例談用“單元組”進行思維擴張訓練

【關鍵詞】有效教育 單元組 思維擴張訓練

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2012）07B-0054-03

“有效教育是通過組織和參與來實現的，追求的最終目標就是教育的有效”，這是“EEPO有效教育”的核心理念。“單元組”是“EEPO有效教育”中最基本的教學組織形式，通過它可以引導學生在教學活動中學會自主學習、合作學習，使學生自始至終積極地參與到課堂教學中，最大限度地提高課堂教學質量。

本文以人教版《數學》九年級下冊“二次函數”的習題26.3的第9題的變式題教學為例，說明如何用“單元組”進行思維擴張訓練。

【教學目標】

1.以該題作為載體，復習利潤問題的解法，體現方程思想、函數思想在實際問題中的運用；

2.通過對問題的探索與交流，培養學生分析問題、提出問題、解決問題的能力和團結協作的精神。

【教學重點】

通過一題多解復習一元二次方程的實際問題中的利潤問題。

【教學難點】

問題中的變量關系的確定。

【教學過程】

1.提出問題 自主探究

師：我們學到的知識越多，解決同一個問題的方法也就會越多。請同學們看看下面的問題，可以從哪些不同的角度去思考得到答案，看誰能在最短的時間內找到最多的方法。

問題：長城賓館有30個標準間供游客居住，當每個標準間定價為180元/天時，30個標準間全部住滿；當每個標準間的定價每增加10元/天時，就會空出一間來。已知賓館需對已居住的標準間每天支出20元的各種費用，那么每天每個標準間的定價為多少元時，賓館每天可獲得5 200元的利潤？（讓學生充分地獨立思考）

師：（完成的學生用約定手勢“ok”表示）大家都陸續有了自己的想法。請用手勢告訴老師，你想到了幾種方法？（學生伸出相應的手指來表明自己想到了幾種解法，絕大多數學生想到了1～3種解法）

2.小組交互 積少成多

師：同學們真能干！大家是“英雄所見略同”，還是“殊途同歸”呢？現在就請同學們在四人學習小組內交換自己對解本題的想法，并由記錄員把小組成員的解題過程進行匯總、整理，展示在大卡上，由小組長解說本組成員的解題過程。

（組內學生的解法得到其他組員肯定時，表現出自信，而對解本題有困難的學生也趁此機會請教同學。最后教師要求學生將作品展在規定的位置上）

3.采集成果 資源共享

師：好！同學們已經將本組最好的一面展示出來了。現在是大家開始“采集成果”的時候了。請各位同學帶上筆記，到其他各組“采集”與本組不同的解法，由小組長“留守”在本組內進行解題過程的解說，限時10分鐘。

（“成果采集”中，學生會遇到各種不同的解法，有比自己想的更容易的方法，也有繁瑣復雜的解法）

師：10分鐘時間很快過去了，在這短短的時間內，相信同學們收獲肯定不少。請大家用手勢告訴我，你掌握了幾種解法？（現在所有學生都掌握了3種以上的解法，都比自己原有的解法多）現在我們就來“曬一曬”這些解法。（檢測學生是不是在交互中真正學到東西）

師：（點了一名基礎稍差的學生）請問這位同學，你掌握了哪一種解法？

生1：我掌握了“列舉推測法”，它是以房間住滿時的定價和利潤作為“參照數”，以定價上漲而居住間數下降的規律推出答案的。我覺得這種方法比較容易、好理解！不過……這種解法要計算的比較多，想偷懶都不行（眾生笑，鼓掌。該生這一次的回答簡潔明了，還有自己的想法）

生2：（舉手，搶著說）運算量不那么大的方法也有。剛才我看到了兩種方法有異曲同工之妙，它們都是用一元二次方程來解。（來到寫有這兩種解法的大卡邊）請大家看——

解1：設每個標準間定價增加10x元/天，則空出房間x個。依題意得：

（180+10x-20）（30-x）=5 200。

整理得：

x2-14x+40=0；

解得：x1=4， x2=10。

當x=4時，180+10×4=220。

當x=10時，180+10×10=280。

答：當每個標準間定價為220元/天或280元/天時，賓館每天獲利5 200元。

解2：設每個標準間定價為x元/天，則空出房間個。依題意得：

（x-20）（30-）=5 200。

整理得：

x2-5 000x+61 600=2；

解得：x1=220，x2=280。

答：當每個標準間定價為220元/天或280元/天時，賓館每天獲利5 200元。

大家發現這兩種解法有什么不同？（儼然一個小老師）

生3：一種是直接設元，一種是間接設元，我覺得間接設元算起來容易些。

師：這幾個同學說得都很好。（來到一個小組前）請你說說你們組原來已經想到了哪些方法？經過交互后又獲得了哪些新方法？

生4：我是我們小組今天的匯報員。我們組原來想到的方法是用間接設元法、直接設元法列一元二次方程，用二次函數的解析式表示兩個變量的關系。經過與別組的交流后，新的收獲是列舉推測法，還有用列方程組的方法來解。

師：你原來想到的方法是什么？

生4：直接設元法。

師：你能給大家介紹“函數法”嗎？（教師再一次檢測學生的交互效果）

解：設空出x個標準間，賓館每天獲得的總利潤為y元。則y與x函數的關系式為：

y=（180+10x-20）（30-x），

即y=-10（x2-14x-480）（0≤x≤30）。

當y=5 200時，

-10（x2-14x-480）=5 200。

解方程得：x1=4，x2=10。

當x=4時，180+10×4=220。

當x=10時，180+10×10=280。

答：當每個標準間定價為220元/天或280元/天時，賓館每天獲利5 200元。

生4：好的。（來到本小組的大卡前進行解說）因為利潤是隨著定價的改變而改變的，而定價的增加又導致房間空出的數量增加，所以我們認為利潤隨著空閑房間間數的改變而改變。其中自變量為空閑的房間數，利潤是函數，可列出它們的函數關系式，之后再算出當y=5 200時的x的值就是空出的房間數，再利用空出的房間數求出定價即可。

