概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中反例教學(xué)的例證研究

[摘 要]對概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的反例教學(xué)進行了例證研究， 詳細探討了反例教學(xué)在《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程學(xué)習(xí)中的重要作用。

[關(guān)鍵詞]反例 概率統(tǒng)計

[中圖分類號] O211.1 [文獻標(biāo)識碼] C [文章編號] 2095-3437（2013）04-0084-02

概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程是高等學(xué)校數(shù)學(xué)專業(yè)和理工科專業(yè)的一門專業(yè)必修課，它有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、邏輯思維能力以及運算能力，然而這門課程有些內(nèi)容比較抽象， 其邏輯性相當(dāng)嚴密，是多數(shù)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)比較難的課程之一。因此，如何幫助學(xué)生很好地掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程的基本概念、性質(zhì)以及定理是教學(xué)的重要環(huán)節(jié)， 在實際教學(xué)過程中恰當(dāng)?shù)倪\用反例教學(xué)是解決這一問題比較有效的途徑之一，它能糾正學(xué)生的錯覺，加深學(xué)生對正確命題和概念的理解。統(tǒng)觀目前概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程教材，絕大多數(shù)都是以正面陳述為主體，本文擬從實際教學(xué)活動中如何運用反例教學(xué)進行例證研究。

一、 反例有助于學(xué)生對基本概念的理解

概率論課程由于其概念眾多，并且有些概念不容易理解，造成學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中很難準(zhǔn)確地理解且掌握這些概念。但是對基本概念的正確理解是進一步思維的基礎(chǔ)， 因此教師需要講清楚概念的條件， 把握概念的實質(zhì)，這將有助于學(xué)生理解此概念所產(chǎn)生的性質(zhì)、命題、定理等。例如在講解隨機變量及其分布函數(shù)的概念時，我們知道兩個隨機變量的概率分布相同的充分必要條件是它們有相同的分布函數(shù)。由分布函數(shù)的概念知道：定義在給定的概率空間上的一個隨機變量可以唯一確定一個分布函數(shù)。這時可以引導(dǎo)學(xué)生思考：一個分布函數(shù)是否可以唯一確定一個隨機變量呢？即在一個給定的概率空間上是否存在兩個不同的隨機變量，它們有相同的分布函數(shù)？為了解釋上述問題，可以舉例如下：

例 1 設(shè)隨機變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，隨機變量Y=X，那么Y與X是定義在同一個概率空間上的兩個不同的隨機變量，并且Y與X有相同的分布函數(shù)。

事實上，如果Y與X是定義在同一個概率空間上的兩個相同的隨機變量，那么P（=Y=）=1。然而由于隨機變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以P（=Y=）=P（X=-X）=P（X=0）=0，這產(chǎn)生了矛盾。因此，X與Y是定義在同一個概率空間上的兩個不同的隨機變量。

其次，由于X的概率密度函數(shù)為

所以，Y=-X的概率密度函數(shù)為

因此，X與Y有相同的分布函數(shù)。

二、 反例有助于學(xué)生在一定程度上防止對知識的負遷移

知識的遷移是一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)的影響。在學(xué)習(xí)活動過程中，對任何新知識的學(xué)習(xí)都是學(xué)習(xí)者對自身已經(jīng)擁有的知識經(jīng)驗和認知結(jié)構(gòu)等基礎(chǔ)上進行的。這種原有的知識結(jié)構(gòu)對新知識學(xué)習(xí)的影響就形成了知識的遷移。教學(xué)成功的一個重要環(huán)節(jié)就是充分利用知識的遷移規(guī)律，實現(xiàn)知識的有效遷移。但是在實際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)由于學(xué)生不能準(zhǔn)確地掌握概念和原理，只注意知識的共同要素，忽視了他們之間的差異，因而造成了知識的負遷移。例如一維連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為F（x），密度函數(shù)為f（x），那么在f（x）的連續(xù)點x0處，有F′（x0）=f（x0）。那么學(xué)習(xí)二維隨機變量時， 學(xué)生比較容易產(chǎn)生不正確的知識遷移， 認為對二維連續(xù)型隨機變量情形，相應(yīng)的結(jié)論也成立，即設(shè)隨機變量事實上，當(dāng)x≤0或y≤0時，F(xiàn) （x，y）=0； 當(dāng)0

三、 反例有助于誘導(dǎo)學(xué)生的創(chuàng)造力，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴密性

一般來說，構(gòu)造反例是學(xué)生理解知識要點，辨析錯誤，進而培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造力和思維能力的有力工具。然而構(gòu)造反例和提出證明不同，它沒有清晰可循的邏輯途徑，它是一項比較積極的，創(chuàng)造性的思維活動過程，是一個探索發(fā)現(xiàn)的過程。在教學(xué)過程中如果能夠合理的使用反例，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造反例，這將有利于培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴密性，有效地提高教學(xué)效果。

定理 1 設(shè)T（X）是θ的充分統(tǒng)計量v=g（t）（或充分完全統(tǒng)計量），是單值可逆函數(shù)，則v=g（T）（是θ的充分統(tǒng)計量（或充分完全統(tǒng)計量）。

在教學(xué)中可以誘導(dǎo)學(xué)生思考是否任一充分統(tǒng)計量（或充分完全統(tǒng)計量）的函數(shù)也是充分統(tǒng)計量（或充分完全統(tǒng)計量）？可以舉反例如下。

例4 設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N（μ，σ2），σ2已知。X=（X1，X，…，Xn）是來自X的獨立同分布樣本，則X是μ的充分統(tǒng)計量且為充分完全統(tǒng)計量，但是X2不是μ的充分統(tǒng)計量，因而X2不是μ的充分完全統(tǒng)計量。

與μ有關(guān)，所以X2不是μ的充分統(tǒng)計量，因而X2不是μ的充分完全統(tǒng)計量。

由于估計量作為樣本的函數(shù)是一個隨機變量，所以對不同的樣本觀察值，相應(yīng)的估計量也可能不同。因此考察一個估計量的好壞就不能僅憑一次觀察結(jié)果，而要從多次觀察中統(tǒng)計量的取值分布情況來看，即由統(tǒng)計規(guī)律來判斷，由此需要介紹無偏估計量。

定義1 設(shè)θ=θ（X1，…，Xn）是未知參數(shù)θ∈Ξ的估計量，如果對一切θ∈Ξ，Eθ（X1，…，Xn）=θ，則稱θ是θ的一個無偏估計量。

此時可以反問：任何一個參數(shù)的無偏估計量一定存在嗎？由矩法或最大似然估計法建立的估計量一定是無偏的嗎？可以舉例如下。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 陳俊雅，王秀英. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計中的反例[M]. 天津：天津科學(xué)技術(shù)出版社，1992.

[2] 張尚志 劉錦萼. 概率統(tǒng)計中的反例[M]. 湖南： 湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1988.

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