分類討論中構建縝密思維

分類討論是一種邏輯方法，更是一種數學思想，當我們面臨的數學問題不能以一種形式解決時，可以把已知條件的范圍劃分為若干個子集，在各個子集內分別討論問題的解，然后通過各類解而得到原問題的解答，這就是分類討論思想．分類討論思想中的關鍵詞就是不相容性和縝密思維．歷年高考中，分類討論思想的地位十分重要，年年考，既是難點又是熱點，幾乎覆蓋所有內容．下面選取不相容性和縝密思維兩個角度舉幾個函數系列的例子加以剖析，與同學們分享．

１． 不相容性．

分類討論思想最初出現在絕對值的定義中，也是分段函數的簡單形式．因此由概念、性質、定理、公式引起的分類討論是很常見的．此外，根據參數的不同取值引起的分類討論以及由圖形、參數的實際意義引起的分類討論也是我們重點關注的情況．根據已知條件的范圍劃分為若干個子集，各個子集之間是不相容的這也是考生容易出錯的地方．

例１．已知函數ｙ＝ ｆ（ｘ）的圖像是折線段ＡＢＣ，其中 Ａ（０，０）、Ｂ（，５） 、Ｃ（１，０） ，函數 ｙ＝ ｘｆ（ｘ） （０≤ｘ≤１）的圖像與ｘ軸圍成的圖形的面積為 ．

【解析】答案：．當０≤ｘ≤，線段ＡＢ的方程為ｙ＝ １０ｘ ，當＜ｘ≤１時，線段ＢＣ方程為＝，整理得ｙ＝ －１０ｘ＋１０，即函數ｙ＝ ｆ（ｘ）＝

１０ｘ，０≤ｘ≤

－１０ｘ＋１０，

＜ｘ≤１所以ｙ＝ ｘｆ（ｘ）＝

１０ｘ２，０≤ｘ≤

－１０ｘ２＋１０ｘ，

＜ｘ≤１函數與ｘ軸圍成的圖形面積為：１０ｘ２ｄｘ＋＝（ －１０ｘ２＋１０ｘ）ｄｘ＝ｘ３ [０][]＋（－ｘ３＋５ｘ２） [１][]＝．

【點評】本題以分段函數為背景，考查函數圖像、性質、定積分等知識體現分類討論思想和數形結合思想，關鍵點是把０≤ｘ≤１分為０≤ｘ≤和＜ｘ≤１兩個交集為空集的子集，體現了不相容性，定積分運算若分類的各子集間有交叉，很可能改變試題的結果．

例２．某企業接到生產３０００臺某產品的Ａ，Ｂ，Ｃ三種部件的訂單，每臺產品需要這三種部件的數量分別為２，２，１（單位：件）．已知每個工人每天可生產Ａ部件 ６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件．該企業計劃安排 ２００名工人分成三組分別生產這三種部件，生產Ｂ部件的人數與生產Ａ部件的人數成正比，比例系數為ｋ（ ｋ為正整數）．

⑴設生產Ａ部件的人數為ｘ，分別寫出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三種部件生產需要的時間；

⑵假設這三種部件的生產同時開工，試確定正整數ｋ的值，使完成訂單任務的時間最短，并給出時間最短時具體的人數分組方案．

【解析】 ⑴設完成Ａ，Ｂ，Ｃ三種部件的生產任務需要的時間（單位：天）分別為Ｔ１（ｘ），Ｔ２（ｘ），Ｔ３（ｘ），由題設有：

Ｔ１（ｘ）＝＝，Ｔ２（ｘ）＝，Ｔ３（ｘ）＝，

其中ｘ，ｋｘ，２００－（１＋ｋ）ｘ均為１到２００之間的正整數．

⑵完成訂單任務的時間為ｆ（ｘ）＝ ｍａｘ｛Ｔ１（ｘ），Ｔ２（ｘ），Ｔ３（ｘ）｝，其定義域為｛ｘ｜０＜ｘ＜，ｘ∈Ｎ?｝．易知，Ｔ１（ｘ），Ｔ２（ｘ）為減函數，Ｔ３（ｘ）為增函數．注意到Ｔ２（ｘ）＝Ｔ１（ｘ），于是１）當ｋ＝２時， Ｔ１（ｘ）＝Ｔ２（ｘ），此時，

