深入，成就深度

三議三上：從此案到彼案

小學數學規則的主要內容為法則、定律、公式等。規則學習是小學數學學習的重要組成部分。以數學規則教學為主題，筆者所在學校的四數備課組進行了三次主題沙龍。

在第一次沙龍中，備課組認為規則教學的一般模式為“提供情境、形成猜想、進行驗證、形成規則、運用規則”，即“觀察——猜想——驗證——運用”。隨后以“5的倍數的特征”為例進行教學嘗試，通過觀察形成猜測，并通過大量舉例得出結論。

在第二次沙龍中，備課組老師對于“小范圍觀察——形成猜想——大范圍驗證——得出結論”充分給予認可，但同時指出在舉例指導上教師缺位。在第二次嘗試中，“如何舉例驗證”這一環節，教師著力借助比較引導思考。“我更喜歡第二位同學的。因為他舉的例子有三位數、四位數、五位數，類型不同，比較全面。而第一位同學都找三位數，只能說明三位數中個位上是5或0的都是5的倍數。”這樣的思辨規避了簡單應用不完全歸納推理的弊端，體現了讓不完全歸納走向完全的雛形。

在第三次沙龍中，一位同學的提問引發了新的問題鏈。“我們舉的例子中有三位數、四位數、五位數，我自己還計算了一個九位數，都是成功的。但是如果計算器不能算出來的數，是不是也符合這樣的猜想呢？”于是，我們開始了第三次教學嘗試，“從一位數到兩位數、三位數、四位數、五位數……甚至我們同學任意舉例的九位數，我們舉了這么多例子有沒有不符合猜想的？”“到目前為止我們還只能說明九位數以內的整數可以通過個位進行判斷。”“如果是十位數、十一位數……不能借助計算器計算怎樣思考呢？”在不斷地追問與自問中，從感性的不完全歸納走向了理性的初步推理思辨。

三次沙龍，三次執教，三次反思，從理解到建構，從建構到重構，在教研中教師不斷豐富著對于規則教學的理解，也享受著“從此案到彼案”、“從此岸到彼岸”的研究的幸福。

三省三思：從此岸到彼岸

一、內容解析：從字詞句段走向篇章體系

小學數學中的規則學習如散落的珍珠遍及小學教材的12冊。在規則教學過程中不能見木不見林。需要教師站在全局出發，了解其內容體系。確定每一單元、每一課時內容的位置，了解其在知識體系中的價值與作用。

1.基于系統視野解讀文本

在小學數學的規則學習中，根據所學數學規則與原有認知結構中有關數學知識之間的關系，規則學習主要分為上位學習、下位學習和并列學習。

如果所學習的新知識在概括水平上高于原有認知結構中有關內容，需要歸納、綜合、概括成新的數學規則，那么這時的學習就是上位學習。上位學習須具備兩個條件：一是所學習的數學規則在概括層次上要高于原認知結構中的已有知識；二是原認知結構中要有可供歸納和概括的內容。如：根據長方體的體積計算公式V=abh、正方體的體積計算公式V=a3、圓柱體的體積計算公式V=πr2h概括出統一的計算公式V=Sh。

如果所學習的新知識在概括水平上低于原有的認知結構中的知識水平，那么這時的學習就是下位學習。下位學習從其類型來分，又可以具體分為派生類屬學習和相關類屬學習。派生類屬學習是將要學習的新規則整合到原有認知結構的有關內容中去，新規則對原有知識只起支持或證實的作用。如圓柱體的體積計算方法，借助于長方體的體積計算方法，通過把圓柱體轉化為近似的長方體，從而派生出圓柱體的計算公式V=Sh。相關類屬學習是指將要學習的新規則整合到原有認知結構中的有關內容中去，并使原有認知結構發生變化。如三角形面積計算公式雖然不能直接由平行四邊形面積計算公式派生出來，但是可以通過平移旋轉拼合轉化成平行四邊形，從而得出其面積計算公式s=ah÷2。

