弗雷格的量詞—變元理論*

楊紅玉

弗雷格（Gottlob Frege，1848—1925）是現代邏輯的創始人，也是公認的分析哲學和語言哲學的創始人，他的思想對20世紀的邏輯、哲學以及與之相關的學科產生了重要的影響。達米特指出，在哲學史上，有三項殊榮歸屬于弗雷格：首先，弗雷格發明了一種形式語言，并建立了邏輯史上第一個謂詞邏輯系統，從而開創了用形式語言研究邏輯的新時代；其次，弗雷格所開創的邏輯方法被證明是研究哲學的重要方法，他的哲學邏輯的方法促進了其后的哲學重心的轉移——從笛卡爾所開創的認識論研究向語言分析的轉向；最后，弗雷格用數學的方法研究邏輯，反過來也促進了數學哲學的巨大發展，數學哲學其后的許多成就都受到了弗雷格莫大的啟迪。①而在這三大成就里，起關鍵和基礎作用的就是弗雷格的量詞—變元理論。

在弗雷格事業的開端，正是由于量詞—變元概念的發現，引領了他對邏輯的看法，量詞和量化理論是弗雷格邏輯哲學體系的基礎和核心理論，“量詞也是弗雷格最重要的發現和貢獻”②。關于弗雷格的量詞—變元理論，本文將關注以下幾個問題：量詞—變元概念提出的理論背景——傳統邏輯的特點和局限性；量詞—變元理論是如何被弗雷格發現的；量詞—變元理論帶給了弗雷格怎樣的看待邏輯和哲學的視角，以及這些視角所帶來的對邏輯和哲學的影響；弗雷格的量詞—變元理論所遺留的問題。

一、傳統邏輯的特點和局限性

作為一個數學家，弗雷格在自己事業的開始階段，其興趣并不在于改革傳統邏輯，而是希望為算術提供一個堅實的基礎。在弗雷格看來，算術的基礎就是邏輯，因此，從邏輯推出全部的算術成為弗雷格的行動綱領和目標。面對這樣的目標，弗雷格首先需要解決的就是如何用邏輯的方法表示算術的常用語言表達方式，如“每一個數都有一個后承”，“每一個偶數都是兩個素數之和”等。而這樣的句子都包含了多個量詞，這是傳統邏輯所無法表達的。就是在探索算術基礎的過程中，弗雷格看到了傳統邏輯的局限性和缺點。

在古希臘邏輯發軔之初，人們關注的主要是形如“所有人都是會死的”即“S是P”這樣句子的推理，亞里士多德所建立的三段論推理系統也專注于此。在“S是P”這樣的句式的基礎上，加上否定，再加上兩個基本的量詞——全稱量詞和特稱量詞，就形成了傳統邏輯的四個基本命題的句式：“所有S是P”，“所有S不是P”，“有S是P”，“有S不是P”。三段論推理關注的就是從擁有一個共同項的兩個命題出發，可以有效地得出怎樣的結論。在三段論推理中，推理形式和日常語言的形式是緊密相關的甚至是一致的，雖然在進行邏輯分析的時候，亞里士多德引進了S、P這樣的字母依次表示主項和謂項，但三段論推理并沒有真正做到形式化：一方面，句子中的肯定項、否定項以及量詞都沒有得到形式的刻畫，另一方面，三段論推理在亞里士多德那里并沒有構成演算，最重要的是，亞里士多德對命題的形式刻畫研究并沒有突破自然語言的句型，三段論依舊關注的是主謂式句子的性質和推理。雖然三段論推理代表了傳統邏輯的最高成就，但是推理形式過分依賴于日常語言形式，還是使得傳統邏輯處理句子的能力受到很大的局限。

首先，傳統邏輯不能處理包含個體詞的語句的推理問題。邏輯上把主語是個體詞的語句稱之為單稱命題，雖然亞里士多德在劃分命題類型的時候提及了單稱命題，但是其在三段論推理中卻排除掉單稱命題，中世紀及以后的邏輯沿襲了亞里士多德的做法。盡管對亞里士多德在三段論推理中排除掉個體詞的原因，邏輯學家們意見不一，但能夠確定的是，個體詞的引入會給三段論推理帶來混亂。因此也可以說，亞里士多德邏輯是處理不了個體詞的。這種情況經過中世紀的漫長發展也沒有得到改變。

其次，亞里士多德的邏輯只能處理包含一個量詞的句子情況，而對包含兩個甚至多個的疊置量詞的復雜句子，如“每個人都會嫉妒別人（Everybody envies somebody）”，則一直無能為力。與此相聯系，亞里士多德的邏輯也處理不了關系語句，如“約翰嫉妒湯姆（John envies Tom）”。從亞里士多德和斯多葛學派開始，邏輯學家們一直想解決包含多個量詞的句子的推理問題，經院邏輯學家們甚至為此提出了各種復雜的解決方案，但一直沒有成功，由此導致邏輯自亞里士多德以后一直裹足不前。

二、量詞—變元理論是如何被弗雷格發現的

弗雷格認為中世紀的邏輯學家在處理包含多個量詞的語句的時候，總是過多地關注語句的語法結構，才誤導了邏輯學的研究方向，阻止了中世紀邏輯學的深入發展。如，對于語句“每個人都會嫉妒別人（Everybody envies somebody）”，這樣的語句中包含著兩個量詞，中世紀的哲學家認為要應對的問題是：如何表達一個范圍（somebody）包含于另一個范圍（everybody）之中？而這樣提出問題的方式有兩個疑難之處需要處理：首先，在這個句子中，中世紀的邏輯學家們之所以認為“somebody”包含于另一個范圍“everybody”之中，并無確定的規則，這種解釋無非是遵循一種語言習慣，即在語句中出現靠后的普遍詞包含于出現靠前的普遍詞中。其次，這個語句中只包含了兩個量詞，而一旦語句中出現三個或更多的量詞，其包含關系以及相互之間的范圍關系會更加復雜，刻畫的難度更會成倍地增加。

