合情推理與演繹推理綜合題型剖析

合情推理、演繹推理為新教材中的新知識點，幾乎涉及數(shù)學(xué)的方方面面的知識，代表研究性命題的發(fā)展趨勢，選擇題、填空題、解答題在新的高考中都會涉及和滲透，應(yīng)有足夠的重視，該部分命題的方向主要會在函數(shù)、三角、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等方面．在選擇題、填空題中注意靈活掌握．明確合情推理的一般步驟．掌握演繹推理的基本模式．

１． 數(shù)列中常常使用的“觀察－歸納－猜想”的推理方式．

例１． 已知數(shù)列｛ａｎ｝滿足ａ１＝２，ａｎ＋１＝１－ ，則ａ２０１３＝（ ）

Ａ． ２ Ｂ． － Ｃ． － Ｄ． －１

分析：要由數(shù)列的遞推關(guān)系，看出一般性規(guī)律，猜想ａ２０１３．

解析：∵ａｎ＋１＝１－， ∴ａｎ＋２＝１－＝－， 從而ａｎ＋３＝１－＝１＋ａｎ－１＝ａｎ，即數(shù)列｛ａｎ｝是以３為周期的周期數(shù)列．又ａ１＝２，ａ２＝１－＝，ａ３＝－１，

所以ａｎ＝２，ｎ＝３ｋ＋１

，ｎ＝３ｋ＋２（ｋ∈Ｎ），所以ａ２０１３＝ａ６０７×３＋３＝ａ３＝－１．

－１，ｎ＝３ｋ＋３

答案選Ｄ．

點評：（１）如果數(shù)列｛ａｎ｝滿足：存在正整數(shù)Ｍ、Ｔ，使得對一切大于Ｍ的自然數(shù)ｎ，都有ａｎ＋Ｔ＝ａｎ成立，則數(shù)列列｛ａｎ｝為周期數(shù)列．

（２）高考要求對數(shù)列要理解數(shù)列通項公式的意義，會由遞推公式寫出數(shù)列的前ｎ項，是歸納推理的典型例題．歸納推理是一種思維過程：觀察－概括－猜想，既要有較強的歸納猜想能力，也要掌握一些常見規(guī)律．

例２． 設(shè)函數(shù)f（x）＝（x＞０），觀察：f１（x）＝f（x）＝，f２（x）＝＝f（f１（x））＝，f３（x）＝f（f２（x））＝，f４（x）＝f（f３（x））＝，…

根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：當(dāng)ｎ∈Ｎ?且 ｎ≥２時，fｎ（x）＝f（fｎ－１（x））＝ ．

分析：依題意， 先求函數(shù)結(jié)果的分母中ｘ項系數(shù)所組成數(shù)列的通項公式， 由１，３，７，１５， …， 可推知該數(shù)列的通項公式為ａｎ＝２ｎ－１．又函數(shù)結(jié)果的分母中常數(shù)項依次為２，４，８，１６， …， 故其通項公式為ｂｎ＝２ｎ，所以當(dāng)ｎ≥２時，ｆｎ（ｘ）＝ｆ（ｆｎ－１（ｘ））＝．

點評：本題實質(zhì)是根據(jù)前幾項， 歸納猜想一般規(guī)律， 歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理， 由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確， 通常歸納的個體數(shù)目越多， 越具有代表性， 那么推廣的一般性命題也會越可靠， 它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法．

２． 函數(shù)題型中不可缺少的“化歸與推理”的推理題型．

例３． 設(shè)函數(shù)f（x）在（－∞，＋∞）上滿足f（２－x）＝f（２＋x），f（７－x）＝f（７＋x），且在閉區(qū)間［０，７］上只有f（１）＝f（３）＝０．

（１）試判斷f（x）的奇偶性；

（２）試求f（x）＝０在閉區(qū)間［－２００５，２００５］上的根的個數(shù)，并注明你的結(jié)論．

分析：（１）判斷f（x）的奇偶性，主要以定義為依據(jù)．函數(shù)圖像有兩條對稱軸，則為周期函數(shù)．

（２）在閉區(qū)間［－２００５，２００５］上的根的個數(shù)，只能通過具體的區(qū)間—一個周期上的結(jié)論去推理．

解析：（１）由f（２－x）＝f（２＋x），得f（x）＝f（４－x）．

由f（７－x）＝f（７＋x），得f（x）＝f（１４－x），

∴f（４－x）＝f（１４－x），得f（１０＋x）＝f（x），∴f（x）周期為１０．

在閉區(qū)間［０，７］上只有f（１）＝f（３）＝０，∴f（－３）＝f（７）≠０，

∴f（x）既不滿足f（－x）＝f（x），也不滿足f（－x）＝－f（x），是非奇非偶函數(shù)．

（２）在閉區(qū)間［０，１０］上只有f（１）＝f（３）＝０，在閉區(qū)間［－１０，０］上只有f（－９）＝f（－７）＝０，∴f（x）在［０，１０］上有兩個根，在［０，２００５］有４０２個根，在［－１０，０］上有兩個根，在［－２００５，０］有４００個根，在閉區(qū)間［－２００５，２００５］上有８０２個根．

點評：（１）奇偶性的判斷與使用，主要都以定義為依據(jù)，但注意判斷函數(shù)ｆ（ｘ）具有奇偶性的時候，要滿足定義，而否定奇偶性的時候，只要舉出一個反例即可否定．

