歷史視角下談高等數學概念的教學

摘要：數學邏輯用語體現數學的準確性和簡潔性，正確理解量詞對數學證明起著重要的作用。教師要在教學設計中特別關注蘊涵其中的依賴規則，特別是針對型如“對所有的x，存在y，使得R（x，y）”的命題。

關鍵詞：推理規則；量詞；一致收斂

中圖分類號：G623.5

數學證明強調數學是一門嚴謹的學科[1]，證明中嚴格的形式化演繹推理則是證明的精髓。相對于初等數學思維，高等數學思維[2]的特征是準確嚴謹的數學定義和建立在此基礎上定理的邏輯演繹，因此大部分學生對微積分的推理規則普遍感到困難，尤其是涉及到兩個不同量詞的命題，即“對所有的x，存在y，使得R（x，y）”。學生在證明拉格朗日中值[3]的時候，往往這么認為：f（b）-f（a）=f′（ζ）（b-a），g（b）-g（a）=g′（ζ）（b-a），兩式相除得： 。其實，這個證明是錯誤的，其實兩個式子的ζ不一定相同。

法國數學家柯西[4]是19世紀數學分析嚴格化最有影響的先驅者，他的《分析教程》成為嚴格分析誕生的標志。由于缺乏對實數系的充分理解，他使用了許多“無限趨近”、“想要多小就多小”等直覺描述的語言，這就不可能真正為微積分奠定牢固的基礎。正如此他沒有建立一致收斂的概念，“連續函數收斂級數的極限是連續的”是柯西最著名的錯誤。這一猜想在整個18世紀都被想當然地當作是真的，因此被認為是無需任何證明，但現在可以看到柯西猜想的反例已經由傅立葉提供了[5] 。

阿貝爾是挪威人，他是19世紀分析嚴格化的倡導者和推動者。在1826年，阿貝爾也討論過“連續函數收斂級數的極限是連續的”問題。……