類，含有3個或3個以上因數的分為一類。

師：剛才大家發表了各自的想法，請大家比較：以上三種不同的分類方法哪一種是比較合理的？為什么？

生：我覺得生1的方法有點欠妥，因為照這樣，不知要分為多少類，這樣就不簡單了，分類就是要變得更簡潔些。

生：我也覺得生1的方法不妥，我比較喜歡生3的分法。

生：生2的方法也是可以的，這樣就把自然數分為兩類。

生：我認為生3的方法更合理，簡單把自然數分為1和其他自然數，其他里面的自然數太多了，沒有分得更清楚些。

（大多數學生紛紛點頭，認為生3的分法更合理。）

教師指出：古代的數學家也像我們同學一樣，在經歷了多次的分類嘗試研究之后，決定將以上自然數分為三類。

2.引導發現，意義建構

師：請大家繼續深入觀察以上各類自然數的因數，你能發現什么？

生：像第二類2、3、5、7、11、13、17、19的這些數，它們的因數只有1和它本身兩個因數。第三類數至少含有3個因數，有的有4個、有的有5個，有的更多。

生：我知道，像這類（指著第二類）數叫素數，第三類數叫合數。

師：對，我們把像第二類數，它們只有1和它本身兩個因數的數叫做素數，也叫質數。而像4、6、8、9、10、12、14、15等的數，它們除了含有1和它本身兩個因數之外，還含有其它的因數，我們把這類數叫做合數。

師：請大家從1～20中，自己任意選擇一個數說一說它是素數還是合數。并說一說為什么？（學生舉例說明）

生：老師，1到底是什么數？

師：你們認為呢？

生：1既不是素數也不是合數。

師：請大家討論“1為什么既不是素數也不是合數？素數與合數有什么區別？”

生：1的因數就是它本身，只有一個因數，所以它既不是素數，也不是合數。

生：素數和合數的區別主要看因數的個數。

3.判斷內化，變式強化

師：請獨立判斷下面這些數哪些是素數，哪些是合數？并說一說你判斷的方法。

15 40 13 28 21 19 77 111

生1：我認為15、40、28、21、77、111都是合數，其余的是素數，我判斷的方法是一個一個找出各數所有的因數。

生2：我同意他的結果，不過我是用能被2、3、5整除的數的特征來判斷它們除了含有1和它本身外是否還有2、3或5。

師：（面對生2）請你舉例說一說你的方法？

生：比如說，40除了1和40兩個因數，它還有2、5，所以肯定不止兩個因數，所以40就是合數。比如，111的因數，除了1和111兩個外，至少還能被3整除，所以它也是合數。

師：（指著生1）你覺得唐詩杭的方法怎么樣？

生1：唐詩杭的方法比我的更簡單。

師：我們既可以用一一列舉找出所有因數來判斷，也可以用能被2、3或5整除的數的特征來巧判。

三、經歷研究過程，感悟數學文化

1.創設問題沖突

師：你能很快獨立判斷下面各數哪些是素數，哪些是合數嗎？

22 49 80 29 91 89 73

生：我認為22、49、80是合數，其余的是素數。

生：我覺得22、49、80、89是合數。

生：我看22、49、80、73是合數。

（此時，在判斷91、89、73時會有學生有困難，一時很難有把握。）

師：看來，這些數到底是素數還是合數真有些難判斷。別急，我們一起繼續研究，有沒有更好的辦法呢？

2.感悟數學文化

師：（發給每個學生一張50以內的自然數表）請你獨立想方設法快速尋找出50以內自然數的所有素數。（大概用時5分鐘）

（教師故意鼓勵學生想出方法來找，根據每個學生的思維水平和思考策略形成解決問題的差異，生成方法優化的資源，為下一步感悟數學文化價值的魅力做情感的渲染和智慧的啟迪。）

