中學(xué)數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用

摘要：本文從轉(zhuǎn)化思想的功能、轉(zhuǎn)化思想的實(shí)質(zhì)、轉(zhuǎn)化思想的思維模式以及中學(xué)數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化思想的基本形式、轉(zhuǎn)化思想的特點(diǎn)等內(nèi)容出發(fā)來闡述轉(zhuǎn)化思想，力求體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題中的作用和地位。

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型；數(shù)學(xué)思想

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）07-215-01

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，轉(zhuǎn)化思想是一種重要的解題方法同時(shí)也是一種思維策略。所謂轉(zhuǎn)化思想：即將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化為在已知知識范圍內(nèi)已經(jīng)解決或容易解決的問題的思想叫做轉(zhuǎn)化思想。一般總是將復(fù)雜問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡單問題；將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題。總而言之，轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)解題中幾乎無處不在。轉(zhuǎn)化的基本功能是：生疏化成熟悉，復(fù)雜化成簡單，抽象化成直觀，含糊化成明朗。因此，轉(zhuǎn)化思想的實(shí)質(zhì)就是以運(yùn)動(dòng)變化發(fā)展的觀點(diǎn)，以及事物之間相互聯(lián)系，相互制約的觀點(diǎn)看待問題，善于對所要解決的問題進(jìn)行變換轉(zhuǎn)化，使問題得以解決。這充分體現(xiàn)辯證唯物主義觀點(diǎn)。

著名的數(shù)學(xué)家，莫斯科大學(xué)教授C.A.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)表《什么叫解題》的演講時(shí)提出：“解題就是把要解題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題”。數(shù)學(xué)的解題過程，就是從未知向已知、從復(fù)雜到簡單的化歸轉(zhuǎn)換過程。

等價(jià)轉(zhuǎn)化和非等價(jià)轉(zhuǎn)化是轉(zhuǎn)化思想的兩大類型。但他們之間有著嚴(yán)格的區(qū)別，因此我們在應(yīng)用的時(shí)候要注意他們的區(qū)別。等價(jià)轉(zhuǎn)化前后是充要條件，所以盡可能使轉(zhuǎn)化具有等價(jià)性；在不得已的情況下，進(jìn)行不等價(jià)轉(zhuǎn)化，應(yīng)附加限制條件，以保持等價(jià)性，或?qū)λ媒Y(jié)論進(jìn)行必要的驗(yàn)證。

翻開數(shù)學(xué)發(fā)展的史冊，運(yùn)用轉(zhuǎn)化解決問題的例子不勝枚舉，著名的哥尼斯堡七橋問題便是一個(gè)精彩的例證。這是轉(zhuǎn)化問題一個(gè)很好的應(yīng)用，由此我們?nèi)菀讱w納出轉(zhuǎn)化思想方法的思維模式：客觀問題→數(shù)學(xué)問題→數(shù)學(xué)模型→得解

可見解題能力的強(qiáng)弱在于：1、有敏銳的洞察能力，才能找準(zhǔn)目標(biāo)模型，2、有較強(qiáng)的轉(zhuǎn)化能力，才能有效地把問題轉(zhuǎn)化為目標(biāo)模型，至于運(yùn)用模型的內(nèi)部規(guī)律求解就比較容易了。

一、在中學(xué)數(shù)學(xué)中，常見的轉(zhuǎn)化基本形式有

1、數(shù)與數(shù)之間的轉(zhuǎn)化

例如計(jì)算某個(gè)算式得出數(shù)值；化簡某個(gè)解析式得出結(jié)果；變形所給出的方程求解；變形所給的不等式求出解集以及函數(shù)、方程、不等式之間的互相轉(zhuǎn)化等等。

2、形與形之間的轉(zhuǎn)化

比如：利用圖象變換的知識作出函數(shù)圖象；利用分割、補(bǔ)形、折疊、展開，作輔助線，輔助面處理空間圖形或平面圖形，等等。包括把立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題。

例2.正三棱錐P-ABC中，各條棱的長都是2，E是側(cè)棱PC的中點(diǎn)，D是側(cè)棱PB上任一點(diǎn)，求△ADE的最小周長。

分析：把空間問題轉(zhuǎn)化成平面問題，是立體幾何中轉(zhuǎn)化思想重要應(yīng)用的內(nèi)容，有這樣的思想作指導(dǎo)，我們再結(jié)合原題的圖形，由于AE是定長 ，因此，只要把測名PAB-PBC展開鋪平，那么當(dāng)A、D、E三點(diǎn)共線時(shí)的AE長，即AD+DE的最小值在 中，PA=2，PE=1， = ，所以，利用余弦定理可得AE= ，于是就得到 的最小周長為 + 。

數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化。數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化主要是依據(jù)函數(shù)與其圖象的關(guān)系；復(fù)數(shù)及其運(yùn)算的幾何意義；以及解析幾何中曲線與方程的概念等等進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

3、實(shí)際問題與數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)化。數(shù)學(xué)模型是從現(xiàn)實(shí)世界中抽象出來的，是對現(xiàn)實(shí)世界事物的某些屬性的一個(gè)近似的反映，但對解決實(shí)際問題而言，數(shù)學(xué)模型卻是深刻、正確、完善地反映著現(xiàn)實(shí)。因此，把所考察的實(shí)際問題，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過對數(shù)學(xué)模型的研究，使實(shí)際問題得以解決，充分地體現(xiàn)了“運(yùn)用數(shù)學(xué)”的意識和能力。

轉(zhuǎn)化思想的主要特點(diǎn)是它的多樣性、層次性和重復(fù)性。一個(gè)數(shù)學(xué)問題，組成主要元素之間的相互依存和相互聯(lián)系的形式是可變的，其形式并非唯一，而是多種多樣。所以應(yīng)用數(shù)學(xué)變換的方法去解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)，就沒有一個(gè)統(tǒng)一的模式可以遵循。因此，我們必須根據(jù)問題本身提供的信息，利用動(dòng)態(tài)的思維，具體問題具體分析。

二、我們在應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想時(shí)候常用的到轉(zhuǎn)化方法有以下幾個(gè)方法

1、直接轉(zhuǎn)化法：把原問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問題。

2、換元法：運(yùn)用“換元”把超越式轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式問題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問題。

3、數(shù)形結(jié)合法：研究原問題中數(shù)量關(guān)系（解析式）與空間形式（圖形）關(guān)系，通過互相變換、獲得轉(zhuǎn)化途徑。

4、參數(shù)法：引進(jìn)參數(shù)，使原問題的變換具有靈活性，易于轉(zhuǎn)化。

5、構(gòu)造法：“構(gòu)造”一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題。

6、坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用計(jì)算方法解決幾何問題。

7、類比法：運(yùn)用類比推理，猜測問題的結(jié)論。

數(shù)學(xué)思想是人腦對現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)反映，是思維加工的產(chǎn)物，是人們對現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)的認(rèn)識。在高中數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)思想的核心和精髓，是數(shù)學(xué)的靈魂。所以，教師在教學(xué)的過程中要對學(xué)生滲透和傳授這個(gè)數(shù)學(xué)思想。

總之，“轉(zhuǎn)化”思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，不僅可以開拓學(xué)生的思路，開發(fā)學(xué)生的餓智力，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生在輕松愉快中享受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂。還可以通過“轉(zhuǎn)化”思想的訓(xùn)練，讓學(xué)生養(yǎng)成多角度考慮問題，形成合乎科學(xué)規(guī)律的思維習(xí)慣，掌握正確的思維方法，從而優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)。