圓周率的歷史演算與歷史作用

摘 要：自人類有文字記載的歷史開始，人們對圓周率就懷有極大興趣，它作為重要常數最初是為了解決有關圓的計算而提出，具有應用的迫切性，隨著社會的發展與科技的進步，對值的計算精度越來越高，對此幾千年來數學家用自己的聰明才智進行了不懈的努力，出現了許多可歌可泣的感人故事。本文查閱數學史對的計算過程，著力反映計算技術在實驗法、幾何法、分析法、計算機四個階段的發展狀況以及總結值歷史作用，期望以史為鑒更好的發展數學事業。

關鍵詞：圓周率 實驗法 幾何法 分析法 計算機 作用

中圖分類號：O1 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2013）01（c）-0206-03

了解圓周率的演算歷史與歷史作用，對于我們更好的繼承和發展數學事業都具用重要意義。

1 圓周率的歷史演算

圓周率π是數學常數，它是圓的周長和直徑的比，在社會生產與實踐中應用是非常廣泛的，圓周率的演算精度在某種意義上反映國家的數學水平。

1.1 通過實驗演算值

演算值的初級階段發生在公元前950年前后，是通過實驗為依據，是根據對圓的周長與直徑的測量演算得來。在古代人們把等于3長期應用，如基督教《圣經》中取為3，在印度、巴比倫等也長期使用=3這個簡約數值。在《周髀算經》中對圓周率有過“圓周三徑一”這樣的描述，意思是圓的直徑是1，周長大概為3，這說明了人類早期對值的估算，在東漢時期官方公布古率明確規定圓周率等于3，并以此來計算圓的面積。

人類的早期還應用其它不精確的方法來推算值。如古希臘與古埃及人曾經用谷粒擺在圓周之上，以粒數與方形對比的辦法獲得值，還用質地均勻木板鋸得圓形和方形以其重量的比獲得值等獲得圓周率的許多值，如古埃及人將=3.1605使用近四千年，公元前6世紀印度人曾取3.162，在我國西漢之初王莽命令劉歆造量的容器“律嘉量斛”，在造容器的過程中劉歆就用到圓周率值，為此他通過做實驗，獲得一些關于圓周率的一組近似值，分別為3.1547、3.1992、3.1498、3.2031，這已比徑一周三的古率大大進步了，這種人類經粗糙計算得出的數據，主要用于計算園田面積，由于數值不夠精確在當時沒有產生較大影響，但用這些值來制造器皿等誤差就明顯太大了。

1.2 通過幾何法演算值

通過簡易測量的方法演算出的值是很粗略的，阿基米德科學地研究了圓周率，使圓周率的演算發展到中級階段，他對值的演算建立了數學的方法而非通過測量的手段，將值精確到任意精度，從此使圓周率的演算建立在數學科學為基礎。

圓周長界于其外切正四邊形與內接正四邊形之間，所以4>>，顯然這是不精確的，阿基米德將正多邊形的邊數增加，曾使用了正96邊形來演算值，從而使阿基米德所求圓周率的精度越來越高，在他的著作《圓的測定》一書中首次創造性地利用下界與上界來更精確地確定值，利用幾何法對圓周長和其直徑的比界于與之間進行證明，并得出誤差的估計值，此種數學演算方法從理論上講重要的是所求得的圓周率值更加精確。

阿波羅尼奧斯經長時間的演算得到的值為3.1416，在公元前150年前后由希臘天文學家托勒密獲取的值為3.1417，并取得近似值為377與120之比，這些都是自從自阿基米德以后所取得的偉大成就。

我國首先最早在公元263年左右由數學家劉徽得到比較準確的值。劉徽采用當時先進的割圓術得到等于3.14，并提出它是不足近似值，他研究割圓術的時代雖比阿基米德稍晚點，但他與阿基米德相比從方法上更有獨到地方，只用圓的內接正n邊形可以給出的上界與下界，此做法比阿基米德利用外切與內接正n邊形來確定值要簡便了許多，此外劉徽通過對割圓術的研究過程中給出了一種奇妙的計算方法，他把分割成的192邊形的若干個粗略的近似值使用簡單的加權平均的方法，得到圓周率值的4位有效數字3.1416，對這一結論劉徽曾說過，若使用割圓的方法來計算得到這個數值，就要割至3072邊形，此種相對精確的計算方法的效果是神奇的，這種奇特的計算方法是割圓術中最精彩的，可惜的是由于當時人們沒能對它有正確理解而未被重視。

