二次函數在區間上的最值問題

摘 要：“二次函數在區間上的最值問題”，是高中必修的教程，二次函數在區間上的最值問題，一般分為三大類，（1）定函數定區間（2）動函數定區間；（3）定函數動區間。

關鍵詞：二次函數；區間；最值問題

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）24-132-01

二次函數是中學數學中的重要函數，它的性質及應用是高考的重點考查內容，那么在本節，一個難點的問題是“二次函數在區間上的最值問題”這個問題出現在高中教材必修一教材中，對于剛上高中的學生而言，應該算作一個重點問題也是一個難點問題，那么我們如何幫助學生解決這一問題呢？本人做了一下歸納，希望對學生有所幫助。二次函數在區間上的最值問題，一般分為三大類，（1）定函數定區間（2）動函數定區間；（3）定函數動區間

具體如何解決，本人認為影響二次函數在閉區間上的最值主要由三個因素：拋物線的開口方向，對稱軸，和區間位置。二次函數在閉區間上必有最大值和最小值，他只能在區間端點或二次函數圖象的頂點處取得，三大類問題都遵循以下方法。

二次函數在閉區間上的最值討論的一般方法：

當a＞0時， f（x）在區間[p，q]上的最大值為M，最小值為m。令X0=（p+q）

（1）若 ＜p，則f（p）=m，f（q）=M；

（2）若p≤ ＜X0，z則f（ ）=m， f（q）=M；

（3）若X0≤ ＜q，則f（p）=M， f（ ）=m；

（4）若 ≥q， f（p）=M， f（q）=m；

當a＜0時，f（x）在[p，q]上的最大值與上述最小值討論一致，而最小值類似上述最大值討論。

問題一 定函數定區間

例1求函數f（x）=2x2-4x+3在[3，5]上的最值。

解：配方的f（x）=2（x-1）2+1，所以函數的對稱軸為x=1.又因為1＜3.所以函數在x=3處獲得最小值，在x=5處獲得最大值。

問題二 動函數定區間

例2求函數y= x2-2ax-1在[0，2]上的最值。

分析；有y=（x-a）2-（a2+1）可知對稱軸為直線x=a是一個變量，應分a＜0，0 ≤a≤1， 1＜a≤2，a＞2四種情況分別討論。

解：結合二次函數的圖象，觀察對稱軸直線x=a與區間[0，2]的位置關系，得

①當a＜0時，ymin=f（0）=-1 ymax=f（2）=3-4a，

∴y∈[-1，3-4a]；

②當0 ≤a≤1時，ymin=-（a2+1），ymax=f（2）=3-4a，

∴y∈[-（a2+1），3-4a]；

③當1＜a≤2時，ymin =-（a2+1），ymax =f（0）=-1，

∴y∈[-（a2+1），-1]；

4） ④a＞2時，ymin=f（2）= 3-4a， ymax =f（0）=-1

∴y∈[3-4a，-1].

問題三 定函數動區間

例4 設函數f （x） = x2-4x-4的定義域為[t－2，t－1]， t∈R，求函數的最小值＆（t）的解析式。

解：（1）f （x） = （x-2 ）2-8

①當[t－2，t－1] [2，+∞），即-2≥2時，

f （x）min= f （t-2）= （t-4）2-8

②當[t-2，t-1] （-∞，2]，即

t-1≤2時，f （x）min= f （t-1）= （t-3）2-8

③t-2＜2＜t-1，即3

f （x）min= f （2）=-8

小結：（1）解二次函數求最值問題，首先采用配方法，將二次函數化為y=a（ x-m ）2+n的形式的頂點（m，n）或對稱軸方程x=m.

（2）二次函數的最值問題能夠將有關二次函數全部知識和行質融合在一起，還經常和實際問題以及其他考點的知識將結合考查學生的函數思想水平和數學抽象能力，所以歷來為高考所青睞，解決最值問題的關鍵是與圖像相結合，就是用數形結合的方法解決問題最為直觀。

數學是一門邏輯性很強的學科，對于每一個細小的問題都必須認真加以研究，才能做到融會貫通，講解時得心應手。