獨立性檢驗的處理方法

摘 要：新的高中數(shù)學課程標準的建立，把原來在高中教材沒有涉及到的問題都融入了高中的教學當中，如：算法與框圖、莖葉圖、還有回歸分析和獨立性檢驗，對于這些問題的處理上也是老師和學生關(guān)注的問題，作者就獨立性檢驗一節(jié)的處理方式作以闡述，以起到拋磚引玉的作用．

關(guān)鍵詞：獨立性檢驗；假設檢驗；臨界值

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2012）12-178-02

本文將就以下幾個問題展開闡述：

一、獨立性檢驗的形成

獨立性檢驗的基本過程是根據(jù)客觀實踐情況和經(jīng)驗，提出原假設，選好統(tǒng)計量，進行抽樣、試驗、計算、檢驗，進行判斷．也就是說，整個過程貫穿著通過實踐提出假設理論，再通過實踐進行檢驗．假設的過程其實就是類似與數(shù)學證明中的反證法，其基本步驟如下：

假設： ：兩分類變量沒有關(guān)系，用A、B表示兩個分類變量，若 成立 事件A與事件B獨立 .這單純是從概率的角度衡量兩個分類變量的是否有關(guān)．我們需要更進一步對相關(guān)程度進行檢驗，就是在假設 下，如果出現(xiàn)一個與 相矛盾的小概率事件，就可以推斷 不成立，且該推斷犯錯誤的概率不超過這個小概率.

二、獨立性檢驗的基本思想

在新課程標準數(shù)學2-3第三章第二節(jié)對獨立性檢驗進行了明確的闡述，課本首先通過對分類變量進行定義，分類變量也稱屬性變量或定性變量，它們的不同取值僅表示個體所屬的類別，其取值是離散的．如性別變量，只能取男、女兩個值，商品的等級變量只取一級、二級……，是否吸煙，宗教信仰，國籍等等都是分類變量．分類變量的均值和方差沒有實際意義，所以不做研究．接著定義列聯(lián)表：一般為兩個或兩個以上分類變量的匯總統(tǒng)計表．在我們的教材中僅限于兩個分類變量的列聯(lián)表，并且每個分類變量只取兩個值，這樣的列聯(lián)表稱為2×2列聯(lián)表，如下：

總計

c

總計

在假設 成立的條件下，A表示 ，B表示 ，可以通過求分類變量 占總數(shù)與分類變量 占的總數(shù)的概率（用頻率估計概率）， 恰好為事件AB發(fā)生的頻數(shù)； 和 恰好分別為事件A和B發(fā)生的頻數(shù)．由于我們可以利用頻率估計概率，所以在 成立的條件下應該有：

， ，可得：

.

即： ．

因此， 越小，說明常上網(wǎng)與不及格之間的關(guān)系越弱，否則，關(guān)系越強．從這個角度這能說明兩個變量間關(guān)系的強弱，而不能判斷它們具體有多大程度上有關(guān)，在此基礎上為了使不同樣本的數(shù)據(jù)有一個統(tǒng)一而又合理的評判標準，統(tǒng)計學家們經(jīng)過研究后構(gòu)造了一個隨機變量（卡方） = ，并且統(tǒng)計學家們通過實踐還得到了如下的卡方臨界值表：

P(K2≥k0)0.500.400.250.150.10

k00.4550.7081.3232.0722.706

P(K2≥k0)0.050.0250.0100.0050.001

k03.8415.0246.6357.87910.828

在表格中的數(shù)字與上述式子能夠說明一個什么問題呢？上面的表格中的第一行是作為檢驗的犯錯的上界（上界也是我們要找的

那個小概率），下面的 是取值的臨界值，接下來我們就從一個具體實例中做以分析：

例 1為了考察高中生的性別與是否喜歡數(shù)學課程之間的關(guān)系，在我校學生中隨機抽取300名學生，得到如下列聯(lián)表：

喜歡數(shù)學課程不喜歡數(shù)學課程總計

男3785122

女35143178

總計72228300

由表中數(shù)據(jù)計算 的觀測值．能夠以95%的把握認為高中生的性別與是否喜歡數(shù)學課程之間有關(guān)系嗎？

解：可以有95%以上的把握認為“性別與喜歡數(shù)學課程之間有關(guān)系”．

= 4.514

因此應該斷定“性別與喜歡數(shù)學課程之間有關(guān)系”成立，并且這種判斷結(jié)果出錯的可能性約為5%，所以，約有95%的把握認為“性別與喜歡數(shù)學課程之間有關(guān)系”。