ｆ（ｘ）＝ ｍａｘ｛Ｔ１（ｘ），Ｔ３（ｘ）｝＝ ｍａｘ｛，｝．

由函數Ｔ１（ｘ），Ｔ３（ｘ）的單調性知，當＝時ｆ（ｘ）取得最小值，解得ｘ＝．由于４４＜＜４５，而ｆ（４４）＝Ｔ１（４４）＝， ｆ（４５）＝Ｔ３（４５）＝， ｆ（４４）＜

ｆ（４５）．

故當ｘ＝４４ 時完成訂單任務的時間最短，且最短時間為ｆ（４４）＝．

２）當ｋ＞２時，Ｔ１（ｘ）＞Ｔ２（ｘ），由于ｋ為正整數，故ｋ≥３，此時，

Ｔ（ｘ）＝ ，φ（ｘ）＝ｍａｘ｛Ｔ１（ｘ），Ｔ（ｘ）｝易知Ｔ（ｘ）為增函數，則ｆ（ｘ）＝ ｍａｘ｛Ｔ１（ｘ），Ｔ３（ｘ）｝≥ｍａｘ｛Ｔ１（ｘ），Ｔ（ｘ）｝＝φ（ｘ）＝ ｍａｘ｛，｝．

由函數Ｔ１（ｘ），Ｔ（ｘ）的單調性知，當＝時φ（ｘ）取得最小值，解得ｘ＝．由于３６＜＜３７，而φ（３６）＝Ｔ１（３６）＝＞，φ（３７）＝Ｔ（３７）＝＞，此時完成訂單任務的最短時間大于．

３）當ｋ＜２時，Ｔ１（ｘ）＜Ｔ２（ｘ）由于ｋ為正整數，故ｋ＝１，此時ｆ（ｘ）＝ ｍａｘ｛Ｔ２（ｘ），Ｔ３（ｘ）｝＝ ｍａｘ｛，｝．由函數Ｔ２（ｘ），Ｔ３（ｘ）的單調性知：

當＝時ｆ（ｘ）取得最小值，解得．類似（１）的討論．此時

完成訂單任務的最短時間為，大于．

綜上所述，當ｋ＝２時完成訂單任務的時間最短，此時生產Ａ，Ｂ，Ｃ三種部件的人數分別為４４，８８，６８．

【點評】本題為函數的應用題，考查分段函數、函數單調性、最值等，考查運算能力及用數學知識分析解決實際應用問題的能力．第一問建立函數模型；第二問利用單調性與最值來解決，體現了分類討論思想，第（２）小題根據ｋ的不同取值分類討論深刻體現了三個子集間的不相容性．

２． 縝密思維．

分類討論思想的難點在于縝密思維，為什么考生做了很多分類討論的試題還是討論不清楚呢？最關鍵的一點事思維不夠縝密．審題就是審清條件和結論，使它們之間的關系在頭腦中形成一個完整的印象，這就是思維的縝密性．否則就踩不到點上，特別是雙重討論的問題多數同學沒這個耐心，往往看似很簡單的問題，近在咫尺卻遠在天涯，歷年高考經常出現這樣的例子．下面舉兩個典型例子剖析．

