數學難題的分析與思考

《概率論與數理統計》，是目前高校理工科專業及部分文科專業開設的一門數學公共基礎課。教師應重視在教學中向學生傳遞數學建模思想、逆事件、圖表法等解題思維，幫助學生拓展解題思路，掌握數學解題技巧，提高分析與思考數學難題的能力。

數學難題分析思考一、前言

在當前高等教育數學學科公共基礎科目中，《高等代數》《微積分》《線性代數》等均屬于研究確定性現象的數學分支，唯獨《概率論與數理統計》研究的領域是隨機現象。因此，《概率論與數理統計》的教學也應當與其他數學課程有所區別，不單單是要講授概率統計的相關知識點，更重要的是要向學生傳遞一種數學思維方式，將概率論縱橫交錯的邏輯架構清晰地展現在學生眼前，使其眼前“豁然開朗”，感受到“境界的升華”，進而有效地解決數學難題。

二、概率統計課程教學中的數學難題分析要重視學生數學思維的培養

概率論課程從學生高中時就有所接觸，那為什么學生們在大學階段更進一步地深入學習《概率論與數理統計》時，卻頻頻出現學習障礙呢？其中很重要的一點問題，就在于學生在學習課程知識點時，缺乏有意識的思維訓練，所掌握的僅僅是零散的知識，未能從整體上把握該課程常需要應用到的數學解題技巧，不利于學生整體上的理解，以致在解題時頻頻失誤。對此，筆者認為，在概率統計教學時，不僅要強調對學生嚴謹推導問題的歸納能力的培養，也要將歸納和演繹思維的訓練納入教學目標內，要綜合運用多種教學手段培養學生的數學思維，使學生的數學應用能力得到本質上的提高。

三、結合概念實際背景融入數學建模思想，解決數學難題

1.在概率論與數理統計教學中融入數學建模思想的可行性

總體來看，概率統計教材中所涉及的隨機數學問題大致可分為4大類：（1）隨機事件與概率；（2）隨機變量及其函數的概率分布；（3）大數定律和中心極限定理；（4）隨機變量的數字特征等。教師要深入鉆研教材，結合相關實例來講解概率論與數理統計的基本理論，使其確立數學建模的思維理念，引導學生通過“再思維”來展現數學“活生生”的創造活動，逐漸深化對相關知識的理解，進而提高分析問題和解決問題的能力。

2.數學建模解決數學難題的實例分析

教師應當合理地利用教學案例來進行數學難題的講解，并以此培養學生運用數學建模思想解題的意識。以報刊亭的收益問題為例：

例題：報刊亭每天清晨從報站批發報紙零售，晚上將未賣完的報紙退回。每份報紙零售價a元，批發價b元，回收價c元，且a>b>c，則報刊亭每售出一份報紙可賺取a-b元，退回一份會賠b-c元，問如何確定每天批發報紙的數量，才能獲得最大收益。

分析：很明顯，求解批發量需要根據需求量來確定，也就是說，報紙的需求量為隨機變量，設報刊亭每天報紙的需求量為X=x份，批發量為n份，其概率為P（x）。而需求量x是隨機的，因此報刊亭的收益也是隨機的，作為優化模型的目標函數，報刊亭每天獲取的最大收益應考慮到其長期（半年、一年等）的日平均收入即其期望值（以下簡稱為平均收入）。

由此，假設報刊亭每日批發n份報紙，日均收入為S（n），若x≤n，則表示當前報刊亭售出報紙x份，退回n-x份；若x>n，則表示報紙完全售出。因此，平均收入，建立數學模型后，只需了解到需求量為x的概率P（x）、a、b、c的具體值，就可以求取S（x）max。

在此基礎上，教師還可以進一步提出問題：如模型中需求量x、批發量n取值較大，將x視為連續變量時應如何求解？學生們綜合以上模型及所學連續型隨機變量概念，將概率P（x）轉化為概率密度函數f（x），并套用模型S（x）可得：

進而得出結論：批發量n滿足條件

時報刊亭日均收入最高，因為

因此又可以轉化為，即每份報紙賺錢與賠錢之比越高時，批發報紙分數也越多。同樣的，指導學生運用離散型隨機變量概念解題也可以得出相同結論。

通過報刊亭收益問題建立的數學模型，還可以大量引用到其他不同的現實問題中，這對于鍛煉學生的思維靈活性及解決數學難題都有著很好的幫助。

四、巧用“逆事件”，解決數學難題

求解古典概率問題時一般會涉及到基本事件總數、有利事件數等，從正面探求這些問題往往不易解決，且學生在復雜的計算中稍不留神，就會陷入到思維陷阱中，腦中一團亂麻，解題就更加麻煩了。對此，教師應當在教學中指導學生熟練應用“逆事件”解題，從問題的反面逆向思維上尋求解決數學難題的方案。以下題為例：

例題：已知4個人在旅社住宿，每個人都等可能地被分配到5個房間中的任一間去住，問：事件A={4人各住一房}的概率，事件B={至少有2人同住一房}的概率？

按照一般的解題思路，首先需要求解A、B事件的有利事件數和基本事件總數，如事件A包含的有利事件數為P54，；事件B也同樣如此，。如果問題中住宿人數或房間數進一步增加，計算也會變得更加繁瑣，甚至出現遺漏或重復計算等情況。在此情況下，運用逆事件求解就簡單多了。如事件B的發生概率可由定理P（A）=1-P（A）推導得出，P（B）=P（A）=1-P（A）=1-0.192=0.808。同樣的，將住宿人數、房間數放大，設已知n個人，每個人都等可能地被分配到N個房間中的任一間去住，且n≤N，求A、B事件的概率。在此問題中，可以簡單地計算出基本事件總數Nn，進而得出事件A的有利事件數PNn，得出結果，。其他的常見數學題如“生日問題”“電梯問題”，U檢驗法、X2檢驗法進行的假設檢驗中臨界值的確定，也可以借鑒“逆事件”來解決，此處不再一一贅述。

五、結語

所謂“通達善變”，“通”是數學學習的基礎，是基本保證，立足通法，才能準確地應用各種解題技巧，才能發展可靠的邏輯思維和發散思維，生出巧法。在大學數學公共基礎課程的教學過程中，教師應當客觀準確地把握學生的數學能力狀況，在課堂教學中融入多種解題技巧教學，幫助學生拓展解題思路，提高其分析難題與解決難題的能力，以更好更深入地學習數學知識。

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