師：說得很詳細！把怎樣找出變量的過程都說出來了。同學們聽明白了嗎？（學生用約定手勢表示明白）

師：剛才我聽到生4說有用方程組來解的，我真想知道怎么解！這是誰想到的解法？

生5：老師，是我想到的。

師：好，就由你給大家解析吧。（讓原創學生說自己的解法——維護學生的“成就感”，保護學生的“專利權”）

解：設入住的標準間有x個，每個標準間的定價為y元/天。依題意得：

（y-20）x=5 200，y=180+10（30-x）。

解方程組得：x1=26，y1=220； x2=20，y2=280。

答：當每個標準間定價為220元/天或280元/天時，賓館每天獲利5 200元。

生5：本題中的定價與入住的房間數都是未知量，于是我想到設兩個未知數分別表示它們，再利用利潤這個等量關系和定價的增加與空出的房間數之間的規律得出一個方程組，通過消元后可以化為一個一元二次方程，得出來的結果跟前面的解法是一樣的。

師：這也不失為一種好的解法，好在它把不易表示的一個關系拆分為兩個等量關系，有點化繁為簡的“味道”。

師：（來到一張展示的大卡前）我看到了一種比較特獨的解法，這是誰“干”的？（眾生笑）請原創者說說。

生6：我！我來解說一下吧。根據題意可知，利潤是隨著定價的改變而改變的，它們之間存在某種函數關系。我們學過的函數有一次函數、二次函數和反比例函數。那么，它們之間是哪一種函數關系呢？我根據表格的數據進行了如下推理：

∴總利潤與定價不是一次函數的關系。

∵4800×180≠5040×200，

∴總利潤與定價不是反比例函數的關系。

因此，設總利潤y（元）與定價x（元/間·天）的函數關系式為：

y=ax2+bx+c。

把（180，4800），（190，4930），（200，5040）分別代入得：

1802a+180b+c=4800，1902a+190b+c=4930，2002a+200b+c=5040。

生6：推理后能肯定它不是一次函數也不是反比例函數，我再設二次函數的解析式來求。由于時間關系沒能求出最終結果。（有學生在底下唏噓：這些數看見都不想算了！）

師：這是對全班同學的挑戰，現在看看誰的“算功”最厲害，誰能在最短的時間內算出正確的結果。（教師“撩”起了學生不服輸的心理，學生接受了“挑戰”）

生7：（迫不及待）我算得了：a=-，b=50，c=960，∴y=-x2+50x+960。

師：很好！答案確實就是這個。大家如果想知道這個同學是怎么算的，課后再與他交流算法吧。生6，二次函數的解析式求出來了，請你接著說下一步該做什么？

生6：令y=5 200，得一元二次方程，求出x的值。（有學生說道：這種解法真煩）

生7：我還是有點想不明白。它不是一次函數也不是反比例函數，為什么就一定是二次函數？（眾生竊竊私語，贊同這個說法）

師：這個問題提得很尖銳！誰能提出解決的辦法？

生8：如果表格中能多有幾個數對，可以將這些數對代入所求的解析式進行檢驗。如果這些數對也滿足解析式，那么就可以肯定它是二次函數了。

師：很好！加上生8的檢驗方法，這個解法就完美了。相比之下，生6的解法確實與眾不同，運算量也較大。不過，這種方法給我們提示了如何由表格中變量的數據去辨別三種函數的思路。在中考中，這樣的題型也時有出現。

4.總結歸納 提升認識

師：同學們的解法真豐富，有一些解法是老師想不到的，真是“青出于藍而勝于藍”！通過這節課，我相信同學們都有了各自的收獲和想法，請大家暢所欲言。

生9：用表格進行列舉推測容易理解，但不具一般性，較適用于填空題或選擇題，當數據很大的時候就不易推測了。

生10：一元二次方程與二次函數是有聯系的，我個人比較欣賞“函數法”，它可以算出最大或最小利潤。任意給一個符合實際的利潤值，就可以很快算出相應的定價。

生11：同一個問題可以有六種不同的解法，這些解法都各有千秋，讓我體會到交流學習的重要。

……

師：希望同學們在平時的學習中注意培養自己一題多解的習慣，從不同角度去挖掘一道題目的知識價值，充分提高學習的效率。

【評析】學生在進行了一年多的EEPO有效教育的學習方式訓練后，無論是學習行為還是表達呈現都比較規范和熟練，單元組的形成水平也比較高，教師在課堂上也能恰當地防空講、防假聽、防花架子。在此條件下，教師在教學中若能合理利用“單元組”，必可充分發揮合作學習的效力。本案例中，對同一個問題進行了“單元組”的內部交互和“單元組”與“單元組”間的交互，學生由原來個人只想到1～3種解法上升到能掌握5～6種，實現了解法數量和質量的跨越，開闊了學生的解題思路，使學生的數學思維得到進一步的擴張。

著名的教育專家關鴻羽說過：“教育就是培養習慣。”作為教師的我們，如果能在平時的數學課堂上注意訓練和培養學生一題多解、一題多變、舉一反三、觸類旁通和善于交流的習慣，還怕自己的學生在茫茫題海中找不到方向嗎？

（責編 王學軍）