一道數(shù)學(xué)題引發(fā)的思考

摘 要：這是一道很常見的習(xí)題，許多老師用這道題的時(shí)候都想著怎樣引導(dǎo)學(xué)生去分析、解題，即如何盡快將題目做出來，其實(shí)這道題中隱藏著很豐富的數(shù)學(xué)教育信息，通過對(duì)這道數(shù)學(xué)題的思考，發(fā)展學(xué)生的綜合素質(zhì)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)題；分析；思考

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002—7661（2012）20—225—01

題目：下圖中是一塊三角形余料，BC=120cm，高AH=80cm。現(xiàn)在木匠師傅想從中裁剪出一個(gè)矩形DEGF（如圖），使DE=2DG。求矩形DEFG的面積。

這是一道很常見的習(xí)題，許多老師用這道題的時(shí)候都想著怎樣引導(dǎo)學(xué)生去分析、解題，即如何盡快將題目做出來（著眼于題目解決）。其實(shí)這道題中隱藏著很豐富的數(shù)學(xué)教育信息，我們可以將它改編成一個(gè)課題研究資料，這樣對(duì)發(fā)展學(xué)生的綜合素質(zhì)很有益。下面是我對(duì)這道題進(jìn)行研究后的使用過程，使用效果很好。現(xiàn)在與大家共同分享。

教學(xué)過程如下：

師：圖中△ABC是一塊三角形余料，木匠師傅想從中截出一個(gè)如圖所示的矩形DEFG，現(xiàn)在我們研究矩形的面積DEFG的情況，老師發(fā)現(xiàn)這個(gè)矩形的形狀是在不斷變化的，而且當(dāng)GF越來越大的時(shí)候，DG會(huì)越來越小。根據(jù)此消彼長(zhǎng)的原則，我猜想這個(gè)矩形的面積肯定是一個(gè)定值。你認(rèn)為我的猜想正確嗎？為什么？

生1：（思考后）不正確。因?yàn)楫?dāng)GF越接近于BC長(zhǎng)時(shí)，DG越接于0，此時(shí)矩形DEFG的面積接近于0，當(dāng)DG越接于AH長(zhǎng)時(shí)GF也越接近于0，此時(shí)面積也接近于0，而其他時(shí)候面積顯然不是0，所以矩形DEFG的面積不會(huì)是定值。

師：生1分析得很好，他能從運(yùn)動(dòng)過程來思考這個(gè)問題。是正確的思考。下面請(qǐng)大家再思考：當(dāng)GF從初始位置BC逐步變小的過程中，這個(gè)矩形的面積會(huì)產(chǎn)生怎樣的變化呢？你能用自己的語言大致描述它的變化趨勢(shì)嗎？在變化過程中，S矩形DEFG會(huì)有最大值和最小值嗎？

生2：矩形面積應(yīng)該是逐漸變大再逐漸變小，有最大值，不會(huì)有最小值。

師：為什么有最大值不會(huì)有最小值？

生3：因?yàn)槊娣e先變大再變小，肯定會(huì)有最大值，而只有當(dāng)GF=BC或DG=AH時(shí)才會(huì)有最小值0，而當(dāng)GF=BC或DG=AH時(shí)，S矩形DEFG=0，此時(shí)矩形不存在，所以面積沒有最小值。

師：你能畫出矩形DEFG面積變化的大致示意圖嗎？試試看。

（生作品展示）：

師：同學(xué)們的圖畫得都很有思考，但是到底誰的對(duì)呢？請(qǐng)?jiān)试S我在這兒留點(diǎn)懸念，后面我們會(huì)解決。下面請(qǐng)大家繼續(xù)思考：既然在變化的過程中矩形面積會(huì)有最大值，那么你認(rèn)為最大值會(huì)在什么們位置產(chǎn)生呢？

生4：當(dāng)DF=GF時(shí)，S矩形DEFG最大。

生5：當(dāng)DE為△ABC中位線時(shí)面積最大。

師：這兩位同學(xué)的猜測(cè)誰正確呢？下面我們一起來研究。

點(diǎn)評(píng)：新課程理論已經(jīng)深入人心，用江蘇省教研室研究員李善良博士的話說，連學(xué)生都能說出一套一套的新課程理論。但是新課程理論是否已經(jīng)內(nèi)化為教師的教學(xué)理念，而教師的教學(xué)理念又如何落實(shí)到教學(xué)的細(xì)節(jié)中去。這才是新課程遭遇到的重大挑戰(zhàn)之一。本文選材是大家司空見慣的題，因?yàn)槭浅Ｒ婎}，就很少有人去挖掘其中的教育內(nèi)涵。此題的教學(xué)過程就是新課程理念有效落實(shí)的過程，有以下幾個(gè)特點(diǎn)：

①滲透了運(yùn)動(dòng)變化的數(shù)學(xué)思想，突出了研究問題的過程；

②研究過程源自人的認(rèn)知本能。不論是老師鋪設(shè)情境的猜測(cè)還是學(xué)生的猜想感知，都是自身對(duì)問題研究過程中一種自然反應(yīng)。“此消彼長(zhǎng)，面積是不是不變”；“兩端趨近于0，中間應(yīng)該有最大值”；“是正方形面積最大，還是DE為△ABC中位線時(shí)面積最大？”這些思考都是真實(shí)、可信，值得思考。

③序列化問題的陳述為過程化教學(xué)墊定了良好的基礎(chǔ)。新課程的一個(gè)重大改變就是更注意過程，因?yàn)檫^程使課堂充滿生機(jī)與活力，學(xué)生的思維在過程中得到激活與發(fā)展，創(chuàng)造的激情在過程中得到釋放，能力在過程中得到更大的提升。良好的序列問題，使教學(xué)過程更自然、更生動(dòng)、也更和諧，。

關(guān)于新課程的諸多爭(zhēng)議不是一線教師能改變的，但是作為一線教學(xué)的教師，應(yīng)盡已所能將新課程理論內(nèi)化為自身的教學(xué)理念，并積極探索有效的途徑落實(shí)到自己的教學(xué)過程中去，讓自己的教學(xué)更有成效，讓所教的學(xué)生更有發(fā)展。這應(yīng)該成為我們共同的追求。