一次數(shù)學(xué)課上“主持”的經(jīng)歷與反思

【中圖分類號(hào)】G633.6【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A【文章編號(hào)】2095-3089（2012）11-0017-02

1. “主持”經(jīng)歷

在蘇教版數(shù)學(xué)教材必修5第2.2.3節(jié)“等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和”的課上，筆者在處理一道習(xí)題時(shí)，無意中當(dāng)了一回“主持人”，課后仍然意猶未盡，特撰此小文，與讀者共享。

問題：在等差數(shù)列an 中，已知Sn=60，S2n=48，求S3n的值

（先讓學(xué)生展示，然后師生共同討論）

生1：方法1：因?yàn)镾n，S2n-Sn，S3n-S2n成等差數(shù)列，設(shè)其公差為D，則D=48-60-60=-72所以S3n-S2n=60+2D=-84所以 S3n=S2n-84=-36

方法2：由題設(shè)可設(shè)Sn=An2+Bn則由題設(shè)得An2+Bn=60（1）4An2+2Bn=48（2） 所以S3n=9An2+3Bn=3[（4An2+2Bn）-（An2+Bn）]=3（48-60）=-36

生1講解方法1

生2提出質(zhì)疑：由Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等差數(shù)列，得2（S2n-Sn）=Sn+S3n-S2n，可直接求出S3n （生1與全班同學(xué)一起鼓掌，祝賀方法3的“誕生”）

生3繼續(xù)質(zhì)疑：要不要先證明“Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等差數(shù)列”這個(gè)結(jié)論？

生1：上節(jié)課不是證明過了嗎？

師：可以將“因?yàn)镾n，S2n-Sn，S3n-S2n成等差數(shù)列”改成“易證Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等差數(shù)列”

生1繼續(xù)講解方法2

部分學(xué)生質(zhì)疑：你怎么想到的？

生1（實(shí)話實(shí)說）：我也不知道。

師：這是直覺思維和整體運(yùn)算能力結(jié)合的完美的結(jié)晶！事后來看，怎么能“自圓其說”？

生4：前面不是有2（S2n-Sn）=Sn+S3n-S2n嗎？解出S3n=3（S2n-Sn）不就完了嘛！

師：萬一事不湊巧，沒有生2給出的“2（S2n-Sn）=Sn+S3n-S2n”這個(gè)結(jié)論呢？

生5：（在黑板上將An2，Bn 分別用圈圈起來）將An2、Bn分別看成整體，可得到兩個(gè)等式，解出An2、Bn后再代入S3n=9An2+3Bn

師：方法4，精彩！那能不能將An2、Bn分別用“符號(hào)”來表示？

生5：設(shè)x=An2，y=Bn，則（1）（2）兩式可化為x+y=60，4x+2y=48，然后解方程組，得x=-36，y=96后代人S3n=9x+3y。（掌聲一片）

師：無意中，我們得到了解法5，。不過，我們還沒有“自圓其說”呢！對(duì)于生1的方法2，能給個(gè)“說法”嗎？

師：（進(jìn)一步點(diǎn)撥）能否用“x+y”、“4x+2y”表示“9x+3y”？

生6：設(shè)9x+3y=m（x+y）+n（4x+2y），求出m，n

師：怎么求？

（學(xué)生思考）

師：整理成（m+4n-9） +（m+2n-3）y=0 ，如何？

（學(xué)生繼續(xù)思考 ）

師：對(duì)于9x+3y=m（x+y）+n（4x+2y），x，y可以取哪些值呢？

生：任意實(shí)數(shù)

師：既然這樣，m，n怎么“做”（老師加重語氣）才能滿足（m+4n-9）x+（m+2n-3）y=0呢？

（學(xué)生思考 ）

生7：只有m+4n-9=0，m+2n-3=0同時(shí)成立，易得m=3， n=-3

師：對(duì)于這樣的解釋，你（生1）還滿意嗎？（全班鼓掌），下面我們一起將這6種方法整理一下。（略）從你的角度，你容易想到哪種方法？這6種方法又有哪些特點(diǎn)？

生8：最容易想到方法3，因?yàn)樗昧说炔顢?shù)列的常用性質(zhì)；方法2，不容易“配湊”出來；方法6是方法的改進(jìn)，但感覺麻煩。

生9：我和生1的想法一樣，用方法1完成了這個(gè)問題；方法4、5實(shí)際是同一種方法，用x、y分別表示An2、Bn，更好表達(dá)，也更好理解。

生10（未經(jīng)同意，徑直上講臺(tái)并板書）：我還有一種方法，由Sn=An2+Bn得 ■=An+B，設(shè)A（n，■），B（2n，■），C（3n，■），則易知A、B、C 三點(diǎn)共線，所以 ■//■，由條件知■=（n，■-■），■=（n，■），從而■-■=■，故S3n=-36

（過了一陣……一片驚嘆聲?。?/p>

生11：生8的方法還可以改進(jìn)，點(diǎn)B是點(diǎn)A、點(diǎn)C的中點(diǎn)，由中點(diǎn)的坐標(biāo)公式直接可得：2·■=■+■

師：8種方法了，哇噻?。▽W(xué)生狂笑）

生12：老師講過，用a1、d表示Sn是通法，那這個(gè)題為什么不能？Sn=na1+■d=60（1） S2n=2na1+■d=48 （2） =3na1+■d（3）

