淺析平面幾何總復(fù)習(xí)之法

摘要：本文主要針對(duì)平面幾何復(fù)習(xí)方法作剖析，歸納總結(jié)了六種有效的解題方法，旨在給一線教師帶來(lái)幫助。

關(guān)鍵詞：平面幾何；思路；方法；技巧

初中畢業(yè)班升學(xué)考試前的數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)面臨著時(shí)間少、內(nèi)容多、要求高、壓力大而學(xué)生的學(xué)習(xí)水平參差不齊，每個(gè)學(xué)生對(duì)各部分內(nèi)容的掌握程度又不一致的現(xiàn)實(shí)。為此，怎樣進(jìn)行初中數(shù)學(xué)平面幾何總復(fù)習(xí)，是畢業(yè)班數(shù)學(xué)教師十分關(guān)心和應(yīng)該思考的問(wèn)題。多年的畢業(yè)班數(shù)學(xué)教學(xué)工作經(jīng)驗(yàn)，使筆者深深地體會(huì)到：若不改變傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)方法，單靠加班加點(diǎn)、搞題海戰(zhàn)術(shù)或是按部就班進(jìn)行章節(jié)復(fù)習(xí)，那只能是讓師生筋疲力盡且收獲甚微。為此，要在“方法”上下功夫，做到精復(fù)習(xí)、精練習(xí)、采取有效的方法，切實(shí)使效果事半功倍。下面就如何進(jìn)行初中平面幾何總復(fù)習(xí)，在方法上作以下探討。

一、一線串珠

在開始進(jìn)入平面幾何全面復(fù)習(xí)時(shí)，不少學(xué)生感到書海如云，毫無(wú)頭緒。針對(duì)這種情況，筆者就引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)知識(shí)進(jìn)行整理、歸納，全力理出一條線，將分散在各部分的“珠子”串起來(lái)，達(dá)到化零為整、化點(diǎn)為線、以一帶十的效果。如在平行四邊形一章的復(fù)習(xí)中，筆者的做法是：抓住平行四邊形與矩形、菱形、正方形的共性，由平行四邊形的定義、判定和性質(zhì)，導(dǎo)出矩形、菱形、正方形的定義、判定和性質(zhì)等等知識(shí)點(diǎn)，從而通過(guò)四邊形這條主線，把矩形、菱形、正方形串起來(lái)形成一個(gè)系統(tǒng)的知識(shí)鏈。這樣，就幫助學(xué)生理清了頭緒、明晰了脈絡(luò)，使學(xué)生獲得內(nèi)容豐富以及既有共性又有個(gè)性的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

二、問(wèn)卷引導(dǎo)復(fù)習(xí)法

所謂“問(wèn)卷引導(dǎo)復(fù)習(xí)法”，就是根據(jù)總復(fù)習(xí)計(jì)劃的安排，對(duì)一堂課要復(fù)習(xí)的內(nèi)容，先由教師設(shè)計(jì)，制作一份問(wèn)卷，并留作答空白，然后提前發(fā)給學(xué)生，讓學(xué)生自己回顧、思考、作答。上課時(shí)，教師巡回個(gè)別輔導(dǎo)。最后，教師針對(duì)學(xué)生答卷中出現(xiàn)的傾向性問(wèn)題，用20分鐘左右的時(shí)間進(jìn)行集體輔導(dǎo)，并張貼問(wèn)卷答案。

三、縱橫聯(lián)系

加強(qiáng)知識(shí)間的橫向聯(lián)系，拓寬知識(shí)面，開闊學(xué)生的知識(shí)視野，是提高復(fù)習(xí)效果的做法之一。

例1.設(shè)⊙Ο1、⊙Ο2的半徑分別是a、b（a≠b），圓心距為1個(gè)單位長(zhǎng)，若方程x2-2ax+b2=b-a有相等的實(shí)根。

（1）試證明兩圓外切。

（2）用解析式將⊙Ο1的半徑a表示為⊙Ο2的半徑b的函數(shù)，并在直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象。

分析：此題可以利用數(shù)形結(jié)合法來(lái)解，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為用代數(shù)的知識(shí)來(lái)解決，加強(qiáng)幾何知識(shí)和代數(shù)知識(shí)的橫向聯(lián)系，問(wèn)題就簡(jiǎn)單了，這屬于數(shù)學(xué)解題的技巧。（1）中只證出a+b=1即可，（2）中利用（1）的結(jié)論畫出圖象即可。拓寬學(xué)生知識(shí)面，開闊學(xué)生的知識(shí)視野，解題能力也升華了。

