由一道小題引發的拓展延伸

摘要：線段中點是線段的對稱中心，是線段上最為重要的點.在解決線段有關距離問題時常常使用 .文章巧妙運用線段的中點的性質，加以引申，是枯燥乏味的小題變得有血有肉.解法耐人尋味，啟發學生思考，達到會一題通一類。

關鍵詞：線段中點；中心對稱；垂線段

中圖分類號：G632.0 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）07-221-01

做題貴在思考，只做題不思考，學到的只是一個題的解法，而不能掌握這類題的解題技巧，解題能力就不會有所提高。學會變通，不僅是處事所需，也是學習之道。筆者就下面一道小題，談談變式對解題能力的培養作用。

例題(2011.蘇北四市聯考)若點A(2，1)，B(-1，5)到直線 的距離均為2，則這樣的直線有＿ 條。

解析：由于 所以線段的中點到A，B的距離都等于2。所以，線段AB的垂直平分線滿足題意。另外，與直線AB平行且距離等于2的直線可畫兩條，所以滿足題設條件的直線共計3條。

解后：如果改變A，B坐標，結果會怎樣呢？或者A，B坐標不變，而A，B到直線直線 的距離改變，結果會有怎樣？解決以下幾個小題你就會發現一般性的規律。

變式練習1.1若點A(2，1)，B(-1，5)到直線 的距離均為2，則這樣的直線有＿ 條。

解析：1）與AB平行且距離均為2的直線有兩條。

2）假若A，B位于直線 異側時，直線 與AB相交，交點即為中點設為M，也為對稱中心，A 到 的距離小于AM（垂線段小于斜線段，不難看出A或B到 的距離不大于 ），這樣的直線有兩條。

所以，答案為4條

變式練習1.2若點A(3， )，B(-1，- )到直線 的距離均為2，則這樣的直線有＿ 條。

解析：1）同樣地，與AB平行且距離均為2的直線有兩條。

2）AB=6，A，B位于直線 異側時，直線 與AB相交，交點即為中點。A到 的距離小于AM，這樣的直線有兩條。

所以，答案為4條

解后小結：這兩小題均為4條，為什么增加一條？歸根結底是位于A，B異側的直線由原來的一條中垂線變成與AB相交的兩條斜線。原因就在于 ﹥

（為了敘述方便，設A，B到直線 的距離均為 ，下同）

原題中= .A，B之間只有一條中垂線。而A，B之間的距離變大( 不變)時，中垂線就衍變為兩條斜線。

變式練習2若點A(2，1)，B(-1，5)到直線 的距離均為3，則這樣的直線有＿ 條。

解析：3﹥ ，即 ﹥ ，A，B到直線 的距離大于到中點的距離，所以不存在過中點與A，B的距離等于3的直線。

評注：此題中不論 取怎樣的正數，總有兩條和A，B的距離等于 的直線，至于是否存在位于A，B之間的直線條數取決于 和 的大小關系： = 時，1條，總計2+1條； ﹤ 時，2條，總計2+2條； ﹥ 時，0條，總計2條。如果解過題后就此擱筆，你就不會發現其中的訣竅。