例３．解關于ｘ的不等式：（ａｘ－１）（ｘ－２）＜０ ．

【解析】本題是一道起點很低的解不等式的問題，考查考生不等式的基本功，體現分類討論思想．

１°． 當 ａ＝０時，原不等式化為－（ｘ－２）＜０，即ｘ－２＞０，解集為（２，＋∞）．

２°． 當 ａ＜０時，原不等式化為ｘ

－（ｘ－２）＞０，因為＜２，所以解集為－∞

，∪（２，＋∞） ．

３°． 當 ａ＞０時，原不等式化為ｘ

－（ｘ－２）＜０，這時由于和２的大小不確定，所以還需對ａ進行進一步的討論，當０＜ａ＜時，＞２，所以解集為２

， ．當ａ＝時，＝２， （ｘ－２）２＜０所以解集為?．當ａ＞時，＜２ ，所以解集為

，２．

綜上可知：當ａ＜０時解集為－∞

，∪（２，＋∞） ．當ａ＝０時解集為（２，＋∞）．當０＜ａ＜時解集為２

，．當ａ＝時解集為?．當ａ＞時解集為

，２．

【點評】本題的探究極具現實意義，本來定位是一道容易題，結果從分數體現出來是一道中等偏難的題，考查考生運算能力及用數學知識分析解決問題的能力，體現分類討論思想，雙重討論揭示了思維的縝密性．

例４．設ａ＜１，集合Ａ＝｛ｘ∈Ｒ｜ｘ＞０｝， Ｂ＝｛ｘ∈Ｒ｜２ｘ２－３（１＋ａ）ｘ＋６ａ＞０｝，Ｄ＝Ａ∩Ｂ ．

（１）求集合Ｄ（用區間表示）；

（２）求函數ｆ（ｘ）＝２ｘ３－３（１＋ａ）ｘ２＋６ａｘ在Ｄ內的極值點．

【解析】本題是一個綜合性問題，考查集合、函數、導數、不等式等相關知識，考查學生綜合解決問題的能力，難度較大．（１）記ｈ（ｘ）＝２ｘ２－３（１＋ａ）ｘ＋６ａ（ａ＜１），△＝９（１＋ａ）２－４×２×６ａ＝９ａ２－３０ａ＋９．

１°． 當△＜０，即＜ａ＜１時，Ｄ＝Ａ∩Ｂ＝Ａ＝（０，＋∞）．

２°． 當△≥０即ａ≤ （因為ａ＜１）時，ｈ（ｘ）＝２ｘ２－３（１＋ａ）ｘ＋６ａ（ａ＜１）有零點，

，若＞０，即０＜ａ≤時，Ｂ＝－∞，

∪

，＋∞，而Ａ＝｛ｘ∈Ｒ｜ｘ＞０｝， 所以Ｄ＝Ａ∩Ｂ＝０，

∪（，

＋∞）．

３°． 同理ａ≤０時，＞０，而＜０，Ｄ＝Ａ∩Ｂ＝（， ＋∞）．

（２）因為ｆ（ｘ）＝２ｘ３－３（１＋ａ）ｘ２＋６ａｘ，所以：

ｆ′（ｘ）＝６ｘ２－６（１＋ａ）ｘ＋６ａ（ａ＜１）＝６（ｘ－１）（ｘ－ａ）， ｆ′（ｘ）＝０ 時ｘ＝１，ａ． 由（１）知：

１°． 當＜ａ＜１時， Ｄ＝（０，＋∞）， ｆ（ｘ）在Ｄ內有一個極大值點ａ，一個極小值點１．

２°． 當０＜ａ≤時，ｈ（１）＝２×１２－３（１＋ａ）×１＋６ａ＝３ａ－１≤０，ｈ（ａ）＝２ａ２－３（１＋ａ）ａ＋６ａ＝３ａ－ａ２＞０，而這時，

Ｄ＝０，

∪

，＋∞． 所以１?Ｄ，ａ∈Ｄ， ｆ（ｘ）在Ｄ內有一個極大值點ａ．

３°． 當ａ≤０時， Ｄ＝

，＋∞ ．顯然 ａ?Ｄ， 又 ｈ（１）＝２×１２－３（１＋ａ）×１＋６ａ＝３ａ－１＜０， 所以 ｆ（ｘ）在Ｄ內無極值點．

【點評】本題是２０１２年高考廣東卷理科壓軸題，考查考生運算能力及用數學知識分析解決問題的能力，體現分類討論思想，全省平均分不足２分，主要原因是敘述比較抽象，需要考生有極強的函數基本功和縝密思維能力．