如果所學習的新知識僅僅是由原有認知結構中相關內容進行的合理聯系，借助類比進行學習，那么這時的學習就是并列學習。并列學習所采用的思維方法主要是類比，其關鍵在于尋找新規則與原有認知結構中有關法則、規律、性質的聯系，在分析這種聯系的基礎上通過類比實現對新規則的理解和掌握。如分數的基本性質、比的基本性質與除法中商不變性質，可以通過類比加以溝通，統一對“除數不能為0”“分母不能為0”“比的后項不能為0”的認識。

2.基于兒童立場展開過程

（1）重要規則多次滲透

為適應小學生認知能力及認知規律，小學數學中的重要規則，采用先滲透，再深化，逐步提高的分段編排方法。以蘇教版教材為例：乘法分配律就采用了多次呈現、豐富感知、逐步深化的滲透式編排方法（如下圖打勾部分所示）。

教材中相關內容編排如下：

二年級上冊乘法口訣（一）想想做做

三年級下冊 《乘法》單元練習四P35

四年級下冊 《乘法》單元練習一P8

四年級下冊 《混合運算》單元P36

四年級下冊 《運算律》單元P54

（2）隱性規則多次感悟

根據兒童的認知特點，有些規則不形成命題的形式，而是通過習題給出。“隱規則”也是小學數學知識的重要組成部分。如減法、除法的運算性質，教材中未給出結語，但要求學生會利用它簡化運算。以蘇教版教材為例：一個數連續除以兩個不為0的數，等于這個數除以這兩個除數的積。這條規則作為隱規則就多次在蘇教版教材中通過習題形式展現。通過觀察、計算、比較，感知規則，并進而應用規則。

教材中相關的內容呈現如下：

三年級上冊 《除法》單元復習P12

三年級下冊 《除法》單元練習一P5

三年級下冊 《除法》單元復習P15

二、目標解析：從知識技能走向過程方法

規則教學作為數學教學的重要組成部分，其目標定位需要在整個數學教育的大目標體系中尋求到其對應元素。

1.目標定位基于價值思考

對比各國的數學教育目標，可以發現相似度頗高，對于數學規則學習所承載的意義也有很多相通之處。

法國小學數學教育的目的在于培養推理能力和發展學生的抽象思維。教學指導中特別指出要注意培養學生的論證能力。美國的《中小學數學課程與評估標準》指出應當集中精力學會將推理和證明作為理解數學的一部分，以便所有學生承認推理和證明是數學的本質和有力的部分；提出和考察數學猜想；發展和評價數學爭論與證明；選擇和使用各種適當的推理形式和證明方法。而我國的數學課程標準認為：學生應“在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數學活動中，發展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達自己的想法”。

2.目標定位關注過程體驗

規則的教學，在小學中主要有兩種呈現方式。

（1）例證——規則學習。先呈現與數學規則有關的若干例證，再引導學生觀察、分析，逐步概括出一般結論，從而獲得數學規則。教材大部分內容都屬于例證——規則的學習。如：加法運算律、乘法運算律、長方形的面積公式、長方體的體積公式等都可以通過這種學習方式，通過歸納推理得到結論。

（2）規則——例證學習。就是指教師先向學生呈現某個規則，然后通過若干的實例來說明規則的一種教學模式。這種教學模式往往比較適用于規則的下位學習。其條件就是學生必須掌握構建規則的必要概念。例如，在學習了長方形的面積計算規則（公式）后，學生可以利用已構建的數學概念（正方形的特征以及正方形與長方形之間的關系等），直接獲得正方形的面積計算公式，然后再通過多個例證來進行驗證。

無論哪種學習模式，規則學習都是發現規則、確認規則、運用規則的全過程，并且在此過程中經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動，發展合情推理能力和初步的演繹推理能力。正如史寧中教授在《<數學課程標準>的若干思考》報告中所言：智慧并不表現在經驗的結果上，也不表現在思考的結果上，而表現在經驗的過程，表現在思考的過程。

