初中課堂數學問題解決教學的思考

摘要：從數學課程標準的理念出發，提出數學問題教學的重要性。就數學問題、數學問題解決的內涵、數學教學問題解決過程的原則，從理論和實踐兩個層面上作了較深入的闡述，并且借助名師的課例，就如何在課堂教學中實施數學問題解決教學的策略和注意點進行了積極的思考。

關鍵詞：課堂教學；數學問題；問題解決

中圖分類號：G632.0 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）07-090-04

義務教育《數學課程標準》（2011年版）就數學目標，專門把數學問題解決作為教學目標之一。它比實驗稿更重視數學問題解決的要求，從而“不斷豐富解決問題的策略，提高解決問題的能力。”筆者就以上的學習，認為加強初中課堂數學問題解決教學，是當今數學改革的一個重要突破口，為此，借助名師的課例為載體就數學問題解決教學過程策略作分析和思考。

一、數學問題及數學問題解決概念的內涵的認識

要搞清什么是數學問題，首先要回答什么是問題。我們可以這樣說，問題是一個系統。如果這個系統中至少有一個元素、性質或關系是他所不知的，那么這個系統對于這個人來說就是一個問題系統。于是，對這個人來說，這個問題系統就是一個問題。

什么是數學問題，眾多學者就此作了廣泛的探討。顯然，在數學課堂教學中，教師對學生的一些簡單的課堂提問，不能說是數學問題。最易被教師混淆的是，凡是數學習題、練習題、考試題均是數學問題。這種認識是模糊的、膚淺的。如果這個問題系統的元素、性質、關系都是數學的，那么它就是一個數學問題。象“歌德巴赫猜想問題”是形式化了的、常規性構造的數學問題，目前，對所有人來說都是數學問題。不管是數學習題、練習題、考題，對于某個人來說，能解決的就不是問題，而還沒有解決的就是數學問題，是對他仍“具有智力挑戰特征、沒有現成直接方法、程序或算法的未解決的情景”，即具有其智力訓練的價值，而不僅僅是“事實與技巧的訓練”所能完成的。

這樣我們可以對數學問題和數學問題解決下這樣的定義：指不能用現成的數學經驗和方法解決的一種情景狀態。數學問題解決是指學生在新的情景狀態下，運用所掌握的數學知識對面臨的問題采用新的策略和方法尋求問題答案的一種心理活動過程。

二、數學問題解決教學的原則

數學課堂教學的過程是問題解決的過程，是一種教學模式，其理論依據是現代認知心理學提出的引導學生自主構建認知結構的觀點。一名出色的數學教師不是在教數學，而是引導、激發學生自己去學數學，這里的“引導”、“激發”，顯然都是從教師教的層面來認識的。“引導”、“激發”其核心在于數學問題解決的過程。數學課程標準倡導“經歷從不同角度分析和解決問題的方法，體驗解決問題方法的多樣性，掌握分析問題和解決問題的基本方法”這應該是數學問題解決過程的核心。數學問題解決過程如何圍繞這以核心展開，首先應具有科學性、藝術性，符合學生的認知規律，并遵循其基本原則。

1、科學性與趣味性相結合的原則

數學教學中興趣的培養是教學、研究的永恒的主題，教學中應該處處遵循趣味性原則。數學問題的趣味性是要讓學生在解決問題的過程中，體驗到美的情感，變數學的“苦學”為“樂學”，它體現了數學對“美”的追求。而數學問題的科學性是指敘述上簡潔，使用的文字及數學語言規范，它體現了數學對“真”的追求，教學活動應該是科學性與趣味性的辯證統一。因此，數學問題教學也就必須遵循科學性與趣味性相結合的原則。

例如，在教二元一次方程組的概念和解法時，筆者首先給學生提出我國古代一個有趣的問題——“雞兔同籠”：籠子里有一些雞和兔，已知雞和兔的頭數是6，腳數是18，問雞和兔各有多少只？形式化了的數學問題用生動的情景吸引學生的注意，由此引出二元一次方程組的概念研究課題，增強其對概念的理解和激發學生對二元一次方程組這一章學習的興趣。