３．備考策略．

分類討論思想歷年高考都是主要失分點，屢做屢錯已不足為奇．建議考生注重理解的深刻度，題不在多，適量就行．題不在難，典型就行．能否真正掌握是關鍵，為了幫助大家對分類討論思想的復習，下面精選一組典型練習供大家參考：

（１）已知二次函數ｆ（ｘ）＝ａｘ２＋２ａｘ＋１在區間［－３，２］上的最大值為４，則ａ等于（ ）

Ａ． －３ Ｂ． － Ｃ． ３ Ｄ． 或－３

（２）記實數ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ中的最大數為ｍａｘ｛ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ｝ ，最小數為ｍｉｎ｛ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ｝． 已知ＡＢＣ的三邊長為ａ，ｂ，ｃ（ａ≤ｂ≤ｃ），定義它的傾斜度為ｌ＝ｍａｘ｛，，｝．ｍｉｎ｛，，｝，則“ｌ＝１”是“△ＡＢＣ為等邊三角形”的（ ）

Ａ．必要而不充分的條件 Ｂ．充分而不必要的條件

Ｃ．充要條件 Ｄ．既不充分也不必要條件

（３）對任意兩實數ａ，ｂ定義運算“?”如下，ａ?ｂ＝ａ，ａ≤ｂ

ｂ，ａ＞ｂ則函數 ｆ（ｘ）＝[ｌｏｇ]（３ｘ－２）?ｌｏｇ２ ｘ的值域為

（ ）

Ａ．（－∞，０］ Ｂ．［ｌｏｇ２，０］ Ｃ．［ｌｏｇ２，＋∞） Ｄ． Ｒ

（４）若函數ｆ（ｘ）＝（ａ－１）ｘ３＋ａｘ２－ｘ＋在其定義域內有極值點，則ａ的取值為 ．

（５）若函數ｆ（ｘ）＝ａｘ（ａ＞０，ａ≠１）在［－１，２］上的最大值為４，最小值為ｍ，且函數ｇ（ｘ）＝（１－４ｍ）在［０，＋∞）上是增函數，則ａ＝ ．

（６）解不等式＞０（ａ為常數，ａ≠－）．

（７）求函數ｆ（ｘ）＝ｘ２＋ａ１ｎ（ｘ＋１）的單調區間．

答案與提示：

（１）【答案】Ｄ． 解析：當ａ＜０時，在ｘ∈［－３，２］上，當ｘ＝－１時取得最大值，得ａ＝－３；

當ａ＞０時，在ｘ∈［－３，２］上，當ｘ＝２時取得最大值，得ａ＝．

（２）【答案】Ａ． 解析：若△ＡＢＣ為等邊三角形時，即ａ＝ｂ＝ｃ，則ｍａｘ｛，，｝＝１＝ｍｉｎ｛，，｝，則ｌ＝１；若△ＡＢＣ為等腰三角形，如ａ＝２，ｂ＝２，ｃ＝３時，則ｍａｘ｛，，｝＝，ｍｉｎ｛，，｝＝，此時ｌ＝１仍成立但△ＡＢＣ不為等邊三角形，所以Ａ正確．