這種利用隨機變量 來確定是否能以一定的把握認為“兩個分類變量之間有關(guān)系”的方法，稱為兩個分類變量的獨立性檢驗。

在上述題目做判斷兩分類變量是否有關(guān)時出現(xiàn)了“斷定”一詞，“斷定”一詞在獨立性檢驗中的含義是指檢驗判斷，“斷定為A，B有關(guān)系”就是檢驗判斷為A，B有關(guān)系，也就是拒絕A，B無關(guān)系，即拒絕原假設 (接受假設 的對立面)。“約有95%的把握”中“把握”一詞在獨立性檢驗中的含義是指不犯錯誤的可信度，“有95％的把握”就是有95％可信度(可能性)。換而言之，應該是在原假設 成立的條件下，檢驗判斷接受原假設 犯錯誤的概率不超過5％，而不犯錯誤的概率超過95％。換句話說，就是在原假設 成立的條件下，不犯錯誤接受對立假設 錯誤的概率超過95％。對與求出的 的觀測值 越大說明可信度越高，犯錯誤的概率就越小

三、獨立性檢驗的做題步驟

通過以上的分析我們可以知道對于獨立性檢驗問題如何去分析，接下來我們就要從實際操作中研究怎么去處理這部分問題。首先我們知道從2×2列聯(lián)表的角度來說，我們對列聯(lián)表的中概率的分析可以在直觀上看出它們的概率關(guān)系，而這種直觀判斷不足之處在于不能給出推斷“兩個分類變量有關(guān)系”犯錯概率，但是獨立性檢驗就可以彌補這個不足.即首先直觀上判斷兩分類變量是否有關(guān)系，然后獨立性檢驗主要從是否有關(guān)和有多大的把握認為它們有關(guān)這兩個方面來考查，這樣以來就可以比較清晰的看出變量關(guān)系以及相關(guān)程度。那么這時候就需要借助隨機變量 來求值，進而判斷，即要推斷“X與Y有關(guān)系”，可以通過頻率估計概率進行直觀判斷，再按下面的步驟進行：

1.根據(jù)實際需要確定容許推斷“兩個分類變量有關(guān)系”犯錯概率的上界 ，然后查表確定臨界值 ；

2.根據(jù)2×2列聯(lián)表與公式計算 的觀測值K；

3.如果 ，就可以推斷“兩個分類變量有關(guān)系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過 ；否則就犯錯誤的概率不超過 的前提下不能推斷“兩個分類變量有關(guān)系”，最后做出判斷。

例2在500人身上試驗某種血清預防感冒的作用，把他們一年中的感冒記錄與另外500名未用血清的人的感冒記錄作比較，結(jié)果如表所示。問：該種血清能否起到預防感冒的作用？

未感冒感冒總計

使用血清258242500

未使用血清216284500

總計4745261000

分析：在使用該種血清的人中，有 的人患過感冒；在沒有使用該種血清的人中，有 的人患過感冒，使用過血清的人與沒有使用過血清的人的患病率相差較大。從直觀上來看，使用過血清的人與沒有使用過血清的人的患感冒的可能性存在差異。

解：提出假設 ：感冒與是否使用該種血清沒有關(guān)系。由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求得：

∵當 成立時， 的概率約為0.01，

∴我們有99%的把握認為：該種血清能起到預防感冒的作用。

評注：首先提出假設檢驗的思想，根據(jù)公式計算出 的觀測值，然后對比與臨界值的大小關(guān)系，最后選擇接受假設還是拒絕假設。

利用獨立性檢驗，能夠幫助我們對日常生活中的實際問題做出合理的推斷和預測。因此，在學習中通過統(tǒng)計案例的分析，理解和掌握獨立性檢驗的方法，體會獨立性檢驗的基本思想在解決實際問題中的應用，以提高我們處理生活和工作中的某些問題的能力.另外，隨著新課程標準在全國各地全面推行，對概率與統(tǒng)計知識的考查越來越偏重于對統(tǒng)計知識的考查力度，因此在這一方面我們要更加重視.