讀懂學生有效探究

【關鍵詞】數(shù)學教學 讀懂學生 有效探究

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2013）01A-0063-02

以操作支撐起學生對圓的面積公式的探索，已成為教師處理《圓的面積》一課教學的共識。其基本教學流程為：教師提供等分的圓，學生在教師指令下剪一剪，拼一拼，接著在教師引導下推導出圓的面積公式。誠然，操作為學生推導公式積累了豐富的感性經(jīng)驗，但由于操作過程缺乏學生自主思考的支撐，這使得本課的探究更多地停留在了公式演繹推理的層面上。

如何創(chuàng)造一個更加開放的平臺，從而使圓的面積轉化本身成為學生自主探究的過程，讓學生在操作活動中不斷試驗、反思、提升，從而經(jīng)歷平衡—不平衡—平衡的認知過程，體悟極限與轉化的數(shù)學思想，成為筆者研究這節(jié)課的重點。

【試教片段】

1.喚醒經(jīng)驗，嘗試探究

師：回憶一下，我們以前是怎樣推導出平面圖形的面積公式的，請你舉例說明。

（生舉例說明，師課件演示）

師：是啊，我們通過轉化，將未知圖形的面積轉化成已知圖形的面積，從而推導出未知圖形的面積公式。圓是否也能夠轉化為我們以前學習過的圖形呢？

（有學生認同，有學生反對）

師：請拿出圓形紙片，小組討論后動手試一試。

（課堂觀察：大多數(shù)學生拿到圓形紙片討論無果，有4個同學在其中畫出一個正方形）

師：這位同學把圓轉化成正方形，可以嗎？

生：不可以，因為圓比正方形還多出4個小部分來。

2.提供學具，再次探究

師：失敗乃成功之母。如果有困難，小組也可以打開老師為你提供的材料袋，看能不能給你們帶來一些靈感。（材料：16等分、32等分的圓，剪刀）

（課堂觀察：小組討論很熱烈，其中有1個小組發(fā)生嚴重爭執(zhí)：生Z提出要用剪刀將圓按等分線剪開，其他同學不同意，提出質疑：“萬一剪壞了怎么辦？”最終只有2個小組剪拼出平行四邊形）

3.組織交流，推導公式

……

【教學思考】教師為學生提供原生態(tài)的探究空間，期望學具能成為撬動學生思維的支點，喚醒學生原有的平面圖形面積公式的推導經(jīng)驗，把轉化的思想、剪拼的方法正向遷移到本課，使操作能得到自然的伸展。但本課的教學現(xiàn)實遠遠低于教師的預期，學生拿到學具遲遲不敢動手剪拼，僅僅是因為缺乏探究的勇氣嗎？

1.讀懂學生的已有經(jīng)驗，直面現(xiàn)實的經(jīng)驗缺失

與以往的平面圖形的轉化不同，學生必須運用極限逼近的數(shù)學思想、割圓為方的數(shù)學方法才能實現(xiàn)對圓的面積轉化。而這些經(jīng)驗對學生來說不僅是空白，更是已有認知世界里的質變性顛覆。學生拿到等分好的圓，卻看不到剪圓能給他的研究帶來些什么，所以學生不敢剪也是正常的。由于極限逼近經(jīng)驗的缺失，僅靠提供的學具難以開啟學生的思維，這是教師所必須直面的教學現(xiàn)實。

2.讀懂學生的幾何直覺，挖掘內隱的思想雛形

無論是在試教還是在學情調查中，都有不少學生想到了在圓內畫正方形來進行轉化。可見，在圓的面積轉化的自主探究中，對學生而言嘗試畫正方形是一個自然而真實的過程。學生為什么想到畫正方形？這個問題一直困擾著筆者，回訪學生他們也回答不出。畫正方形這種幾何直覺所成就的價值，是不是只在于成為學生探究道路上的一次失敗的經(jīng)歷？

在學生以往的數(shù)學學習中，他們所熟悉的平面圖形只有長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形，而在這些圖形之中與圓最接近的就是正方形，學生能想到在圓中畫出正方形，這不正是逼近思想雛形的樸素運用嗎？

3.讀懂學生的操作細節(jié)，提供有效的探究支撐

如何使學生直覺所內隱的數(shù)學思想雛形外顯化，曾是擺在筆者面前的一個教學技術上的難題。在分析學生課堂留下的書面材料時，筆者無意中發(fā)現(xiàn)了圓內的折痕，這讓筆者茅塞頓開——我們往往只關注學生操作的結果即在圓內畫出正方形，而忽視了其背后的思維過程：對折兩次形成了兩條垂直的直徑，再連接圓上的四個點便形成了正方形。