我們都知道祖沖之對圓周率所做出巨大貢獻，在史書《隋書·律歷志》中有許多關于祖沖之對圓周率演算的記載，他對圓周率的演算有巨大成就，求得圓周率介于3.1415926和3.1415927之間，其精確度進一步提高，并且求得的兩個替代分數，它們分別是約率22/7和密率355/113，他演算出的值有八位，此成果是當時最精確的，在世界上保持了近千年記錄，并且在1912年日本數學家三上義夫為紀念祖沖之的研究成果提出將等于355/113叫做祖率。

為什么祖沖之能夠獲得這個巨大成果？是建立在劉徽割圓術方法基礎之上的并對它進行有效的發展與傳承，所以對祖沖之的成就大加贊譽時，要清楚他是站在數學大師劉徽的有力的臂膀之上的原因，若要只利用演算圓的內接多邊形邊長這種方法想獲得這個精確結論，后人做過推算，它需要演算至少圓內接正12288邊形才可以獲得這一精確度值，祖沖之還可能利用了其它的奇妙方法來簡化計算過程，由于記錄他個人成果的書《綴術》已遺失了，有關這點已不可查詢了，這在我國數學史上非常令人惋惜也是巨大的損失。

祖沖之創造出的成就在世界上享有盛譽，比如我國已發行紀念他的郵票，人們于1964年11月9日在紫金山天文臺觀測到的小行星取名為祖沖之星，蘇聯人于1959年觀測到的月球環形山脈取名祖沖之山，法國在發現宮的科學博物館內墻壁之上撰文專門表述祖沖之的偉大功績，在蘇聯莫斯科大學的走廊里矗立著祖沖之的大理石雕塑。

祖沖之表示值選擇用兩個簡單的分數，一般情況下不會引起人們的注意，但是這點在數學上具有極其有重要的意義，與密率（只用到了1、3、5這三個數字）的近似度很接進，它在形式上卻十分簡并很優美，有數學家專門做了驗證后得出：在所有分數中當分母不大于16603時沒有發現其它分數比密率更趨近于，西方人取得這個成果是在祖沖之之后的一千多年，可以坦率的講祖沖之獲得密率是一件非常了不起的事情。祖沖之是使用什么方法獲得這樣精確的結論的呢？由于當時的文獻沒有承傳下來，后人對它也做了各種各樣的推測，那么就讓我們一起考查一下國外數學歷史，或許能夠找到一些線索。

德國于1573年經數學家奧托研究后獲得這個結論，他就將托勒密的結論和阿基米德的結論中分子、分母分別相減而合成，即：；荷蘭于1858年由安托尼茲將阿基米德的結論中上限與下限取平均數進行了合成，得到了此結論，即：[（333+377）/2]/[（106+120）/2]=355/113。兩人都獲得了祖沖之的密率，但純粹是巧合，沒有任何道理。在17世紀日本數學家關孝和在求值時建立零約術，它實際上是采用加成法去求得近似分數的辦法可以獲得祖沖之的約率與密率，他選取3、4為母近似值，經依次六次加成便獲得約率22/7，經一百十二次加成便獲得密率355/113，他的弟子對此種辦法進行了改進，找出從附近的過剩或不足近似值中就近加成的方法，其實質是前面已講到的加成法，這樣自3、4為起點經六次加成獲得約率22/7，經七次加成獲得25/8，就近和緊鄰的22/7進行加成獲得47/15，這樣經過23次加成方可得密率355/113。

在《中國算學史》中記載著錢宗琮有關祖沖之圓周率計算方法的推測，他推演了祖沖之在獲得密率的計算過程，經算得加成權數x=9，并采用把徽率157/50和約率22/7作母近似值，這樣計算：（157+22×9）/（50+7×9）=355/113，從而獲得密率，并且錢宗琮對祖沖之的計算過程給了高度解讀與評價。

