分形修正的立方定律在采動巖體滲流分析中的應用

摘要：本文利用巖石破斷面粗糙度具有分形性質的特性，通過對立方定律中粗糙度系數的分形修正，得到更加精確的滲透系數的求解公式。結合離散元數值模擬對石嘴山煤礦工作面附近采動巖體的最大滲流速度變化進行分析，驗證了公式的準確性，得到其滲流規律。此方法對研究煤礦采空區滲流規律具有重要意義，為預防采動巖體裂隙導通而產生突水事故，確保煤礦安全生產提供理論依據。

關鍵詞：分形修正 立方定律 粗糙度

0 引言

構造裂隙多為陡傾角裂隙，本文將其簡化為與層面近似正交的裂隙，近似為等距分布。裂隙間距與巖層的厚度之間存在近似線性關系且因地而異。孫廣忠對采動巖體等級序的節理裂隙作了大量統計研究，指出采動巖體的節理裂隙等間距性的廣泛存在并與其所切穿的巖層厚度有關，節理間距大體為切割巖體厚度的1/2，多數為1/1。吳占壽也對節理裂隙的等間距分布作了研究，節理裂隙的等間距確實存在，并指出影響節理裂隙間距大小的因素很多，對于具體地方所得到的定量關系也不盡一致。綜上所述，采動巖體的滲流可看作是層面裂隙和構造裂隙所組合的裂隙網絡系統為滲透介質的滲流問題。本文運用離散裂隙網絡的方法對采動巖體的滲透特性進行了初步探討。

1 分形描述的節理粗糙度公式

裂隙的幾何形態和空間展布特征造成了巖體滲透性具有分布的高度非線性和明顯的各向異性。裂隙的粗糙度和裂隙水力開度同樣對滲透性具有重要影響。

首先，假定采動應力場變化只引起裂隙開度發生變化，而巖石變形導致的裂隙粗糙度變化可以忽略不計。

Louis假設水流服從Darcy定律，根據單相，無紊亂，粘性不可壓縮介質的Navier-Stokes方程，得到了立方定律的修正式。

根據Louis的立方定律修正式，得到裂隙面相對粗糙度修正系數C：

C=1+8.8■■ （1）

D■=■ bm——有效隙寬

根據杜時貴等推導的結構面粗糙度系數Barton直邊法簡明公式

JRC=400■ （2）

把公式（2）帶入公式（1）：

C=1+8.8■■■■ （3）

周創兵對拉西瓦水電站壩址區花崗巖裂隙進行了分形測量，得到分形維數與粗糙度系數之間的統計關系為：

JRC=■ （4）

并對各種經驗關系式做了進一步的回歸分析，得到

JRC=479.369D-1■ （5）

結構面粗糙度兩個方向上分形維度Hurst維數可以用下面的方法描述：

H2D（θ）=（a1cosθ+b1sinθ）+（a2cos2θ+b2sin2θ） （6）

其中，a1=■，a2=■，b1=■，b2=■

■

根據由分形理論可知，一個分形體在E維歐式空間的維數一般可以表示為：

D=E+H （7）

式中，E表示歐式維數。那么對于粗糙表面，E=2，則上式應寫為：

D=2+H （8）

把公式（7）和公式（6）帶入公式（5）得到：

JRC=479.369[1+（a1cosθ+b1sinθ）+（a2cos2θ+

b2sin2θ）]1.0566 （9）

把（9）帶入（3）可以得到最終的結構面粗糙度分形修正系數C*，把C*帶回Louis立方定律公式得到一組平行裂隙分形描述的立方定律公式：

Kf=■ （10）

β——裂隙內連通面積與總面積之比（連通系數）；

S——裂隙平均間距。

巖石的損傷斷裂破壞同其內部微裂隙結構特征有密切的關系，因此結構面粗糙度是巖石的固有屬性，只依據巖性不同而改變，不會因為形狀、大小而發生變化。巖石斷面具有分形特征，結構面粗糙度分形修正系數很好地反映了巖石結構面這一屬性。

另外，巖石裂隙具有各向異性，而二維分形Hurst維數定量的描述了沿兩個方向都變化的整個裂隙面粗糙性，因此，公式（10）對滲透性的計算更加精確。

2 采動巖體滲流-應力耦合研究

對于給定的工程巖體，影響巖體滲流的主要是巖體裂隙的隙寬。當外部應力環境發生變化時，將導致巖體裂隙發生變化，從而對巖體的滲透特性產生較大的影響。

由于不同年代地質構造，巖體被大量結構面切割，這些裂隙雖然雜亂無章，但卻有一定規律，往往由幾組平行的裂隙所切割。所以可以將巖體裂隙假設為平行、等間距、等隙寬的幾組裂隙進行理論研究。由于巖塊的滲透性遠遠小于裂隙的滲透性，研究中常常忽略巖塊的滲流，認為水僅僅在裂隙中流動。采用這些假設后，根據公式（10）得到一組平行裂隙的滲透系數：

