變力做功的幾種解法

中圖分類號：G633.7

功的計算在中學物理中占有十分重要的地位，中學階段所學的功的計算公式W=FScosa只能用于恒力做功情況，對于變力做功的計算則沒有一個固定公式可用，下面對變力做功問題進行歸納總結如下：

方法一：研究對象轉換法

通過轉換研究對象，如果能找到某一恒力所做的功和某一變力所做的功相等，就可將求變力功的問題轉化成求恒力功的問題。

例1.如圖1，人拉著細繩通過定滑輪，使滑塊沿水平面由A點前進S至B點，已知人的拉力為F（恒定），定滑輪至滑塊的高度為h，滑塊在初、末位置時細繩與水平方向夾角分別為α和β。若滑輪的質量以及滑輪與繩間的摩擦不計，求：在滑塊由A點運動到B點過程中，繩的拉力對滑塊所做的功。

【解析】設繩對物體的拉力為T，顯然人對繩的拉力F大小等于T。T在對物體做功的過程中大小雖然不變，但其方向時刻在改變，因此該問題是變力做功的問題。若直接求繩對物體拉力所做的功，要用到高等數學微積分的方法才能求出，顯然已超出我們高中所要求的范圍，但仔細分析發(fā)現，在滑輪的質量以及滑輪與繩間的摩擦不計的情況下，人對繩的拉力所做的功與繩對物體的拉力所做的功相等，而且人對繩的拉力F為恒力，這屬于恒力做功問題，可根據W=FScosα來計算，所以，通過轉換研究對象，只要求出人對繩做的功就可以求出繩的拉力對物體做的功。由圖1可知，在繩與水平面的夾角由α變到β的過程中，拉力F的作用點的位移大小為ΔS=S1-S2= ， 則WT=WF=FΔS=Fh

方法二：平均力法

求變力做功可通過 求，但只有在變力F與位移S成線性關系時， =（F1+F2）/2才成立。用平均值求變力做功的關鍵是先判斷變力F與位移S是否成線性關系，然后求出該過程初狀態(tài)的力F1和末狀態(tài)的力F2。

例2. 如圖2所示，在光滑的水平面上，勁度系數為k的彈簧左端固定在豎直墻上，右端系著一小球，彈簧處于自然狀態(tài)時，小球位于O點，今用外力壓縮彈簧，使其形變量為x，當撤去外力后，求小球到達O點時彈簧的彈力所做的功。

【解析】彈簧的彈力為變力，與彈簧的形變量成正比，彈力的初始值為F1=kx，終值為F2=0，故彈力的平均值為 ，則彈力所做的 .

方法三：圖像法

某些求變力做功的問題，如果能夠畫出變力F與位移S的圖像，則F-S圖像中與S軸所圍的面積表示該過程中變力F做的功。運用F-S圖像中的面積求變力做功的關鍵是先表示出變力F與位移S的函數關系，再畫出F-S圖像。

例3.用鐵錘將一鐵釘擊入木塊，設阻力與釘子進入木板的深度成正比，每次擊釘時錘子對釘子做的功相同，已知第一次擊后釘子進入木板1cm，則第二次擊釘子進入木板的深度為多少？

【解析】鐵錘每次做功都是用來克服鐵釘阻力做的功，但摩擦阻力不是恒力，其大小與深度成正比，F=kx，以F為縱坐標，F方向上的位移x為橫坐標，作出F-x圖像，如圖3，函數線與x軸所夾陰影部分面積的值等于F對鐵釘做的功.由于兩次做功相等，故有S1=S2（面積） 即 kx12= k（x2+x1）（x2-x1）或 kx22=2× kx12 得 ，

所以第二次擊釘子進入木板的深度為

方法四：用動能定理求解

動能定理的表述：合外力對物體所做的功等于物體動能的改變。對于一個物體在某個過程中的初動能和末動能可求，該過程其它力做功可求，那么該過程中變力做功可求。運用動能定理求變力做功關鍵是了解哪些外力做功以及確定物體運動的初動能和末動能。

例4.如圖4所示，一質量為m的小球，用長為L的輕繩懸掛于O點.小球在水平拉力F作用下，從平衡位置P點很緩慢地移動到Q點，則力F所做的功為（ ）

A.FLcosθ B.FLθ C.FLsinθ D.mgL（1-cosθ）

【解析】很多同學會錯選B，原因是沒有分析運動過程，對W=FLcosθ來求功的適用范圍搞錯，恒力做功可以直接用這種方法求，但變力做功不能直接用此法正確的分析，小球的運動過程是緩慢的，因而任何時刻都可看作是平衡狀態(tài)，因此F的大小不斷變大，F做的功是變力功，小球上升過程中只有重力和拉力做功，而整個過程的動能改變?yōu)榱悖捎脛幽芏ɡ砬蠼猓?，所以WF=-WG=mgL（1-cosθ），故D正確。

方法五：用機械能守恒定律求解

如果物體只受重力和彈力作用，或只有重力或彈力做功時，滿足機械能守恒定律。如果求彈力這個變力做的功，可用機械能守恒定律來求解。

例5.如圖5所示，質量m=2kg的物體，從光滑斜面的頂端A點以v0=5m/s的初速度滑下，在D點與彈簧接觸并將彈簧壓縮到B點時的速度為零，已知從A到B的豎直高度h=5m，求彈簧的彈力對物體所做的功。

【解析】對于彈簧和物體組成的系統而言，只有重力和彈簧的彈力做功，全過程中，機械能守恒。而彈力做的負功等于彈簧的彈性勢能的增量。假設B為參考點，由機械能守恒定律可知EA=EB即E彈= J=125J

彈力做功為W彈=-ΔE彈=-E彈=-125J

總之求變力做功的方法很多，上述不同方法各有優(yōu)點，同一道題目可用的方法不止一種，比如用平均值法的問題，必可用圖像法解決，用動能定理求解的問題亦可用功能關系解決等等。總之，要正確快速的求解變力做功問題，需要掌握求解變力做功的基本方法，并將這些方法融會貫通，做到舉一反三。