三、策略解析：從生搬模式走向模型建構

數學規則的建立是在教師引導下學生主動建構數學規則的過程。作為數學模型的重要組成部分，規則教學具有模型教學的一般方式與特征。各個版本的教材均向學生提供了現實的、有趣的、富有挑戰性的數學規則學習內容，這些內容的呈現大多以“問題情景——建立模型——解釋模型——應用拓展”的基本形式展開。

1.規則的引入：在觀察分析中建立猜想

小學數學中的法則、定律、公式等都是一個個數學模型，如何使學生通過建模形成數學模型？其中一條很重要的途徑就是把生活原型上升為數學模型。一般可以向學生提出一些供研究、探討的素材，并作必要的啟示引導，讓學生在一定的情境中獨立進行思考，通過運算、觀察、分析、類比、歸納等步驟，自己抽取模型，建立猜想和形成規則。

（1）用觀察、實驗的方法引入規則。教師提供材料，組織學生進行實踐操作，通過動作思維去發現規則。如：長方形面積的計算，通過擺放小方塊，感受小方塊的個數與長和寬的關系，通過觀察發現其規律，從而提出猜想。

（2）用觀察、歸納的方法引入規則。如：前例中關于5的倍數的特征的學習，通過枚舉100以內的5的倍數，進行觀察發現其特點，形成猜想。

（3）由解決實際問題的需要引入規則。如：積的變化規律。教師通過呈現購物情境，一本筆記本3元，買5本這樣的筆記本需要多少元？買20本、50本呢？通過對算式的觀察形成猜想。

2.規則的確立：在合理驗證中確認模型

從數學教學的角度看，在規則的探索與理解過程中，蘊含著豐富的教學價值，其模型建構的過程是學生數學學習的重要內容之一，其規律的探索過程可以滲透基本的數學思想，能增加學生的有效體驗。從學生學習的角度看，學生對規則的探索與抽象的體驗過程直接影響著他們能否有效建構數學模型，在知識與應用中架構互通橋梁。

學生自主驗證的過程是不斷豐富認知的過程，是自我反省的過程，也是模型建立的過程。在此過程中，教師要摒棄走過場、純形式的觀點，要綜合運用多種論證方法，幫助學生從懵懂走向清晰。

（1）分類枚舉 合情推理

歸納推理是從特殊判斷到一般判斷的推理。歸納推理的一般步驟為：實驗、觀察——概括、推廣——猜測一般性結論。歸納推理分為完全歸納和不完全歸納兩種。借助歸納推理可以培養學生“預測結果”和“探究成因”的能力。

完全歸納是根據某類事物的每一種特殊情況做出一般結論。體現在三角形的內角和的探究中，教師可以引導學生對不同類別的三角形進行研究，得出直角三角形的內角和是180°，銳角三角形的內角和是180°，鈍角三角形的內角和是180°，從而得出任意三角形的內角和是180°。通過分類例舉得出結論，從而形成清晰、完全、科學的數學認知，提升對于三角形內角和模型的認知程度。

不完全歸納是僅根據某類事物中的部分情況具有某種屬性做出一般性結論。這在小學規則教學中更為常見。例如，2、3、5的倍數的特征、運算定律、分數的基本性質等。一般先舉幾個例子，然后再得出一般結論。不完全歸納法，因其存在一定的局限性，因此在例證的選擇中需要作相關的指導。其基本要求是：（1）類型盡量多樣。例證的類別要盡可能地廣，每一個例證要能代表不同的情況。避免出現同一類型例證反復出現的情況。（2）考慮特殊情況。如：分數的基本性質、商不變的規律，都需要考慮到0這種特殊情況。否則，學生通過例證推理獲得的結論將不科學。（3）盡量尋找反例。運用不完全歸納推理要防止出現只根據一部分對象的表面的、偶然的事實，就輕率地推出全稱性的結論。