K0=■ （11）

當垂直裂隙方向的應力變化為Δσ時，其產生的位移為：

Δu=Δε■+■■ （12）

單裂隙水力滲透系數為：

k=k■1+Δε■+■■■ （13）

由于裂隙寬度b與裂隙間距s相比無窮小，可以忽略，上式變為[13]：

k=k■1+Δε■■■ （14）

經化簡，上式變為：

k=k■1+■■ （15）

2.1 自重力引起的裂隙變形 自重應力引起的在裂隙尖端x=±c處產生的張拉位移為：

δ■=■■ （16）

自重應力引起的裂隙變形，考慮單一裂隙在采動作用下的位移特征。此問題可以應用S.L.Crouch提出的位移不連續法。節理裂隙兩側相對位移可視為不連續位移，裂隙位移可表示為：

u1=■ （17）

2.1.1 裂隙的隙寬變化 綜合考慮前面討論的兩種情況，可得由開采應力引起的裂隙在垂直裂隙面方向的位移為：

Δb■=δ■+u■=■■+■ （18）

2.1.2 裂隙滲透系數變化 將式（18）帶回式（15），可得采動應力引起的滲透系數變化值。

Kσ=K01+■■+■■ （19）

當采動應力造成的裂隙尖端破壞程度較小時，a≈c，上述公式可變為：

Kσ=K0[1+■] （20）

具體到采動巖體，原巖應力σn=γh，假定裂隙面與水平面夾角為θ時，則不同埋深的巖層滲透系數為：

Kh=K01-■■ （21）

由式（21）可以看出，隨著埋深的增加，滲透系數逐漸減小，這與現實情況是相符的，由于巖體在地表的滲透系數很容易獲得，所以通過上述公式可以求得地下任意深度巖層的滲透系數值。

2.2 水壓引起的裂隙變形 在采動過程中，飽和巖體裂隙中存在的水壓力將會對裂隙面上的每一點形成一個均勻的壓力荷載，在這種水壓力作用下，裂隙將會有一種張開的趨勢，同樣利用Paris位移公式求解：

δ■=■■ （22）

可以看出，水壓力越大，裂隙尖端的張開位移越大。

在裂隙內部法向作用有水壓p時，水壓力引起的裂隙張開位移為：

uw=■ （23）

則綜合考慮前面討論的兩種情況，得到由水壓引起的裂隙張開位移為：

Δb■=δ■+u■=■■+■ （24）

將式（24）帶回式（15），可得采動應力引起的滲透系數變化值。

K■=K■1+■■+■■ （25）

當采動應力造成的裂隙尖端破壞程度較小時，a≈c，上述公式可變為：

K■=K■1+■■ （26）

根據式（26）可以看出，隨著水壓的增加，滲透系數增加的幅度很大，室內試驗表明，隨著水壓的增加，裂隙巖樣的滲透性明顯地增加。

2.3 裂隙巖體滲流特征與應力的關系 綜合考慮開采應力和水壓的聯合作用，裂隙巖體的滲透系數為：

K=K■+Kσ=K01+■■+■ （27）

具體到采動巖體，在自重力影響下，不考慮裂隙端部破壞引起的裂隙位移，則有：

Kh=K01+■■ （28）

3 算例

以石嘴山煤礦為例，用分形修正的立方定律計算采動覆巖的滲透系數，分析采動巖體中的滲流行為。

根據對石嘴山煤礦覆巖不同性質巖樣的室內滲流試驗結果，并應用分形修正的立方定律計算得到石嘴山煤礦采動覆巖的滲透系數見表1。

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裂隙初始開度b=0.01mm，裂隙水密度取γw=1.0×103kg/m3，水的動力黏滯系數μ=1.0×103。根據石嘴山煤礦柱狀圖，計算不同深度巖層的滲透性，并用離散元數值模擬。

根據數值模擬結果，采動滲流巖體基本可以分為四個區域：貯水區、滲流屏蔽區、定向滲流區和完全滲流區。滲流屏蔽區由滲流關鍵層組成，隨開采滲流關鍵層的破斷，滲流屏蔽區可能轉化為定向滲流區。而完全滲流區后方隨開采裂隙的逐漸愈合會轉化為滲流屏蔽區。

根據分形修正的立方定律結合離散元數值模擬，得到工作面附近采動巖體的最大滲流速度變化如圖2所示。

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4 結論

本文利用巖石破斷面粗糙度具有分形性質的特性，通過對立方定律中粗糙度系數的分形修正，得到更加精確的滲透系數的求解公式。

4.1 分形修正的滲透系數在巖石裂隙面的兩個方向上描述其滲透性，相對于以往理論解的滲透系數更加精確。

4.2 通過應力與滲透性的耦合，得到不同深度條件下的巖層滲透系數，結合離散元數值模擬，得到采動巖體的滲流規律：

①隨著工作面遠離切眼，開切眼附近圍巖的裂隙導水能力逐漸減小，最終達到穩定，但滲透能力只是初始滲透能力的幾分之一。也就是說，在煤層開采工程中，只要開切眼在初始沒有突水，那么在以后的開采過程中，在切眼一側發生頂板突水的可能性更小。

②隨著工作面推進，工作面附近的采動覆巖的導水能力逐漸逐級遞增，直到主關鍵層破斷，發生頂板突水的可能性最大。工作面繼續推進，工作面附近采動覆巖的導水系數又開始逐漸降低，最終達到穩定。

③當導水裂隙發育達到一定程度后，隨著工作面推進，采動覆巖的導水裂隙在工作面后方約60m的采空區內逐漸進入壓實階段，裂隙導水能力逐漸下降。直至幾乎完全閉合，從導水能力來講，不再作為突水通道威脅采場的安全。

參考文獻：

[1]孫廣忠.地質工程理論與實踐[M].北京：地震出版社，1996.

[2]盧剛，周志芳.裂隙網絡滲流理論的軟硬互層狀巖體滲流分析[J].水電能源科學，2006，24（4）：41-42.

[3]J.Bear，Dynamics of Fluids in Porous Media，American Elsevier，New York，1972.