2、啟發性與探究性相結合的原則

“數學是思想的體操”，數學教學是思維活動的教學。學生的思維活動依賴于教師的循循善誘和精心的點拔與啟發，而數學學科的特點又決定了數學內容的掌握和運用都需經過艱苦細致的思考和探究。啟發性和探究性相結合是數學教學過程教與學相統一的具體體現。其中，啟發是探究的條件，探究是啟發的目的。好的數學問題，必須具有“啟智”的功能，同時，還要給學生留予充分的探究活動的空間。

3、障礙性與當前接受性相結合的原則

傳統教學觀念認為，數學問題解決教學要由易到難，形象地講，即為學生鋪石搭階，讓其拾級而上，達到知識的制高點。這種方法當然能夠達到掌握知識的目的，但從素質教育的觀點來看，“問題解決”教學過程也可以適當地反其道而行之，即——由難到易。具體說來，首先給學生探索的問題不妨難一些，是一個綜合性的超前問題，在學生遇到障礙時，再引導其逐步分解為當前可以接受的問題，這就要求教師在選擇問題時，必須遵循障礙性與接受性相結合的原則。讓學生在“最近發展區”內，點燃思維的火花。

4、系統性和連續性相結合原則

就一堂數學課而言，無論是教還是學，應該處處充滿著數學問題，沒有問題就不成為教學，一個問題解決了，就會產生新的問題。學生應該是帶著問題進入學習，又帶著新的問題結束下課。因此教師在課堂中應該不斷創設問題、激起學生一個又一個認知沖突，引導學生不斷發現問題、探究問題和解決問題。但這些問題的出現不是雜亂無章的，而是緊緊圍繞教學目標系統而展開。第一個問題是承上啟下的，最后的問題是為了歸納總結，也是為后續發展作好鋪墊，而中間的問題又是互相聯系在一起。這樣，使問題系統地形成一個有效地課堂運行機制。因此，數學問題解決應遵循系統性和連續性相結合的原則。

三、數學問題解決教學的策略

“問題解決”教學絕不能簡單的認為是問題的羅列，作為數學教師，也絕不能追求課堂上一問一答式的表面上的熱熱鬧鬧，簡單的提問不是數學問題。選擇富有智力挑戰價值的問題，并引導學生不斷的探究、不斷的提出問題、不斷的解決問題，在解決問題中又引導學生生成新的問題，以此循環往復，促進學生在問題解決中不斷發展。在數學教學中，根據“問題解決”的數學教學原則，筆者有幸在省教研活動中聽了省特級教師盛志軍老師的一堂課：《圓周角（2）》。現在以這堂課的幾個片段作為范本展開分析，予以闡述：

1、創設無痕的問題情境

這里，問題情境的定義是：把學生置于運用已經掌握的知識去研究新的未知問題的氣氛之中。

問題情境教學，就是在無痕情境中隱埋問題，呈現給學生刺激性數學信息，引起學生學習數學的興趣，啟迪思維，激起學生的好奇心、發現欲。產生認知沖突，誘發質疑猜想，喚起強烈的問題意識。

教師首先出示以下問題情境：

同學們：“我們國家最大的一項文化建設工程——國家大劇院已經竣工。請看屏幕。”

教師打開課件：

一個似乎習以為常的問題就因為創設了特定的問題情境，抓住研究對象的本質，緊扣學習的知識要點，具體準確，語言簡練；制造懸念性和挑戰性，使學生全身心投入進來，產生“伸手摸不到，跳一跳，夠得著”的效果，產生一種積極解決問題，積極探索的心理傾向。妙極了！

面對同學好奇、質疑、困惑的表情，教師引導：同學們想搞清這個問題嗎？讓我們一起走進這個數學世界吧！從而推出課題——《圓周角（2）》

自然、妥帖、到位、流暢。

上面的問題情境，事實上是教師從學生的生活經驗上來設置的。接著教師又從學生已有的原認知結構中設置如下問題，為問題解決打下基礎：

2、建立數學問題的模型

在“最近發展區”內，順其自然的抽象出數學的本質，提出要解決的數學問題模型，首先是完成教學任務的需要；其次是讓學生學會在問題情境中挖掘出主要的數學問題，明白本節課的基本任務，也使學生在興趣不減的時候不至于目的渺茫，無所事從，這樣在后面的學習和探究活動中大家都知道自己要干什么，解決什么樣的問題，如何來評價自己的效果。我們看教師是怎么進行的：