另外還有一種推測是采用連分數的辦法，利用更相減損術來求兩個正整數的最大公約數早在《九章算術》已有記載，因此利用這一工具來求近似分數存在著可能性，便有人認為祖沖之在求出盈二數以后再利用這種方法把3.14159265表達為連分數，于是得出其漸近連分數：22/7、336/106、355/113、102573/32650…最后把精確度較高、分子和分母又較小的分數355/113作的近似數，英國的博士李約瑟也是這樣考慮的，他在《中國科學技術史》中對祖沖之所研究的密率進行了較高的評價，由于祖沖之得到的密率是一些漸分數、連分數，所以是一個了不起的成果。

我們再來研究一下國外對圓周率所作出的貢獻，印度阿耶哈達在公元450年左右獲得=3.1416；中亞與西亞地區在1424年前后由數學家卡西經過演算805306368個內接與外切正多邊形的周長，最終得到=3.14159265358979325，這個值有十個有效數字從而首次突破由祖沖之所創造的記錄；法國在16世紀由數學家韋達運用阿基米德的演算方法，采用216×6個正邊形計算得到有9位有效數字的值，他仍沿襲了阿基米德的研究方式，由于他采用了十進位制數，從而使韋達有了先進的工具，也獲得了更高精度的值；德國數學家魯道夫在17世紀用一生的時間來研究值，他采用十進制數并與阿基米德的研究方法相結合，他開始時未從正六邊40b7dab1bccbdc05270dbb2459294c9bd43701ca7c2a82a5cf120394f9f6226b形入手并把它的邊數增倍，而是從正四邊形入手一直推出262條邊的正多邊形，最多達到大概4610000000000000000邊形，經計算得出值中有36個有效數字，在德國為緬懷他作出的這一偉大成就固把命名為“魯道夫數”。

前面講了運用幾何法求值，它的計算繁雜，會窮盡數學家一生的心血，魯道夫的計算已經到了巔峰，古典方法再不能向前推進了，在17世紀數學分析的發現促使的演算過程也進入全新的歷程。

1.3 通過分析法演算值

利用分析法求值的時期是通過無窮級數來計算，它已經突破求多邊形周長的繁雜演算過程，此時對已給出精確表示與充分的理性認識。

1579年數學家韋達得出的最早分析表達式：這個公式十分的優美，至今也令人們欣賞贊嘆，公式中僅出現數字2，使用乘、除、開平方與加法等系列的運算就得出值。后來相繼對給出多種表現形式，比如在1650年由英國科學家約翰·沃利斯提出：；在1650年由英國數學家羅爾德·布隆克爾提出：在1671年由蘇格蘭數學家詹姆斯·格雷里奇提出：這些式子都是首次精確表達值，但是運用它去計算值時耗費時間與精力，想把值精確至小數點后第二位就得演算幾百項。

創建微積分的數學家牛頓提出：

牛頓運用這個公式大大簡化了值的計算過程；大數學家歐拉于18世紀對值提出新的計算：…，…從形式上看兩個表達式是十分簡潔與完美的，但計算出的值的效果并不好；數學家亞伯拉罕·夏普于1699年運用詹姆斯的結論算出值有72位有效數字；數學家梅欽于1706年提出的表達式：，他運用級數展開的方法計算值到小數點后100位，為紀念他的成果，表達式以他的名字來命名；法國代·拉尼于1719年把值精確到小數點后第112位；德國蘭伯特于1767年經過證明提出值是無理常數；法國勒讓德于1794年再經過證明得出也是無理數；達塞于1844年得到公式：，并運用此公式對值取得第200位小數的成就；在1853年德國盧瑟福竟然把值精確至小數點后的400位。

在1882年由德國林德曼提出并得到證明為超越數，它不是整系數代數方程的解，從此解決了困擾人們近二千年的數學難題即不可化圓為方，從而極大的突破了對認識。在1873年由美國菲格森把值精確至小數點后的710位；佛格森與小倫奇于1947年共同研究并得到值的小數點后的808位，創造了用人工計算值的世界最高記錄。