捕捉學生對折的操作細節(jié)并以此為突破口，鼓勵學生沿著“對折畫正方形”這個方向繼續(xù)研究，學生自然生成“不斷對折畫正多邊形”的研究思路，在操作中形成了逼近思想的有效體悟。基于以上三點思考，筆者對教學做了如下改進。

【改進后的教學片段】

1.喚醒已有經(jīng)驗，嘗試面積轉化

師：回憶一下，我們以前是怎樣推導出平面圖形的面積公式的，請你舉例說明。

師：圓是否也能轉化成我們以前學過的圖形呢？請你拿出圓形紙片，自己來試一試。（生操作，師巡視）

師：我們來交流一種很有意思的方法。

生：我把圓轉化成了一個正方形和其他4小塊。

師：他把圓分成了1個正方形和4個小弓形，你覺得他這樣的轉化怎么樣？

生：雖然他把圓轉化成了正方形，但不完全是正方形，因為多出了4個其他的圖形，還是沒有辦法推導出公式，所以我認為他的轉化是沒有意義的。

2.經(jīng)歷操作過程，體悟逼近思想

師：他的這種方法有沒有可取之處呢？（生搖頭）

師：先別忙下結論。再請這位同學來向我們展示一下，他是如何在圓里畫出最大的正方形的。（生邊展示邊講解）

師：剛剛他把圓對折兩次，畫出了一個正方形。我們沿著他的這個研究方向深入下去，繼續(xù)對折后再畫一畫，看會不會有新的發(fā)現(xiàn)。

（在操作中，學生的思維被激活，興奮地舉起了手，迫不及待地要表達）

生1：我們把圓對折了3次，畫出了一個正八邊形，再對折4次畫出一個正十六邊形，發(fā)現(xiàn)畫出來的圖形越來越像圓了。

生2：我們組認為，一直對折到折不動，這個正χ邊形肯定會與圓重合的。

（學生邊匯報，教師邊完善板書，如下圖）

師：正多邊形越來越接近圓了，真是了不起的發(fā)現(xiàn)。（用課件演示，64等份、128等份……給學生帶來了更真實的感知上的震撼）

接下來我們換一個角度（師從上往下指著第二豎列的板書），來看看我們剛才的研究，說不定你又會有不一樣的發(fā)現(xiàn)。

生1：我還發(fā)現(xiàn)，每次不斷地對折，折出來的圖形越來越像三角形。

生2：圓原來還可以轉化為很多個小三角形呀！

師：是啊，圓還可以轉化成若干個近似的小三角形。（出示學具：16等份的圓片）近似的小三角形與原來的圓有怎樣的聯(lián)系呢？

（生交流，師引導小結三角形的底、高與圓的聯(lián)系）

3.進行二次轉化，自主推導公式

師：小組討論，試著推導出圓的面積公式。

方法1：轉化為16個近似的小三角形

（正16邊形）

（這種方法推導過程比較復雜，有一個推理能力較強的小組在教師的共同參與下，推導成功。）

師：如果你覺得有困難，你還可以動手剪一剪、拼一拼，看有沒有新的發(fā)現(xiàn)。

方法2：轉化為近似的平行四邊形

（師引導學生交流平行四邊形底、高與圓的關系后，學生嘗試推導）

方法3：轉化為近似的梯形

（大多數(shù)小組都采用了方法2，有一組采用了方法3但在推導過程中失敗了，教師請學生課后繼續(xù)推導）

改進后的教學案例中，教師善于捕捉課堂細節(jié)，引領學生自主生成圓面積轉化的研究思路。學生在經(jīng)歷直觀操作經(jīng)驗不斷疊加的過程中，形成了正多邊形不斷逼近圓的認識，實現(xiàn)了對極限逼近全新思想境界的原生性頓悟。在此基礎上教師又借助多媒體演示，使學生的頓悟再次得到了真切的驗證，進一步加深了極限逼近思想的體驗，順利經(jīng)歷了接下來的面積二次轉化、公式推導探究的體驗。

一次次的磨課經(jīng)歷使筆者清醒地認識到，如果不能讀懂學生，一切教學理念與教學設計都將成為空中樓閣。回歸數(shù)學教學的原點——讀懂學生，真正用心去解讀學生，才能使“節(jié)外生枝”轉化為珍貴的教學資源，從而促使學生形成自主探究的精神。

（責編 黎雪娟）