建模一：大劇院內的座位椅子，從數學角度分析，為什么排成圓形的？

同學們，我們現在來討論這節可開頭提出的問題。教師在原圖形上作出有關輔助線，問：大家覺得在同排要使每一位觀眾的公平看演出，有什么方法呢？

學生紛紛發表自己的觀點，最集中的就是保證每一個觀眾的視角一樣大。為此，教師利用課件，標出三個視角∠A、∠B、∠C.這三個角是什么角？大小關系如何呢？

由此，一個生活問題轉化為一個數學問題。

建模二：泰坦尼克號沉海之謎？

數學建模并不是局限于一開始的問題，其實課堂中的其他環節中都可以穿插。在得出圓周角定理（2）后，利用原理時，教師就是有意把課本的例題作了改變：

通過這樣的改變，學生興趣徒增。同樣，在教師的引導下，一個數學問題呈現在眼前。教師學生發出感嘆：一個海難事件，原來也是一個數學問題。生活中到處有數學啊！

3、數學問題解決的過程

（1）知識型數學問題解決過程

數學問題的解決不是一個行為外化的過程，也不僅僅是一個學生新舊知識點聯結的過程，而是一個讓學生積極主動參與探究的過程。以第一個數學問題為例，教師是這樣與學生互動達到問題解決的：

同學們：這堂課我們解決三個問題：

問題1：如圖1，在⊙O中，∠B，∠D，∠E的大小有什么關系？為什么？

問題2：如圖2，在⊙O中，∠A，∠B，的大小有什么關系？為什么？

問題3：如圖2，在⊙O中，∠A=∠B，則可得到什么結論？為什么？想一想，在等圓中，有上面這些結論嗎？

目標明確，層次分明。教師引導學生合作討論，激活思維，積極尋求學生舊認知經驗圓周角定理的知識停靠點，達到新知識的童話，讓學生自己得出結論：

圓周角定理的推論2：

同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。

（2）例題變式數學問題解決過程

上例的問題其實是一個知識與技能的問題。其實，在數學教學中通過對大量的習題的解決來實現數學問題的目的。正如本文在前面所敘述的：數學問題不一定就是生活問題中的數學問題，其實對于學生來說，當對一個常規的形式化的數學習題還未解決之前，就是一個數學問題。這在這需要教師充分研究學生的舊認知結構，挖掘數學習題的各種變化因素，培養學生的思維能力。思維是數學解決問題的靈魂所在。

課本例2

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，

以AB為直徑的圓交BC于D，交AC于E，

求證：弧 BD=弧DE；

當解決了課本上這個數學問題后，教師充分利用該題的資源，又繼續要求學生完成：若△ABC是等邊三角形，你還可以得出什么結論？請說明理由。

這時，學生紛紛投入到挑戰當中，分小組加強合作，大大提高了學習效益。這種以變式的拓展方法，對解決數學問題，訓練學生的思維也是極為有利的。緊接著，就是讓學生獨自解決下列問題：

如圖，P是△ABC的外接圓上的一點

∠APC=∠CPB=60°.求證：△ABC是等邊三角形.