求值不同的類似公式在19世紀后出現很多，精確度也越來越高，謝克斯在1873年運用梅欽的級數公式把計算至小數點后707位，他用了20年時間才獲得這項世界紀錄，為歌頌他頑強精神與堅韌毅力，人們在他去世后把凝聚他一生心血值刻在他的墓碑之上，他獲得的這個舉世的成就成為以后74年內為人們深信不疑的最高記錄。數學家弗格森在若干年后對謝克斯的計算有疑慮，他大膽地進行了猜想，值中雖然數字的排列確實不存在規則，但各個數字出現的幾率似乎相近，于是他對謝克斯的值做了統計后提出數字的出現并不均等，于是使他產生了懷疑。從1944年至1945年的一年時間內他采用了當時最優秀的計算手段進行計算，找到從第528位開始是錯誤的，之后的一百多位數字全部有問題，謝克斯的大半成果就這樣被無情地一筆抹去了，但謝克斯作為毅力堅強的計算者自愿獻出大半生精力從事值的計算工作而無報酬，這種在數學上的不懈追求精神是值得我們學習的。

1.4 通過計算機演算值

世界上首臺計算機ENIAC于1946年問世，隨著電腦時代的開啟出現了計算方面的根本革命，1949年在計算機上根據梅欽的計算公式將值計算至小數點后2035位，計算時間僅為70小時，由于計算機的發展速度非常快，導致值的計算記錄被一次次打破。

印度數學家拉馬努金在19世紀初提出一個高效的計算值的數學公式：，由于公式中出現四次方導致它高速趨近于的真實值，每一步計算都可以增長8位有效數字，1985年人們使用這個公式對值進行計算后得到小數點后一千七百萬位數字；法國裘努埃于1959年運用IBM704將值計算至小數點后16167位；美國香克斯與倫奇于1961年運用IBM7097將值計算至小數點后100265位；法國吉勞在1966年運用STRETCH將值計算至小數點后250000位；法國吉勞在1967年運用CDC6600把值計算至小數點后500000位；法國吉勞在1973年把值計算至100萬位小數，并把此成果編成世界上最枯燥的二百頁的書；日本鹿角理三吉與久仲山于1981年運用FACOMM-200利用公式把值計算到小數點后2000038位；美國貝利在1986年利用Cray-2只耗費28小時就將值計算到小數點后29360000位；日本廉正蒲田在1986年使用NECSX-2把值計算至小數點后134217700位，并在1989年對值的計算攻破10億位；日本在1994年運用數學公將值精確至小數點后40億位，并在1995年已突破64億位。

在20世紀90年代數學家創造出的“水龍頭”計算法，對值在原有數字的基礎之上運用遞推方式可以計算出后繼的數字，電腦專家們還創造出十分有意義、有效的公式：，運用此公式得到了特殊的結果，即在十六進制數中第位數字可獨立計算出來，而無需得出位之前的數字，比如不必計算出的100萬位之前的數字，就可知道第100萬位的數字。

日本東京大學教授金田康于1999年對值已獲得小數點后2061.5843億位，據最新消息講他正使用超級計算機算得值的小數點后一兆二千四百一十一億位，改寫了兩年前由他創造的紀錄，現在雖然打破記錄，但不管推進至多少位也不至令人感到驚喜，事實上將值算得如此精確其應用的作用已不大，在科技方面所運用值有十多位就已足夠了，若運用魯道夫得出的僅36位有效數字的值來演算能將太陽系包括在內圓的周長，其誤差不足于質子直徑的1/1000000。

2 值的歷史作用

是什么原因使數學家對的計算一直不能停步呢？是什么原因對值有這樣的興趣呢？這里面除了有人類的對新生事物的探索追求和想超越他人的想法之外，還有其它更加重要的理由。

（1）通過值的計算以檢測超級巨型計算機的各種性能。通過值的計算以檢測計算過程的穩定性與計算速度，以便通過檢測結果對計算機進行改進，比如當Intel公司將奔騰（Pentium）計算機推出時就是通過計算值發現此計算機中存在一個小問題，這就是值的計算到目前為止還不能停步的重要原因之一。

（2）通過計算值的思路與演算方法可發現新的數學概念與數學思想方法。即使計算機的運算值速度非常高，但還要求由數學家精心編制值的運算公式與程序以指導計算機進行運算，如果將的演算歷程劃分出計算機時代時，但絕不意味著它在計算的方式與方法上有什么改進，僅僅是所采用的計算工具上有所突破罷了，所以研究怎樣改進計算技術、發現更加精確的計算公式并使其公式收斂得更快更好、并能快速地達到極高精度等這些問題仍是數學家們要研究的重大問題，比如印度現代著名數學家拉馬努金發現許多非常好的結論，運用他的公式能精確并迅速地演算出的高位近似值，他的結論給出了更加精準地演算值的明確思路，可見的計算過程是人類數學發展的勝利但它絕不是機器的勝利。