四、一題多變

重視一題多變的訓(xùn)練，有助于培養(yǎng)學(xué)生的智力，開拓學(xué)生的思路，提高學(xué)生思維的敏捷性和解題的靈活性。因此，在重點(diǎn)復(fù)習(xí)階段，筆者采取下面幾種具體變換：

1.對(duì)圖形進(jìn)行變換

例2.已知⊙Ο1和⊙Ο2相交于點(diǎn)A、B，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線分別交兩圓于C、D，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線分別交兩圓于點(diǎn)E、F。求證：CE∥DF。

分析：此題可以根據(jù)兩圓的不同位置，作出以下六個(gè)圖形：

可知：由于圖形不同，證明方法也略有差異。但它們都要以相交兩圓的公共弦為輔助線加以證明。

2.變換命題條件，保留結(jié)論

變換命題的條件可以幫助學(xué)生了解命題與命題之間的相互聯(lián)系。

在例2中，適當(dāng)變換命題條件，得下面例題：

（C、E兩點(diǎn)重合）例3.已知⊙Ο1和⊙Ο2相交于B、E兩點(diǎn)，A是⊙Ο1上另一點(diǎn)，AT是⊙Ο1的切線，又直線AB與AC分別相交⊙Ο2于點(diǎn)D、F。求證：AT∥DF。

分析：只證∠BAT=∠D ，則 AT‖DF。

（D、A兩點(diǎn)重合）例4.已知⊙Ο1和⊙Ο2相交于點(diǎn)A、B。過(guò)點(diǎn)A作一圓的切線，交另一圓于P，過(guò)點(diǎn)B作直線QBS分別交兩圓于點(diǎn)Q、S。求證：AS∥PQ。

分析：只證∠ASB=∠PQB ， 則AS∥PQ。

（相交兩圓為相切兩圓）例5.已知⊙Ο1和⊙Ο2相切于A點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作直線ABC和ADE，分別交⊙Ο1、⊙Ο2于點(diǎn)B和D，C和E。求證：BD∥CE。

分析：過(guò)A作公切線AT，只證∠ABD=∠C， 則BD∥CE.

3.保留條件，改變結(jié)論

在命題條件相同的條件下，不斷改變命題的結(jié)論，可以幫助學(xué)生較系統(tǒng)地掌握平面圖形的性質(zhì)，了解命題的適用范圍，做到一箭雙雕，甚至一箭多雕。

例6.已知⊙Ο1和⊙Ο2相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作直線CAD，分別交⊙Ο1、⊙Ο2于C、D，連結(jié)BD，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，再過(guò)D點(diǎn)作⊙Ο2的切線DT。求證：ΔDAB∽ΔDEC。

對(duì)于例6中的結(jié)論可作下面幾種改變。

（1）DA∶DE=DB∶DC （2）DA·DC=DB·DE

（3）∠DAB=∠DEC （4）DΟ2⊥CE

分析：易證∠ADB=∠EDC ∠DAB=∠DEC則ΔDAB∽ΔDEC，題中（1）、（2）、（3）、（4）結(jié)論就迎刃而解。

四、同時(shí)改變命題的條件和結(jié)論

有些命題的條件改變后，其結(jié)論也隨著改變，這類題不但可以發(fā)展學(xué)生的思維能力，而且還有助于培養(yǎng)他們的探索能力。

（例2中，若附加條件CD∥EF，得）例7.已知⊙Ο1和⊙Ο2相交于點(diǎn)A和B，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線分別交兩圓于點(diǎn)C、D，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線分別交兩圓于點(diǎn)E、F，且CD∥EF。

求證：（1）CD=EF （2）CE=DF

分析：易證四邊形CEFD是平行四邊形，則CD=EF、CE=DF。

評(píng)：在一題多變的訓(xùn)練中，無(wú)論是對(duì)圖形進(jìn)行變換；變換命題條件，保留結(jié)論；保留條件，改變結(jié)論；還是同時(shí)改變命題的條件和結(jié)論，它們的一切性質(zhì)都是從已知條件出發(fā)而推得的， 分析條件與結(jié)論間的關(guān)系，研究它們變化時(shí)某些不變的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)和掌握它們之間的一些內(nèi)在規(guī)律，這是學(xué)習(xí)初中有關(guān)圖形問(wèn)題的基本方法之一。學(xué)會(huì)方法，便可以通過(guò)適量命題的練習(xí)而取得較大的收益，對(duì)教學(xué)來(lái)說(shuō)，則可以達(dá)到事半功倍的實(shí)效。