（2）理性分析 演繹推理

歸納推理是從特殊到一般的過程，而演繹則是從一般到特殊的過程，是根據一般結論推導出個別的特殊的事物性質的推理方法。

數學推理的一個主要目標是使學生的推理能力得到發展，并且在他們的數學學習過程中，在合適的地方，獲得構造證明方法的工具，應鼓勵學生仔細地思考，理解并能夠解釋。隨著學生對論證的方法越來越熟悉，其用數學語言來表達的能力也越來越得到提高。

在小學階段，大部分規則學習需要借助于歸納推理，而也有部分規則學習可以作為載體培養學生初步的演繹推理能力。如對5的倍數特征的不斷探究可以借助演繹推理進行證明。同時在下位學習中也可初步滲透演繹推理的三段論的方法。如：正方體的體積計算公式是在長方體的體積計算公式基礎上進行后續學習的，教師可以適當引導學生初步運用演繹推理進行思考，因為長方體的體積=長×寬×高，而正方體是特殊的長方體，所以正方體的體積=長×寬×高=棱長×棱長×棱長=棱長3。

3.規則的運用：在類比推理中拓展模型

一個完整的學習過程應該是由興趣、知識、記憶、情感、感知、反省、行動、平衡、攝動、重建、遷移等組建而成的循環過程。體現在規則學習的模型運用過程中，模型的運用又催生著新的模型的產生。

（1）由“個體確認”到“群體鏈接”

事實上，在規則的學習中，往往可以通過類比推理，提出新的猜想，從而拓展出新的模型。類比推理的一般步驟為：實驗、比較——聯想、類推——猜測新的結論。

如在運算律的教學中，根據加法交換律的模型可以構建新的猜想：有沒有減法、乘法、除法交換律？學習了乘法分配律后，學生還可以建構出乘法對多個加數的分配律。探索得出積的變化規律，即一個因數不變，另一個因數乘幾，所得的積等于原來的積乘幾后，也可以通過類比推理，形成系列新猜想。

由于類比推理所得的結論有或然性，它不能代替科學論證，所以在推出結論后，需要進一步論證或在實踐中檢驗。繼而進入了新的猜想——驗證——運用的階段。

（2）由“部分突破”到“整體遷移”

在規則的教學中，教師可以引導學生根據兩個事物在一系列屬性上的相似之點，通過類比推理，從而作出另一個事物也具有同樣的其他屬性的結論。新規則的衍生實則體現的是大數學視野下學生整體數學認知能力的提升。

如在圖形的面積、體積計算中，運用類比推理進行思考：圓可以分成一些相等的扇形，再拼成一個近似的長方形，從而導出圓面積計算公式；直圓柱的兩底面是半徑相等的圓，因此可以把圓柱底面分成一些相等的扇形，按底面扇形大小切開，再拼成一個近似的長方體，從而導出圓柱體體積計算公式。在類比推理中，新規則與原有規則通過自我加工、自我建構，納入到同一個認知體系中，使認知結構更趨完善。

（3）由“正確掌握”到“靈活構建”

學生能否正確地運用所學的規則，除了能按規則正確進行操作，對規則運用條件的正確認知也是一個重要的方面。因此，教師必須重視對學生進行規則運用條件認知的訓練。在“正確掌握”的基礎上，要進一步培養學生靈活運用規則解決問題的能力。為此，應著重訓練學生運用策略改造題目的能力，以及預見進程合理抉擇的能力。“正確掌握”是“靈活構建”的前提，“靈活構建”是“正確掌握”的發展。

規則的學習過程，是一個不斷數學化的過程；而研究規則學習的過程，也是一個充滿思辨的過程。在此過程中，收獲的不僅是數學的知識技能與方法，更多的是一種數學研究意識與真正的數學研究能力。

（王嵐，常州市武進區湖塘橋中心小學，213161）