人類是否能做到無限地對值的計算進行下去，依據朱達偌夫斯基的估算人類是做不到的，人類最多能對計算到位，盡管目前人類距離這一極限位置還很遙遠，但它的計算終究是有界限的，為了探究這一界限是否存在、是否受到這一界限的阻礙，人類就要從算理上有新的質的飛躍，要牢記并杜絕謝克斯式的在計算史上發生過的慘痛的教訓，唯有探求新的計算方法。有人提出對計算時能否做到不從頭進行而要從中間開始，這種大膽的想法是要探索并行計算公式，計算的并行計算公式終于1996年被發現，只不過它是16進制的公式，由它可得到的1000億位的小數，如何把這16進制的公式轉化成10進制的并行計算公式是將來數學面臨的一個難題。

（3）通過值的計算檢驗數學理論層面的問題。人們希望將的無窮級數展開至億位，并通過此過程能夠給出充分的數據以檢驗人們所提出的一些理論層面的問題，從中可推出大量神奇的性質，比如要考查在的十進制展開式中有些數字較稀疏、有些較稠密，數字出現的幾率是否相等，還是它們完全隨意等。最早提出在的數值中各數字出現的幾率應該相等的是數學家弗格森，就是這種猜測為發現與糾正謝克斯在計算值過程中出現的失誤找到了根據，弗格森想驗證自己的猜測是否成立他卻做不到，他人也是由于知道的值的位數有限而無法去驗證猜想，所以人們對其正確性也就產生了懷疑，比如在的近似值中0出現的幾率開始時很少，0在第32位首次出現，但是隨著的近似值的增加，這種情況出現了變化，第8個0出現在100位內，第19個0出現在200位內，第999，440個0出現在1000萬位以內，第599，963，005個0出現在60億位內……所占比率為1/10，其它數字出現的情況也有相似的結論，雖然稍有偏差但都控制在1/10000以內。這些問題看似無聊，只有那些思想敏銳的人才會問這些簡單的問題，相信人類終將會得出許多有用的結論，從而推動數學的發展。

人們很久以來就在的展開式中努力查找素數，起初在相當長的一段時間里經過艱難試除確定314159是六位數素數，于1979年兩位美國數學家發現并證明在的數列中有長達38位素數31415926535897932384626433832795028841，并稱之為“天文素數”，后來麥文在的數列中又發現存在長度達432位的素數，從此以后再沒有新的發現。

（4）通過值的計算了解值中數字的出現有沒有固定模式。人們追求能夠在十進制中通過統計分布對數字進行研究，以此來尋覓存在的可能模型，但至今為止還沒有找到這類模型。人們還想知道在值中是否存在無限的樣式變化，即是否存在任意樣式的數字排布，大數學家希爾伯特就曾提出在的十進制數中是否存在10個9在一起，就目前得到的60億位數來作考察已經發現有6個9在一起，此問題的回答應得以肯定，只要的數位有足夠長，什么形式的數字排布皆會出現，只不過是時間問題而已。

據統計在值的60億數字之中已經有連續的10個6、9個7、8個8，從小數部分第3204765位和第710150位以后都有連續7個3，值的前八位在小數部分第52638位后也同樣出現，有趣排列876543210出現于小數部分第2747956位，只是缺個9，還有123456789也出現，只是缺個0，雖然數列314159重復出現6次，但數列0123456789從未出現過，這一點對人們有啟發作用。

參考文獻

[1] 李文林.數學史概論[M].北京：高等教育出版社，2002.

[2] （英）期科特.數學史[M].南寧：廣西師范大學出版社，2002.

[3] 王樹禾.數學思想史[M].北京：國防工業出版社，2003.

[4] 梁宗巨.數學歷史典故[M].沈陽：遼寧教育出版社，2000.

[5] 李文林.古為今用、自主創新的典范——吳文俊院士的數學史研究[J].內蒙古師范大學學報：自然科學漢文版，2009，38（5）.