五、一題多解（證）

在重點(diǎn)復(fù)習(xí)階段，適當(dāng)練練一題多解（證）的習(xí)題，可以大大地開闊了學(xué)生的知識(shí)視野，提高學(xué)生的思維和分析能力。

例8.已知⊙Ο1和⊙Ο2外切于點(diǎn)A，BC是⊙Ο1、⊙Ο2的公切線，B、C為切點(diǎn)。

求證：AB⊥AC

證法一：如右圖，

過(guò)點(diǎn)A作兩圓的內(nèi)公切線交BC于D，則有：BD=DA=CD

∴點(diǎn)A在以點(diǎn)D為圓心，BC為直徑的圓上

∴AB⊥AC

證法二：過(guò)點(diǎn)A作兩圓的內(nèi)公切線交BC于D，

則有：BD=AD=CD

∴∠DBA=∠BAD，∠DCA=∠DAC

∴∠DBA+∠DCA=∠BAD+∠DAC

又∵∠DBA+∠DCA+∠BAD+∠DAC=1800

∴∠BAD+∠DAC=900

∴AB⊥AC

證法三：根據(jù)“如果三角形一邊上的中線等于這邊一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形，這條邊所對(duì)的角是直角”可證AB⊥AC。

證法四：過(guò)點(diǎn)A作兩圓的內(nèi)公切線AD交BC于D，并延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，則四邊形ACEB的對(duì)角線相等且互相平分，故四邊形ACEB為矩形

∴∠CAB=900

∴AB⊥AC

證法五：連結(jié)Ο1Ο2、Ο1B、Ο2C，

則有∠ACB=1/2·∠AΟ2C ∠ABC=1/2·∠AΟ1B

Ο1B⊥BC Ο2C⊥BC

∴∠ABC+∠ACB=1/2·（∠AΟ1B+ AΟ2C）……（1）

Ο1B∥Ο2C

∴∠AΟ1B+ AΟ2C=1800……（2）

由（1）、（2）得∠ABC+∠ACB=900

∴∠BAC=900 即AB⊥AC

評(píng)：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果能對(duì)例題進(jìn)行多向探索，靈活轉(zhuǎn)換，給出多種解法，可以使學(xué)生的認(rèn)識(shí)逐步深化，思路日見(jiàn)開闊，對(duì)開發(fā)學(xué)生智力和培養(yǎng)學(xué)生能力將起到積極作用。

六、多題一解

在初中畢業(yè)班的數(shù)學(xué)教學(xué)中，不斷地收集一些具有同一主題而形式不同的習(xí)題，在復(fù)習(xí)時(shí)采取“題組”的形式讓學(xué)生練習(xí)。這有助于學(xué)生從題海中解脫出來(lái)，使學(xué)生通過(guò)有限的練習(xí)，觸類旁通，從中悟出共同的解題規(guī)律。如下面一組題：

（1）已知：a4+b4+c4+d4=4abcd

求證：以a、b、c、d為邊的四邊形是菱形。

（2）已知Sin3A+ Sin3B+ Sin3C=3SinA·SinB·SinC

試判定ΔABC為何種三角形。

分析：（1）中易證a=b=c=d即可，（2）中用相似方法易證。這種多題一解的方法，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生們獨(dú)立思考能力，反思總結(jié)的思維習(xí)慣，而且也是復(fù)習(xí)平面幾何教學(xué)方法的一種新實(shí)踐新突破

除此之外，還可進(jìn)行專題性復(fù)習(xí)。如：線段相等、等角、線段的和、差（倍、分）、平行線、垂線、不等量、比例式、等積式的證法；計(jì)算法證明幾何題等等。

學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的提高，數(shù)學(xué)教學(xué)整體水平的提升，無(wú)疑是多種因素綜合促成的。但筆者認(rèn)為在諸多因素中，好的復(fù)習(xí)方法，是提高學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)與提升整體數(shù)學(xué)教學(xué)水平的一個(gè)重要的因素，這就是本文所談之要義。