數學插值方法在水文地質學中的應用探討

摘 要：數學插值法是一種由已知的離散因變量的值來估計未知的中間插值的方法。這種方法在很多領域都有廣泛的應用，本文主要是論述了幾種常用的數學插值法及其在水文地質學中的應用。

關鍵詞：數學插值法；水文地質；實際應用

數學插值法又被叫做稱內插法，其在水文地質學應用廣泛，尤其是在山區的水文地質檢測中。數學插值法是在水文地質運算中常用的一種函數，是利用函數f（x）在某區間中若干點的函數值，并根據這些數值得出恰當的特定函數，利用這些已知的數值，在區間的其他點上用這特定函數的值作為函數f（x）的近似值的一種方法。數學插值包括：lagrange插值、newton插值、hermite插值、分段多項式插值及樣條插值。

在水文地質學中，為了能夠有效的反映含水層的空間分布以及空間形態特征，需要用到插值法來編制含水層的厚線圖，以及等高線圖等。為了繪制這些圖，就必須涉及數學插值問題。當我們使用數學插值法來評估地下水資源時，我們有必要將所研究的地區進行剖析，將連續變量離散化，從而得出結點上的源頭值。但是，在多數結點的一些參數是未知的，這些未知的參數需要插值法來確定。近些年，隨著水文地質學的需要，在實際的工作中人們仍然大量的使用數學插值法。

1 幾種常見的插值

第一，拉格朗日（Lagrange）插值；已知f（x）的n+1個離散數據對{（xi，yi）}ni=0.求作次數不超過n的多項式y（x），使滿足條件y（xi）=f（xi），i=0，1，…，n.這就是多項式插值問題。當我們用幾何語言來描述這種插值，也就是通過在曲線上給定的n+1個點，來做出一條代數曲線，這條曲線的次數不能超過n。

第二，分段線性插值；所謂分段線性插值是通過相鄰的兩個基點作為線性插值，其主要的優點是可以克服拉格朗日（Lagrange）插值在計算過程中可能出現的數值不收斂性。使用該方法處理數據主要是增加了插值的基點，從而進一步的提高了數據的準確度。但是，通過幾何方法分析，分段插值法存在著基點處不光滑等缺點。盡管分段線性插值的精度可能會差一些，但是在實際中還是有著廣泛的應用，比如在水文地質學的計算中，就因其不會出現不收斂的現象而常常被使用。

第三，三次樣條插值；這種方法最大的特點就是客服了上述兩種方法存在的不足，即基點處的不光滑，以及插值的不收斂性。但是，使用三次樣條插值法必須要滿足下列條件：首先，y（x）在每個子區間上的次數都不能多于3；其次，y（x）、y'（x）以及y\"（x）在插值區間上必須是連續的等。使用三次樣條插值可以降低多項式的次數，從而使得計算的結果具有較高的光滑性。

第四，近點法；該方法是按近點距離加權平均法的簡稱，其主要的優點是計算程序設計步驟簡單，而且計算的速度也相對較快，而且使用該方法得出的等線值圖的光滑性是比較令人滿意的。該方法的缺點就是其唯一性較差，計算結果和選擇點的數量有直接的關系，如果選擇的點數不同，那么得到的數值就會不同。而且該方法的使用范圍也受到一定的限制。

第五，方位法；這種方法的全稱是四方位按距離加權平均法。該方法的優點是計算速度快，但是在計算不均勻的數據時，獲得的插值效果較差。如果用該方法在水文地質中的含水層厚度空白區插值計算，則會出現去全局趨勢不吻合的現象。分析其原因，主要是因為方位法獲得插值是由一個插值點上的四個數據點來決定的，當出現的數據分布較為稀疏的時候，這種方法則不能包含所有的信息。所以，在實際的應用中要根據具體的情況來決定是否使用該方法。

第六，雙三次多項式曲面片擬合法（曲面法）；該方法適用于按規律分布的數據，在這種條件下，該方法可以發揮其擬合度高的優點。而且我們可以利用相鄰結點的導數值，將整個區域組合成一個連續的大曲面。但是，不足的是該方法只能用于規則的數據，這使其使用價值顯著降低。而且其程序設計也相對復雜。

第七，加權二乘法；雖然該方法需要考慮的因素較多，但是使用該方法所得到的圖形可以較好的反應一定的變化趨勢，而且圖形的平滑性相對較好，也有較好的唯一性。但是，由于計算每一個插值都需要解一個一次方程組，所以影響了計算速度。

2 在水文地質學中使用數學插值法應該注意的問題以及改進方法

首先，有效的處理好方位因素的影響；對插值方法影響較大的是出現數據分布不均勻的時候。當數據分布不均勻時，對加權二乘法的影響最為顯著，主要是因為當數據點的選擇不當，會使去面片發生異位。對于該問題，筆者認為可以采取以下兩種措施來盡可能的避免誤差的出現：第一，用方向性對數據分析結果進行補償；第二，以插值點為中心，進行角限選值，主要是將平面分成n等分，然后在每一個角限域內選擇合適的數據進行計算。

其次，科學的選擇權函數；主要是針對近點法以及加權二乘法。所以，筆者認為根據不同條件下水文地質學計算的要求，我們選擇不同的權函數。

第三，斷層問題的處理；在水文地質學中經常會遇到斷層問題的計算。但是，從實際的經驗看來，如果使用斷層兩側的數據來計算插值是不符合邏輯的。筆者認為，在遇到斷層需要計算時，可以在程序的設計中將斷層假定為簡單的直線或是曲線f（x）。這樣在計算時，可以將斷層分成幾段不連續的曲面，在計算的過程中就可以對其進行有效的控制。但是，如果用將斷層用直線表示，則可以用：f（x，y）=y-（b+bx）。

第四，數據點的選擇；當需要處理的數據很多的時候，選擇有效的數據點數成為計算效率和準確率的關鍵。如果選擇的點過多，則會導致計算量加大，相反，如果選的點不夠則會影響數據的準確度。通過實踐，我們發現，在距離Z點近的數據點對數據的影響是最大的，而較遠的點影響相對較小，所以，選擇近點的4到8個數據進行計算就可以達到一定的精準度。

3 結束語

水文地質學在實際的應用中，對我國經濟發展，以及國土規劃和整治以及城市的現代化建設，環境的保護等，都發揮著重要的作用。而數學插值法在水文地質學中發揮著重要的作用，對于水文地質學的快速進步起著促進作用。在水文地質學中，應用的幾種常見的數學插值法，在實際的應用中，都必須考慮到實際的環境，對其應用應該做到具體情況具體分析，這樣才能提高計算的效率和準確度。與此同時，當前用的數學插值法還存在著不足，還需要進一步的努力來逐漸的完善，并能夠結合計算機技術使其計算的速度和準確度有更大的提高。

參考文獻

[1]李慶揚，王能超，易大義.數值分析[M].武漢：華中科技大學出版社，1982.

[2]陳公寧，沈嘉驥.計算方法[M].北京：高等教育出版社，2002.

[3]吳才斌.插值方法[J].湖北大學成人教育學院學報，1999，（5）.

[4]姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2005.

[5]姜琴，周天宏.常見的插值法及其應用[J].鄖陽師范高等專科學校學報，2006，（03）.