（２）分析與綜合，化歸與推理，共同揭示了數(shù)學(xué)問題中的條件與結(jié)論的關(guān)系．

例４． 已知函數(shù)ｆ（ｘ）＝－（ａ＞０且ａ≠１） ，

（１）證明：函數(shù)ｙ＝ｆ（ｘ）的圖像關(guān)于點（， －）對稱；

（２）求ｆ（－２）＋ｆ（－１）＋ｆ（０）＋ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）的值．

分析：演繹推理是由一般到特殊的證明， 它常用來證明和推理數(shù)學(xué)問題， 此題要注意推理過程的嚴(yán)密性， 書寫格式的規(guī)范性．

解析：（１）證明：函數(shù)ｆ（ｘ）的定義域為全體實數(shù)， 任取一點（ｘ， ｙ）， 它關(guān)于點（， －）對稱的點的坐標(biāo)為（１－ｘ， －１－ｙ）．

由已知得ｙ＝－－， 則－１－ｙ＝－１＋＝－ ，

ｆ（１－ｘ）＝－＝－＝－＝－， ∴－１－ｙ＝ｆ（１－ｘ）．

即函數(shù)ｙ＝ｆ（ｘ）的圖像關(guān)于點（， －）對稱．

（２）由（１）有－１－ｆ（ｘ）＝ｆ（１－ｘ）， 即ｆ（ｘ）＋ｆ（１－ｘ）＝－１．

∴ｆ（－２）＋ｆ（３）＝－１， ｆ（－１）＋ｆ（２）＝－１， ｆ（０）＋ｆ（１）＝－１．

則ｆ（－２）＋ｆ（－１）＋ｆ（０）＋ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＝－３．

點評：數(shù)學(xué)證明主要是通過演繹推理來進行的，一個復(fù)雜數(shù)學(xué)命題的推理往往是由多個“三段論”構(gòu)成， 可用符號表示為“若ｂ□ｃ， ａ□ｂ， 則ａ□ｃ”， 這種推理規(guī)則叫做三段論推理． 在演繹推理中， 只要前提（大前提、小前提）和推理形式是正確的， 結(jié)論必然是正確的， 否則所得的結(jié)論是錯誤的．

３． 幾何題型中常常見證“演繹推理的一個重要形式－三段論”．

例５． 已知梯形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＤＣ＝ＡＤ，ＡＣ和ＢＤ是它的對角線．

求證：ＡＣ平分∠ＢＣＤ，ＢＤ平分∠ＣＢＡ．

分析：本題的證明并不難，重在強調(diào)演繹推理的一個重要形式－三段論．這里有平行關(guān)系，想到內(nèi)錯角相等；有等腰三角形，想到底角相等；由等量代換，不難推證．

解析：（１）兩平行線與第三直線相交，內(nèi)錯角相等 （大前提）

（２）等腰三角形兩底角相等 （大前提）

（３）等于同一個量的兩個量相等 （大前提）

（４）同理，ＢＤ平分∠ＣＢＡ．

點評：演繹推理是由一般性的命題推演出特殊性命題的推理方法．三段論式的推理是演繹推理的主要形式．雖然常常省略大前提或小前提，但演繹推理是按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理證明方法．

４． 函數(shù)與數(shù)列問題中常出類比題．

例６．（１）設(shè)函數(shù)ｆ （ｘ）＝，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前ｎ項和公式的方法，可求得ｆ（－２０１２）＋ｆ（－２０１１）＋ｆ（－２０１０）＋…＋ｆ（２０１１）＋…＋ｆ（２０１２）＋ｆ（２０１３）的值為 ．

（２）已知函數(shù)ｆ（ｘ）＝，那么ｆ（１）＋ｆ（２）＋ｆ（３）＋ｆ（４）＋…＋ｆ（２０１３）＋ｆ（）＋…＋ｆ（）＋ｆ（）＋ｆ（）的值為 ．

分析：兩小題都是求和（求函數(shù)值的和）問題，把它們與數(shù)列求和進行類比．觀察各函數(shù)值中自變量的特點，聯(lián)想等差數(shù)列的性質(zhì)：ａ１＋ａｎ＝ａ２＋ａｎ－１＝ａ３＋ａｎ－２，于是對于第（１）題，我們可以采用求ｆ （－２０１２）＋ｆ （２０１３）、ｆ （－２０１１）＋ｆ （２０１２）、…、ｆ （０）＋ｆ （１），而－２０１２＋２０１３＝－２０１１＋２０１２＝－２０１０＋２０１１＝…＝０＋１．對于一般情形有： ｆ（λ）＋ｆ（１－λ）＝＋＝＋

＝＝，

故原式的值為２０１３×＝．

對于第（２）題，也用類比思想方法求ｆ（２）＋ｆ（）、

ｆ（３）＋ｆ（）、ｆ（４）＋ｆ（）、…ｆ（２０１３）＋ｆ（）．我們很快發(fā)現(xiàn)ｆ（λ）＋ｆ（）＝１，于是原式的值為，這兩道小題的解決方法是用類比方法求解，而這種方法源于課本．

點評：類比的方法是以兩個對象之間的類似為基礎(chǔ)的．類比作為一種推理方法，它既不同于歸納推理也不同于演繹推理，它是某種類型的遷移性、相似性的推理方式．應(yīng)用類比可以在兩個不同的知識領(lǐng)域之間實行知識的過渡，因此，人們常常把類比方法譽為理智的橋梁，是信息轉(zhuǎn)移的橋梁．

（作者單位：貴州省龍里中學(xué)）

責(zé)任編校 徐國堅