關于工科復變函數與積分變換的教學經驗

摘 要：針對《復變函數與積分變換》課程的特點，結合多年教學實際，從教學內容、教學手段等方面總結了關于《復變函數與積分變換》教學的一些策略。

關鍵詞：復變函數；積分變換；教學方法；多媒體輔助教學

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）24-007-01

復變函數和積分變換是數學分析（或高等數學）的后繼課。它的理論和方法在數學、自然科學和工程技術中有著廣泛的應用，是現代科學技術領域中不可缺少的運算工具。

復變函數與積分變換課程概念繁多且晦澀難懂，抽象度高，邏輯推理嚴密的特點，工科學生普遍感到比較困難，進而失去了學習興趣。本課程的實際授課時數往往較少，如何使學生對這門課產生興趣，在有限的課時內讓學生既能掌握理論和方法，為后續專業課程的學習打下一個良好的基礎？筆者結合近幾年的教學和實踐，總結了以下幾點經驗.

一、介紹背景知識，激發學生的學習興趣

通過指出本課程的理論和方法在工程技術領域的實際應用，如解析函數在平面場問題中的應用，共形映射在電場分布中的應用，使學生懂得課程的重要性，激發學生的學習積極性。又如在積分變換教學中中對于單位脈沖函數δ（t）和單位階躍函數u（t）部分的內容，應盡量避免理論上的介紹，重點說明它們的意義、性質和應用。首先以力學中瞬間作用的沖擊力、電學中的雷擊電閃、數字通信中的抽樣脈沖等實際問題為背景，說明在實際應用中需要一個時間極短但取值極大的函數模型，從而引入一個新的函數，即δ（t）函數；然后分析并給出δ（t）函數的數學定義，由定義自然地推導出δ（t）函數的抽樣性質以及它和單位階躍函數互為導數的關系，同時引導學生分析得到δ（t）函數的意義——使函數在其跳躍間斷點處也存在導數；最后通過舉例說明工程中的大部分信號都可以分解為階躍函數或脈沖函數的和。這樣降低了從數學概念上理解它們的難度，進而提高學生對積分變換的學習興趣。

二、、運用類比教學法，在高等數學知識框架基礎上構建復變函數理論體系

復變函數理論是實變函數微積分理論的推廣與發展，它不僅在內容上與實變函數微積分有許多類似之處，而且在研究問題的方法與邏輯結構方面也很類似。在教學過程中，應注意與微積分理論的比較，從而加深理解，同時須注意復變函數自身的特點，并掌握它自所固有的理論和方法。

在運用類比教學法講授完與實變函數微積分相似的內容后，可結合應用背景引導學生進一步深入學習復變函數特有的留數、共形映射以及積分變換理論，從而使學生建立起復變函數與積分變換的基本理論體系并掌握復變函數與積分變換的基本方法。

三、合理安排教學內容——針對專業特點對教學內容作適當的詳略安排

淡化復變函數中理論性較強而后續專業課程又應用較少的一些數學理論，將教學的重點放在留數定理的應用以及工程中常用的積分變換部分，使學生在學習這門課程時不必為一些繁瑣的數學知識而傷腦筋，為工科專業的其他課程夯實基礎。

在積分變換的教學過程中有選擇地講授傅里葉變換和拉普拉斯變換的概念、性質、應用等知識點，把積分變換部分的內容與后續專業課中需要的知識糅合在一起，強調積分變換的工程應用背景，切實解決好數學理論與專業課脫節的問題，使它們相互補充、相得益彰，讓學生不再感到抽象，從而能夠靈活應用其性質解決一些與專業相關的問題。

四、注重總結，幫助學生理清各部分知識之間的聯系

任何一門課程，其前后內容都是相互聯系的，通常前面章節的內容是后面內容的基礎，后續內容是前述內容的拓展。對于復變函數而言，這種內在聯系尤為突出。如柯西-黎曼方程是研究解析函數性質的基礎，柯西積分公式是研究泰勒級數與洛朗級數的主要工具，而洛朗級數又是介紹奇點和留數概念的前提，等等。教學中要引導學生抓住這些聯系，使學生深刻體會到復變函數是一個有機的整體，從而有利于學生對復變函數整體內容的理解和掌握。

在積分變換教學中也可以采用類比的方法講授拉普拉斯變換和傅立葉變換：拉氏變換是傅氏變換的拓展， 傅氏變換是拉氏變換的一種特例， 但兩種變換的實質都是映射， 是把時間域映射到頻率域， 逆變換則相反。這樣復雜的數學定義及公式就被簡單地提煉出實質， 實現知識由厚到薄的轉換。

五、利用多媒體輔助教學

Matlab 是目前應用最廣泛的工程計算軟件。例如，“復變函數與積分變換”課程中諸如留數、Fourier 變換和逆變換、Laplace 變換和逆變換等問題都可以利用Matlab很方便地計算，學生因此不再害怕繁瑣的計算，從而可以把主要精力集中在建立和優化數學模型上，既節省時間，又提高了學習興趣和效率。

總之，要想在當前教學課時數少，學生普遍缺乏興趣的情況下提高工科復變函數與積分變換課程的教學質量，必須注意適當介紹課程的應用背景，合理運用類比教學法，針對專業特點對教學內容作出取舍，適時總結課程各章節的內在聯系，并結合多媒體進行教學。

參考文獻

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