師：讓我們一起來幫助生10實(shí)現(xiàn)這個(gè)心愿，好不好？（生笑）

師：由（1）、（2）兩式能求出n、a1、d的值嗎？

生：必須有三個(gè)方程才能出n、a1、d的值。

師：解方程組的一般思路是消元，即將三個(gè)未知數(shù)先轉(zhuǎn)化成兩個(gè)未知數(shù)，再轉(zhuǎn)化為一個(gè)未知數(shù)。這樣來看，先“滅掉”誰？

生13：先消去na1，（2）式可化為： na1+■d=24（4）

（3）式可化為：■=na1+■d（5） 由（4）式-（1）式得： ■=-36

再由（5）式-（4）式得：■-24=■ 從而得S3n=-36

師：這是第9種方法了，非常好！受生10的啟發(fā)，我突然有了這樣的想法：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和有三種表現(xiàn)形式：Sn=na1+■ Sn=An2+Bn，Sn=■前面兩個(gè)都能夠解決此題，公式Sn=■也應(yīng)該可以，誰能圓我的這個(gè)“夢(mèng)”？

生14：由題設(shè)知，Sn=■=60，S2n=■=24，■=■，

用類似方法9的處理方法就行了。

師：謝謝你?。ù蠹夜恼疲?0種方法了，有點(diǎn)亂，大家能不能根據(jù)等差數(shù)列前 項(xiàng)和公式的使用情況，將10種方法分分類？

生：等差數(shù)列前 項(xiàng)和公式有三種表達(dá)形式，故10種方法根據(jù)這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)可分為三類：用公式Sn=An2+Bn解題的是前面的8種方法，用公式Sn=na1+■d的是方法9，用公式Sn=■的是方法10。

師：很好！這個(gè)問題就討論到這兒。

2 .課后反思

2.1 關(guān)于“展示”

讓學(xué)生先展示講解，老師再組織討論，是否是高效課堂的一個(gè)模式？從本節(jié)課來看，結(jié)論是肯定的。10種方法中，涉及了等差數(shù)列的所有重點(diǎn)內(nèi)容，如：等差數(shù)列的定義、性質(zhì)、等差數(shù)列前 項(xiàng)和公式的三種表達(dá)形式，另外也涉及了與向量有關(guān)的知識(shí)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等；從涉及的數(shù)學(xué)方法上看，有配湊法、方程法、待定系數(shù)法、向量法、解析法等；從數(shù)學(xué)思想上看，涉及公理化思想、論證思想、符號(hào)化思想、方程思想、轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想、分類思想等；從數(shù)學(xué)文化上看，在本節(jié)課的活動(dòng)中，師生平等、生生平等，共同完成了一場(chǎng)精彩的“演出”，體驗(yàn)了創(chuàng)造的激情，培養(yǎng)了師生勇于質(zhì)疑和善于反思的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學(xué)問題的能力，發(fā)展了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。課前備課，雖說也考慮了幾種方法，但課堂上的收獲卻是大大地出乎意料的，使我進(jìn)一步堅(jiān)信：相信學(xué)生，大膽讓他們激情展示，從學(xué)生的思維出發(fā)，做好我的服務(wù)工作，是構(gòu)建屬于“我和我的學(xué)生們的”高效課堂的唯一捷徑！

2.2 關(guān)于“主持”

教師是課堂活動(dòng)的組織者，是否能夠像主持人那樣，把作秀的時(shí)間和機(jī)會(huì)留給演員？在本節(jié)課的活動(dòng)中，當(dāng)學(xué)生的展示出現(xiàn)爭論時(shí)，我沒有一票否決，而是客觀地理清思路，把權(quán)力還給學(xué)生，這是不是辯論節(jié)目中主持人的“做派”？ 筆者舍得鼓勵(lì)與贊美，在課堂活動(dòng)中，通過親切的問話、幽默的評(píng)價(jià)去調(diào)動(dòng)學(xué)生的情緒，使學(xué)生自始至終積極主動(dòng)地參與思考、討論，相互啟發(fā)、相互補(bǔ)充，這難道不是主持人的風(fēng)范嗎？

2.3 關(guān)于“遺憾”

如果在本課的問題前設(shè)置一個(gè)特例：在等差數(shù)列an 中，已知S4=60，S8=48，求S12的值，是否會(huì)更好？由于時(shí)間的限制，對(duì)于各種方法間的關(guān)系、優(yōu)劣總結(jié)還不夠充分。如果讓學(xué)生完成“在等差數(shù)列an中，已知Sp=q，Sq=p，求Sp+q的值”，進(jìn)行變式訓(xùn)練，效果又如何？由于教學(xué)進(jìn)度的限制，無法將本題改為：在等比數(shù)列an中，已知Sn=60，S2n=48，求S3n的值，這是否是一個(gè)“遺憾”呢？至于完全從學(xué)生的思維出發(fā)，根據(jù)展示中暴露出的問題，和學(xué)生一起探究，放下老師的“身段”，忽略老師的所謂“主導(dǎo)”作用，是否又是一個(gè)“遺憾”呢？

參考文獻(xiàn)：

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)） 中華人民共和國教育部制訂 2003年4月第一版