由兩道競賽題淺析函數(shù)單調(diào)性的巧用

【摘 要】單調(diào)性是函數(shù)最重要的性質(zhì)之一，文章通過兩道競賽題，為我們展示了試題中函數(shù)單調(diào)性的巧用，并對其進(jìn)行了進(jìn)一步的推廣、研究。

【關(guān)鍵詞】函數(shù) 單調(diào)性 競賽題

【中圖分類號】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674－4810（2012）09－0137－01

例1，x、y為實(shí)數(shù)，且滿足，則

x＋y＝ 。（高中聯(lián)賽，1997）

解：原方程組變形為。

根據(jù)方程組的結(jié)構(gòu)特征，我們可以構(gòu)造函數(shù)f（t）＝t3＋1997t，則由方程組得，f（x－1）＝f（1－y）。

∵f（t）′＝3t2＋1997＞0

∴f（t）在R上單調(diào)遞增，則由函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)得：

x－1＝1－y，即x＋y＝2。

例2，如果cos5θ－sin5θ＜7（sin3θ－cos3θ），θ∈［0，2π），則θ的取值范圍為 。（全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽，2011）

解：sin3θ－cos3θ＞（cos5θ－sin5θ）

sin3θ＋sin5θ＞cos5θ＋cos3θ

設(shè)t＝sinθ，t∈R。

令f（t）＝t3＋t5；

∵f（t）′＞0，∴f（t）在t∈R時單調(diào)遞增。

即f（sinθ）＞f（cosθ）；

∴sinθ＞cosθ；

∴，)。

以上兩道例題，我們將原式進(jìn)行適當(dāng)變形，并根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，通過分析函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)函數(shù)的單值性特點(diǎn)，即可將其順利解答，該方法巧妙簡潔。

上述問題利用了函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而我們可以對以上兩例進(jìn)一步擴(kuò)展。

例1可推廣為：

若（n，m，k∈R＋且m≠n，h

∈R），則x＋y＝a＋b。

解：可將方程組變形為。

構(gòu)造方程：f（t）＝t2n＋1＋kt2m＋1。

由方程組得：f（x－a）＝f（b－y）。

∵f（t）′＝（2n＋1）t2n＋k（2m＋1）t2m＞0；

∴f（t）在R上單調(diào)遞增。

故有：x－a＝b－y。

∴x＋y＝a＋b。

同理，例2可推廣為：

若cos（2n＋1）θ－sin（2n＋1）θ＜λ（sin（2m＋1）θ－cos（2m＋1）θ），（m，n∈R＋且m≠n，λ∈R），則：

，

解：可將原式變形為：λsin（2m＋1）θ＋sin（2n＋1）θ＞cos（2n＋1）θ＋λcos（2m＋1）θ。

設(shè)t＝sinθ，t∈R。

f（t）＝t2n＋1＋λt2m＋1。

∵f ′（t）＝（2n＋1）t2n＋λ（2m＋1）t2m＞0。

∴f（t）為R上的增函數(shù)。

即：f（sinθ）＞f（cosθ）。

∴sinθ＞cosθ；

∴，。

由以上例題可以看出，通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性解決問題，是反映題目本質(zhì)特征的解法，有事半功倍之效。因此，在以后的學(xué)習(xí)中，我們不能就題論題，而要深入思考，揣摩命題人意圖，開闊數(shù)學(xué)思維，找到反映題目本質(zhì)結(jié)構(gòu)的解法，提高數(shù)學(xué)解題能力。

參考文獻(xiàn)

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［3］陳德燕.新專題教程高中數(shù)學(xué)集合與函數(shù)（第三版）（全新修訂）［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2007

［4］傅榮強(qiáng).新課標(biāo)龍門專題：高中數(shù)學(xué)（函數(shù)）［M］.北京：龍門書局出版社，2008

〔責(zé)任編輯：高照〕