分類討論思想在解數學題中的應用

摘 要：解數學問題往往可以有眾多的思想方法，如轉化化歸，數形結合，分類討論，數學建模等等，而在這些思想方法中分類討論是一種重要的數學思想，學習數學的過程經常會遇到分類問題，如數的分類，圖形的分類，代數式的分類等等，在研究數學問題中常常需要通過分類討論解決問題。本文從滲透在教材中的分類思想出發，結合例題闡述了分類討論的思想，分類的原則，分類討論的應用，從而體現分類討論思想在初中數學解題中的作用和地位。

關鍵詞：分類討論的思想；分類的原則；分類討論的應用

數學課程標準明確提出數學思想方法是數學基礎知識的重要組成部分，數學教學中如何挖掘課本中所蘊含的數學思想方法，如何有效的進行數學思想方法教學，如何培養和發展學生的數學思想已經成為數學教育工作者普遍關注和潛心探索的一項重要課題。在新課程中，分類思想在教材中的體現是豐富多彩的，在整個初中階段很多問題都用了分類的思想，將不同的事物分為不同的種類，尋找它們各自的共同點及內在的規律性。

一、分類討論的思想

所謂分類討論就是分別歸類再進行討論的意思，數學中的分類過程就是對事物共性的抽象過程，解題時要使學生體會為什么要分類，如何分類，如何確定分類的標準，在分類的過程如何認識事物的屬性，如何區分不同事物的不同屬性，通過多次反復的思考和長時間的積累，使學生逐步感悟分類是一種重要的思想，它體現了化整為零，化零為整與歸類整理的思想，它揭示著數學事物之間的內在規律，學會分類有助于學生總結歸納所學的知識，使所學的知識條理化，提高思維的概括性，從而提高分析問題和解決問題的能力。

我們在運用分類討論的思想解決問題時，首先要審清題意，認真分析可能產生的不同因素，進行討論時要確定分類的標準，每一次分類只能按照一個標準來分，不能重復也不能遺漏，另外還要逐一認真解答。我們平時在解決問題時還經常碰到這樣的情況，當問題解答到某一步驟后，需要按一定的標準來分為若干個子問題進行討論，這樣常常可以使問題化繁為簡，更清楚地暴露事物的屬性。

案例1 某服裝廠生產一種西裝和領帶。西裝每套定價200元，領帶每條定價40元，廠方在開展促銷活動期間向顧客提供兩種優惠方案。方案一：買一套西裝送一條領帶，方案二：西裝領帶均按定價打9折（兩種優惠方案不可同時采用）某店老板要去廠里購買20套西裝和若干條領帶（超過20條）請幫店老板選擇一種較省錢的購買方案。

分析 因為已知條件中未明確購買領帶的數量，因而較省錢的購買方案也是不確定的，而是由不同的領帶購買數量決定的。

解 設店老板需購買領帶x條

方案一購買需要付款200×20+（x-20）×40=40x+3200 （元）

方案二購買需要付款（200×20+40x）×0.9=36x+3600 （元）

假設y=（40x+3200）-（36x+3600）=4x-400 （元）

（1） 當y<0時，即20

（2） 當y=0時，即x=100，方案一和方案二同樣省錢。

（3） 當y>0時，即x>100，方案二比方案一省錢 ，

答：當購買領帶超過20條而不到100條時，方案一省錢，當購買領帶等于100條時，兩種方案一樣省錢，當購買領帶超過100條時，方案二省錢。

二、 分類的原則

分類討論必須遵循一定的原則進行，在初中階段我們經常用到以下幾個原則。

1. 同一性原則

分類應該按照同一標準進行，即每次分類不能同時使用幾個不同的分類依據，否則會出現重復的現象，例如有些同學認為三角形可以分為等腰三角形，等邊三角形，銳角三角形，鈍角三角形，直角三角形，這樣的分類是錯誤的，不但以邊來分類而且以角來分類，如等腰三角形可以是銳角三角形，鈍角三角形或直角三角形，這樣的分類犯了標準不同的錯誤。

2. 互斥性原則

分類后的每一個子類應該具備互不相容的原則，即不能出現有一項既屬于這一類又屬于那一類。例如學校舉行運動會，規定每個學生只能參加一項比賽，初一六班的6名同學報名參加100和200米的賽跑，其中有4人參加100米比賽，3人參加200米比賽，那么就有1人既參加100米又參加200米比賽，這顯然犯了分類的互斥性原則。

3. 完整性原則

分類后的每一個子類合并起來應該等于總類，否則會出現遺漏的現象。例如某人把實數分為正實數和負實數，這樣的分類是不完整的，因為零也是實數，但是零既不是正實數也不是負實數。

4.多層性原則

分類后的子類還可以繼續再進一步分類，直到不能再分為止。例如實數可以分為有理數和無理數，有理數可以分為整數和分數，整數可以分為正整數，零和負整數。

三、分類討論的應用

我們用分類討論的思想解決問題的一般步驟是：

（1） 先明確需討論的事物及討論事物的取值范圍；

（2） 正確選擇分類的標準，進行合理的分類；

（3） 逐類討論解決；

（4） 歸納并作出結論。

下面淺談一下分類討論在初中階段的一些簡單的應用：

1. 分類討論在應用題中的應用

案例2 學校建花壇余下24米漂亮的小圍欄，經總務部門同意，初一五班的同學準備在自己教室后的空地上建一個一面靠墻，三面利用這些圍欄的花圃，請你設計一下，使花圃的長比寬多3米，求出花圃的面積是多少？