生1：老師，我還沒找完，我只找到了第二排，我是用一個一個地排除的方法去慢慢地找的。

生2：我是胡亂地找出一些，但好像沒找全。

生3：我是劃掉了2的所有倍數（2除外）。（圖4）

生4：我不僅劃掉了2的所有倍數，還劃掉了5的所有倍數（2、5除外）。（圖5）

生5：我補充，我比他們劃得還要多，不僅要劃掉2、5的倍數，我還將3的倍數全劃掉了（2、5、3除外），剩下的數都是素數。（圖6）

師：你們剛才都能充分發表自己的觀點和想法，很好。學習就是需要交流，學習就是需要碰撞。你們覺得哪些同學的方法對你有啟發？

生1（剛才的）：我覺得他們幾個的方法比我想的更簡便些。

師：是啊，我們在解決問題時可以根據具體情況靈活采用不同的方法去思考。你真會傾聽，傾聽是一種非常重要的學習品質。

生2（剛才的）：我的方法盡管簡單些，但沒有找全，狄煜（生5）找得比我全。

師：（呈現生5的數表，即圖6）這些數都是素數，你們同意嗎？如果同意，請你們將這些素數一個接一個報出來。

生（齊報）：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，

31，37，41，43，47

（當報到49時，有的學生舉手有話要說。）

生：老師，我補充，49不是素數，它是7的倍數，七七四十九。

師：看來，我們要找出50以內所有的素數，先將1劃掉，再將2、3、5、7的倍數劃掉（2、3、5、7本身除外），剩下的數就是素數了。

（學生直點頭表示同意）

3.思辨引發思考

師：學數學不光要知道怎么做，還要知道為什么這樣做。那么大家有沒有想過這樣一個問題，為什么只要劃掉2、3、5、7的倍數就能找全了呢？要不要劃掉4、6的倍數，8、9的倍數要考慮嗎？為什么？請獨立思考一會兒。

生：不要再考慮4、6、8、9的倍數了。因為2的倍數已經把4的倍數全包括進去了，2、3的倍數同時也就是6的倍數。同樣的，8、9也不要考慮了，都會重復的。

師：那么，還要不要考慮11的倍數？13呢，為什么？

生：不用，因為在50以內，11的倍數不超過5倍，2、3、4、5倍就已經是55了。13也是這個道理。

師：學數學就是要這樣，想一想，還可能會是什么情況，再想辦法驗證、思考，將問題考慮得更全面、更深刻。

4.體驗文明成果

師：照這樣的方法，我們能制作一張100以內的質數表（呈現100以內的質數表，并向學生呈現2000多年前古希臘數學家“厄拉多塞尼篩法”的數學史料）。

師：你會再根據質數表迅速判斷以下各數哪些是合數？

33 29 63 51 79 35 53

師：請大家選擇合適的素數填寫下面的空格，使等式成立。

4=（ ）+（ ） 5=（ ）+（ ）

6=（ ）+（ ） 7=（ ）+（ ）+（ ）

8=（ ）+（ ） 9=（ ）+（ ）+（ ）

（學生判斷、填空略）

師：（結合此題的練習）介紹了“哥德巴赫猜想”，以及陳景潤感動中國的故事和所做出的杰出貢獻。

四、拓展遷移綜合，實踐應用提升

1.拓展遷移

師：請獨立完成表格（自然數1～20的表格）的填空與選擇。并說一說：觀察這張表格，你能發現哪些有趣的數學秘密？

生：我發現（表格中）奇數中只有9和15是合 數，其余的都是素數。

生：我發現偶數都是合數。

師：誰對他的回答有補充？

生：偶數除了2外，其余的都是合數。

生：最小的合數是4，最小的素數是2。

生：合數中有的是奇數，有的是偶數。

2.實踐應用

師：接下來我們玩一個\"猜電話號碼\"的游戲，老師辦公室的電話號碼是一個七位數ABCDEFG。其中：

A：10以內最大的質數（ ）

B：是偶數又是質數（ ）

C：小于10的最大的偶數（ ）

D：5的最小倍數（ ）

E：比最小的偶數小2的數（ ）

F：最小的合數（ ）

G：既不是素數，也不是合數（ ）

（學生饒有興趣地猜出了電話號碼）

3.質疑提升

師：馬上要下課了，你對本節的學習內容還能提出哪些感興趣的問題來研究？

生1：人類怎么想到要研究素數和合數的？

生2：學習素數和合數有什么用？

生3：有沒有最大的素數？

……

（陸麗萍，溧陽市外國語學校，213300）