我教《平方差公式》

摘 要：平方差公式是初中數學教學中的一個重要內容，文章按照學生認知規律，結合具體教學實際，附以實例的敘述了引入、探索、剖析、鞏固訓練、靈活運用、數形結合等教學環節，展現了平方差公式的教學全過程，培養了學生的能力，激發了學生學習數學的興趣。

關鍵詞：平方差公式；探索；歸納

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）24-136-02

平方差公式是蘇科版教材七年級下冊第九章第四節的第二課時的內容，是繼單項式乘以單項式、單項式乘以多項式、多項式乘以多項式和完全平方公式之后的第二個乘法公式，和完全平方公式一樣，它也是多項式乘以多項式的一個特例。將這樣的一個特例作為公式，它為符合公式特征的整式乘法的運算帶來方便，也為以后的因式分解、分式的化簡、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函數等內容奠定了基礎，所以平方差公式在初中階段的教學中具有很重要地位。根據課標要求，我是這樣實施課堂教學的：

一、巧設情境，引人入勝

從生活中的實例引入，一是想激發學生求知興趣；二是為說明平方差公式的幾何意義做好鋪墊。采用如下引例：

一位狡猾的莊園主把一塊邊長為a的正方形土地租給張老漢種植。第二年，他提出把這地的縱向減少5米，橫向增加5米，租金不變。張老漢同意了，張老漢是否吃虧？請你幫張老漢算一算。

通過幫張老漢計算圖（1、2）中的面積可見，從而揭露莊園主的狡猾，體現了數學來源于生活，服務于生活。學生自己就會感受到學習數學的確是有用的。

二、自主探索，獲取新知

在教學中以一組相關聯但又有區別的題目為載體，讓學生通過計算，觀察每個算式、結果的特點，挖掘題目間的共性，發現規律，這樣既復習了舊知，又為下面學習平方差公式作了鋪墊。讓學生感受從一般到特殊的認識規律，引出乘法公式——平方差公式，體會歸納這一數學思想方法。為此設計了下列問題：

問題1：利用多項式的乘法法則，計算下面各題。再觀察、分析這組題目左邊的算式和右邊的結果，你能從中發現什么規律？

（1）（x+1）（x-1）= ；（2）（m+2）（m-2）= ；

（3）（a+ b）（a- b）= ；（4）（2x+1）（2x-1）=

問題2：通過這些題目的計算，你發現了什么？

發現：【左邊】兩個數的和與這兩個數的差的積【右邊】這兩個數的平方差

猜想：（a+b）（a-b）=？

該“探究”題組的問題指向是“你能發現什么規律”，這就將學生的思維自然地導向了“結構特征”，與接下來的“再來計算（a+b）（a-b）”上下呼應，在突出結構特征的同時，揭示了“平方差公式”與“一般多項式乘法”之間的內在聯系。

歸納平方差公式：（a+b）（a-b）= a2-b2

即：兩個數的和與這兩個數的差的積等于這兩個數的平方差

通過多項式的乘法法則踐行猜想，讓“感知”得到到“理性的檢驗”，體現數學學科思維的嚴謹，讓合情推理與演繹推理完美并進，進而準確的用數學語言表述公式。

三、剖析公式，發現本質

通過觀察平方差公式，體驗公式的簡潔性并通過分析公式的本質特征掌握公式。在認清公式的結構特征的基礎上，進一步剖析a、b的廣泛含義，抓住了概念的核心，使學生在公式的運用中能得心應手，起到事半功倍的效果。

在平方差公式（a+b）（a-b）= a2-b2中，其結構特征為：

①左邊是兩個二項式相乘，其中“a與a”是相同項，“b與-b”是相反項；右邊是二項式，相同項與相反項的平方差，即a2-b2；

②讓學生說明以上四個算式中，哪些式子相當于公式中的a和b，明確公式中a和b的廣泛含義，歸納得出：a和b可能代表數或式。

四、小試牛刀，鞏固成果

學生數學技能的習得離不開模仿、重復訓練。平方差公式是典型的程序性技能訓練內容，課標要求初中學生必須掌握基本知識、基本技能、基本數學思想方法，積累基本的數學活動經驗。正確地運用公式按一定的程序和步驟進行技能訓練，提高技能訓練的效率，才能更好掌握數學知識。分析學習了平方差公式立即用教材P67練一練1、2兩題進行訓練。

五、靈活運用，巧妙轉化通過變式訓練，讓學生學會發散思維和逆向思維，從而加強學生對公式結構特征的理解，連續使用平方差公式是對公式應用的拓展與提高。

1、填空：①（-m+___）（n+____）=n2-m2

②寫出與（-a+b）相乘能用平方差公式的因式___________。

③（5a+b+3c）（5a+b-3c）=A2-B2，則A=_______B=______.

2、計算：（x+y）（x-y）（x2+y2），并根據此題自編一道類似的題，同桌交換做一做。

六、數形結合，幾何說理

讓學生計算教材P66圖中陰影部分面積，通過觀察、計算發現面積的求法與乘法公式之間的吻合，激發了學生學習興趣的同時也激活了學生的思維，加深學生對平方差公式的理解。對“用面積說明平方差公式”，用意在于說明“平方差公式”具有直觀的幾何意義，沒有做過多文章”，更不能將其作為推導“平方差公式”的依據，以免造成學生對“平方差公式”的誤解。

平方差公式的教學，讓學生經歷公式的形成過程：從“特例——一般”用“歸納——猜想——驗證——數學符號”表示等過程，發展了學生的符號感、培養他們的合情推理和歸納的能力；讓學生能理解了公式中a、b各代表什么；學會了分析、運用平方差公式的結構特征解決問題；讓學生在經歷從具體到抽象，從一般到特殊中，尋找規律，自我歸納，明確解決同類問題的基本套路；積累數學活動的經驗，感受“平方差公式”的魅力，提高了數學學習的興趣；在自主探究、合作交流、程序訓練的過程中體驗學習的快樂和幸福，從而能更主動地去理解數學、感悟數學的精神。