分析 因為已知條件中并沒有明確長和寬的位置，所以需要對長和寬的位置進行討論。

解 （1）假設平行于墻的一邊為長x米，則寬為（x-3）米，依題意可列方程

x+2（x-3）=24

解方程得x=10。

經檢驗，符合題意

長為10米，寬為7米，面積為70平方米。

（2）假設垂直于墻的一邊為長x米，則寬為（x-3）米，依題意可列方程

2x+ （x-3）=24

解方程得x=9。

經檢驗，符合題意。

長為9米，寬為6米，面積為54平方米。

答 當平行于墻的一邊為花圃的長時花圃的面積是70平方米，當垂直于墻的一邊為花圃的長時花圃的面積是54平方米。

學生在解此類題的錯誤往往是因為不認真審題，沒有弄清已知條件中的各種可能情況而急于解題所造成，只有審清了題意，全面系統地考慮問題，才可以確定出各種可能情況，解答此類問題就不會造成漏解。

2. 分類討論在絕對值方程中的應用

關于絕對值的問題，往往要將絕對值符號內的代數式看成一個整體，將這個整體分為正數，負數，零三種，再分別進行討論。

案例3 求方程 ︳x+2︳﹢︳3-x︳= 5的解

分析：本題應該對于代數式 ︳x+2︳應分為x=-2，x>-2，x<-2，對于︳3-x︳應分為x=3，x>3，x<3，把上述范圍畫在數軸上可見對這一問題應劃分以下三種情況分別討論：

解 ①當x？艽-2時，原方程變為-（x-2）+3-x=5，解得x=0與x？艽-2產生矛盾，故在x<-2時原方程無解。

②當-2

③當x>3時，原方程為x+2-（3-x）=5，解得x=3這與x>3產生了矛盾，故在x>3時原方程無解。

綜上所述，原方程的解是滿足2

3.分類討論在解含有參數問題中的應用

所有含有參數的問題都要進行分類討論，而且要對參數的不同取值范圍分類討論，不能有重復和遺漏。

案例4 若關于x的分式方程■-■=1無解，求a的值

解 方程兩邊同乘以x（x-1），得（x-a）x-3（x-1）=x（x-1）

整理得（a+2）x=3

①當a+2=0即 a=-2時，方程無解，則原方程也無解。

②當x=1時方程無解，此時a+2=3，得a=1。

③當x=0時方程無解，此時（a+2）×0=3無解。

綜上所述，a的值為1或-2。

4.分類討論在解幾何題中的應用

分類討論思想在幾何題中有廣泛的應用，在有關點與線的位置關系，直線與直線的位置關系，直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系，等腰三角形等的題目中都需要進行分類討論。

案例5 等腰三角形中，有一個角是另一個角的4倍，求等腰三角形的一個底角的度數？

分析 本題應該分為底角是頂角的4倍和頂角是底角的4倍兩種情況進行討論

解 （1）當一個底角的度數為x度，頂角是4x度時

依題意列方程x+x+4x=180解得x=30，底角等于30度。

（2）當一個底角的度數為4x度，頂角是x度時

依題意列方程4x+4x+x=180解得x=20，底角等于80度。

綜上所述，等腰三角形的底角為30度或者80度。

5.分類討論在解概率題中的應用

在求簡單事件的概率時，我們通常會用“列表”或者是“畫樹狀圖”的方法來列舉所有機會均等的結果，然后找出該事件所包含的結果，從而求出該事件發生的概率。事實上“列表”或者是“畫樹狀圖”的方法就是分類討論的思想方法最直接的體現。

案例6 同時拋擲3枚普通的硬幣一次，問得到“兩正一反”的概率是多少？

分析 每一個硬幣都有正面和反面，我們可以用畫樹狀圖的方法分析先拋第一枚，再拋第二枚，最后拋第三枚，可知共有8種機會均等的結果它們是（正正正）（正正反）（正反正）（反正正）（反反正）（反正反）（正反反）（反反反），其中兩正一反的結果有3種，可以求得概率是八分之三。

6.分類討論在解函數題中的應用

分類討論的思想方法貫穿于初中階段學過的所有的函數中，一次函數y=kx+b（k≠0）要對k，b取值范圍進行分類討論，反比例y=■（k≠0）函數要對k的取值范圍進行分類討論，二次函數y=ax2+bx+c﹙a≠0﹚要對a的取值范圍進行分類討論。

案例7 求二次函數y=ax2+（3-a）x+1﹙a≠0﹚與x軸只有一個交點，求a的值與交點坐標。

解 ①當a=0時，此函數為一次函數y=3x+1與x軸只有一個交點，

交點坐標是（-■，0）

②當a≠0時，此函數是二次函數，因二次函數與x軸只能有一個交點則判別式為零

（3-a）-4a = 0

解得a=1或a=9

當a=1時，與x軸的交點坐標是（-1，0）。

當a=9時，與x軸的交點坐標是（■，0）。

【結語】分類討論思想的應用非常廣泛，涉及到初中的全部知識點，這里不能一一列舉出來，分類討論思想的關鍵是分清引起分類的原因，明確分類討論的事物和標準，按可能出現的所有情況做出準確分類，再分門別類加以求解，最后將各類結論綜合歸納，得出正確答案。數學中的分類思想是一種比較重要的數學思想，通過加強數學分類思想的訓練，有利于提高學生對學習數學興趣，培養學生思維的條理性，縝密性，科學性，這種優良的思維品質對學生的未來必將產生深刻和久遠的影響。