學生的好勝心理又一次激發。

例題教學是數學新授課教學過程中通常用采用方法，通過把知識點隱含在類似的問題當中讓學生按照新接受的數學思想和方法去解決基本問題。目的在于幫助學生深化新學的知識和技能，為學生綜合地運用數學知識和技能解決有關的問題提供示范。需要注意的是例題的選擇要有代表性，解法要具有一般性，問題要源于知識點，但是又要略高于基本知識，敘述要規范，盡量做到一題多解。這里，教師充分重視了這一點。

（3）反饋評定式數學問題解決過程

建構主義與傳統學習理論最大的區別在于要求學生原認知學習，主動學習，不斷反思，從反思中解決數學問題。教師為此以“快樂套餐”為招式，提供了一個組題，發揮學生的自我潛能，自主解決數學問題。

4、讓學生帶著問題出課堂

45分中在不知不覺中過去了。學生興味正濃。問題都解決了嗎？還有什么數學問題需要去解決？事實上一堂數學課學生是帶著問題進課堂，在課堂中充滿著問題，也是不斷解決問題，而下課了，學生應該帶著問題出課堂。為此，教師把本堂課的小結留給了同學，讓學生自己去追尋本堂課的要點，形成系統的認知網絡，這是一個很重要的數學問題。同時，教師布置了常規的配套作業以外，又給出一個挑戰題，讓學生到課外去探求更美的數學王國。

A.請歸納本節課：

（1）本節課我們學習了哪些知識？

（2）圓周角定理及其推論的用途你都知道了嗎？

（3）注意充分利用直徑和半徑作圓周角的輔助線.

（4）用到了什么思想方法？

B.向自己挑戰

已知BC為⊙O的直徑，AB=AF，AC交BF于點M，過A點作AD⊥BC于D，交BF于E，則AE與BE的大小有什么關系？為什么？

四、數學問題解決教學要反思的問題

通過以上對數學問題的認識和特級教師課例的鑒賞，反思自己的教學行為，對數學問題解決過程教學有以下幾個方面值得思考：

1、問題的針對性

因為每個問題情境中所涉及的知識都不是單一的，那么能夠提出的問題也就很多。如何才能做到問題更有針對性呢？這要求提出的問題要同時也要注意到上堂課的知識點，甚至要兼顧到下堂課的知識，使學生在思考的時候思路能夠連貫，不至于產生零亂的感覺。所以問題的提出應該起到承上啟下的作用。

2、問題的懸念性和挑戰性

每個人有探索未知的好奇心和挑戰高度的天性，所以在提出問題時要抓住人的這種特點，適當的設置懸念，激發學生的興趣，使學生全身心投入進來，同時問題要增加一定障礙，產生“伸手摸不到，跳一跳，夠得著”的效果，激發學生的挑戰欲望。

3、問題的合理性

問題的呈現要抓住研究對象的本質，要具體準確，切忌泛泛而談，所以問題要緊扣學習的知識要點，問題所涉及的概念和理論要是學生大部分明白的。同時也要注意語言的簡練，不要讓學生誤解問題的本意。由于課堂教學的整體思路是課前已經設定好了的，所以在提出問題時應該本著為整個課堂教學的完成服務的。這要求問題的提出要緊扣教學思路，不能偏離教學主線。

4、問題的科學性

同樣一個問題，由于提問方法的不同，側重點不同，也就會導致人不一樣的思考，這里要求問題的提出以開放性問題為主，如“為什么”、“怎么樣”，切忌“是不是”、“對不對”型的問題。

最后，“問題解決”教學的全過程是一個系統連續的，要求問題與問題之間、內容與內容之間、課堂與課堂之間都相互聯系。它是根據教師和學生在教學的各個環節的地位和作用提出來的。

在“問題解決”教學中，由于問題是系列的多類型的體系，它把基礎知識基本技能的掌握與能力培養結合起來，把書本知識與經驗的改造或生長結合起來，把一般能力與創造能力結合起來，這正是我國基礎教育課程改革所孜孜追求的目標。

參考資料

[1] 顧明遠， 孟繁華主編.《國際教育新理念》海南出版社2003年第4版.

[2] 張奠宙， 戴再平. 《中學數學問題集》，華東師范大學出版社，1996.3.

[3] 錢從新. “有關開放題的幾點思考”《數學通報》1999.11.

[4] 李小冬. 《初探“問題解決”教學的數學課堂教學模式》載于http://www.xgpczx.net/ReadNews.asp?NewsID=588網.

[5] 中華人民共和國教育部. 《2012義務教育數學課程標準》北京師范大學出版社，2012.3.