（３）【答案】Ａ． 解析：根據題目給出的情境，得 ｆ（ｘ）＝[ｌｏｇ]（３ｘ－２）?ｌｏｇ２ ｘ＝ｌｏｇ２

?ｌｏｇ２ ｘ ＝

ｌｏｇ２

，ｘ≥１

ｌｏｇ２ ｘ，０＜ｘ＜１由于ｙ＝ｌｏｇ２ ｘ在定義域上為單調增函數，可得 ｆ（ｘ）的值域為（－∞，０］．

（４）解析： 即ｆ′（ｘ）＝（ａ－１）ｘ２＋ａｘ－有零點，

①當ａ－１＝０時，滿足題意；②當ａ－１≠０時，只需 Δ＝ａ２＋（ａ－１）＞０，解得ａ＜或ａ＞．綜上所述，ａ的取值范圍是ａ＜或ａ＞．

（５）【答案】．解析：當ａ＞１時，有ａ２＝４，ａ－１＝ｍ，此時ａ＝２，ｍ＝，此時ｇ（ｘ）＝－為減函數，不合題意．若０＜ａ＜１，則ａ－１＝４，ａ２＝ｍ，故ａ＝，ｍ＝，經檢驗知符合題意．

（６）分析：含參數的不等式，參數ａ決定了２ａ＋１的符號和兩根－４ａ、６ａ的大小，故對參數ａ分四種情況ａ＞０、ａ＝０、－＜ａ＜０ 、ａ＜－ 分別加以討論．

解析： ２ａ＋１＞０時，ａ＞－； －４ａ＜６ａ時，ａ＞０，所以分以下四種情況討論：

當ａ＞０時，（ｘ＋４ａ）（ｘ－６ａ）＞０，原不等式解集為（－∞，－４ａ）∪（６ａ，＋∞）；

當ａ＝０時，ｘ２＞０，原不等式解集為（－∞，０）∪（０，＋∞）；

當－＜ａ＜０時，（ｘ＋４ａ）（ｘ－６ａ）＞０，原不等式解集為（－∞，６ａ）∪（－４ａ，＋∞）；

當ａ＜－時，（ｘ＋４ａ）（ｘ－６ａ）＜０，原不等式解集為（６ａ，－４ａ）．

綜上所述，當ａ＞０時，解集為（－∞，－４ａ）∪（６ａ，＋∞）；當ａ＝０時，解集為（－∞，０）∪（０，＋∞）；當－＜ａ＜０時，解集為（－∞，６ａ）∪（－４ａ，＋∞）；當ａ＜－時，解集為（６ａ，－４ａ）．

【點評】本題的關鍵是確定對參數ａ分四種情況進行討論，做到不重不漏．一般地，遇到題目中含有參數的問題，常常結合參數的意義及對結果的影響而進行分類討論，此種題型為含參型．

（７）解析：函數ｆ（ｘ）的定義域為（－１，＋∞） ，ｆ′（ｘ）＝２ｘ＋＝（ｘ＞－１）．

令ｇ（ｘ）＝２ｘ２＋２ｘ＋ａ，則Δ＝４－８ａ．①當Δ＜０，即ａ＞時，ｇ（ｘ）＞０，從而ｆ′（ｘ）＞０，故函數ｆ（ｘ）在（－１，＋∞）上單調遞增；②當Δ＝０，即ａ＝時，ｇ（ｘ）≥０， 此時ｆ′（ｘ）≥０，此時ｆ′（ｘ）在ｆ′（ｘ）＝０的左右兩側不變號， 故函數 ｆ（ｘ）在（－１，＋∞）上單調遞增； ③當Δ＞０，即ａ＜時，ｇ（ｘ）＝０的兩個根為ｘ１＝，ｘ２＝＞－，當≥１，即 ａ≤０時，ｘ１≤－１，當０＜ａ＜時，ｘ１≥－１．

故當ａ≤０時，函數ｆ（ｘ）在（－１，）單調遞減，在（，＋∞）單調遞增；當０＜ａ＜時，函數ｆ（ｘ）在（－１，），（，＋∞）單調遞增，在（，）單調遞減．

（作者單位：南雄市第一中學）

責任編校 徐國堅