面對中世紀邏輯學家的失敗，弗雷格認識到了自然語言的不完善性：“當我致力于滿足這種最嚴格的要求時，我發現語言的不完善是一種障礙，在現有的各種最笨拙的表達中都能出現這種不完善性，關系越復雜，就越不能達到我的目的所要求的精確性。”③于是弗雷格毅然拋棄了自然語言的誘惑和傳統邏輯的做法，決定模仿算術的形式語言，發明出新的純思維的“概念語言”，也就是在此過程中，量詞—變元概念被發現。

弗雷格首先把數學中函數—自變元的概念引入對句子結構的分析中。在處理直言命題的分類時，面對“蘇格拉底是會死的（Socrates is mortal）”和“所有人都是會死的（Everyone is mortal）”兩個句子時，傳統邏輯把他們都處理為SAP命題（全稱肯定命題），而實際上，這兩個句子有兩個重要的區別。首先，“所有人（everyone）”是一個特殊的語詞，它占據著主語的位置，貌似是一個專名，而實際上和“蘇格拉底”、“司各脫”這樣真正的專名是截然不同的。因為這個語詞還表達著數量，與相關的域有關。邏輯上把“everything”、“something”、“nothing”這類的語詞叫做“普遍詞（general terms）”，以示與專名的區別。處理這類普遍詞的方式體現了邏輯的能力。其次，雖然兩個句子中的系詞都是“is”，但表達的關系是不同的，第一個句子表達的是分子與類之間的關系，第二個句子表達的是類與類之間的關系。這樣的區分在數學中非常重要，對此傳統邏輯卻無能為力。面對此種情況，弗雷格的洞見之一就是把數學中的函數—自變元概念引入對句子的表達。

在弗雷格看來，函數在數學上雖然已經具有了很多引申的涵義，但實際上，“函數最主要的特點就是其不飽和性”④，自變元在函數中并不是一個必要的組成部分，而是表示插入內容位置的符號。對自變元的每一次指派，都會產生一個函數的值。弗雷格認為，概念是用來謂述對象的，其自身也是不飽和的，相對于每一個代入其中的專名，都將會產生或真或假的真值，概念和函數具有相似性。因此，弗雷格對函數進行了擴展，并用函數的方式來表達概念。而與概念詞相對照的是，專名用來表達對象，對象是完整的和飽和的。這樣一來，“蘇格拉底是會死的”這個語句就被處理為Fa的形式，a代表專名“蘇格拉底”，F表示概念“會死的”，這句話表示了一個對象處于一個概念之下的關系。“蘇格拉底是會死的”也被弗雷格稱為原子句。而在“所有人都是會死的”這個句子中，“人”和“會死的”都是概念詞，它們謂述同一個對象，并且它們之間還存在一種條件性關系——“一個對象如果是人，那么他是會死的”，而“所有的”則代表了對象的數量和范圍。

而為了表示對象的數量和范圍，弗雷格引進了量詞—變元這個概念：“在一個判斷的表達中，如果在自變元的位置上代入一個德文字母，并且在內容線上畫出一個凹處，并使這個德文字母處于這個凹處，它就意味著這樣一個判斷：無論將什么看作其自變元，那個函數都是一個事實。”⑤弗雷格的符號系統因為印刷的不方便，已經被其后的邏輯學家改進，上面的量詞—變元表達符號在現代邏輯中已經被Ax所代替。引進量—變元之后之后，“所有人都是會死的（Everyone is mortal）”這句話就可以表示為“對任一事物x而言，如果x是人，那么x是會死的”。這樣一來，普遍詞“everyone”就顯示出了與專名不一樣的邏輯性質，而兩種不同的關系——分子與類的關系以及類與類的關系，在弗雷格的形式語言中，都得到了很好的刻畫。

從量詞—變元理論出發，弗雷格把復雜的句子看做是由一系列步驟構成的過程。一個包含兩個普遍詞的語句，如“每個人都會嫉妒別人（Everybody envies somebody）”，就可以看做是由兩步構成的，其中，第一步是將everybody從句子中去掉，而代之以希臘字母“ξ”，原來的句子就變為“ξ envies somebody”，這樣一來，“envies somebody”就成了一個一元謂詞，而ξ代表一個空位，一個表明專名插入位置的空位，如“John envies somebody”“Mary envies somebody”等，而“Everybody”就可以理解為所有專名代入后所形成的語句都是真的。第二步，我們再將“John envies somebody”中的“somebody”去掉，而代之以希臘字母“λ”，原來的語句就變為“John envies λ”，λ和ξ一樣，代表一個空位，一個表明專名插入位置的空位，因而可以形成語句“John envies Tom”，“John envies David”等，就“somebody”而言，“John envies somebody”是真的，當且僅當，至少有一個專名代入后形成的語句是真的。這樣一來，弗雷格不僅將語句看作是由諸階段構成的，而且他還把每個普遍詞的真之條件適用于每個引進它的那個階段，這樣的做法，既解決了句法問題，又解決了語義問題。

弗雷格的另一個洞見就是通過省略一個專名的多次出現來構建復合謂詞。弗雷格的量詞總是與變元聯系在一起使用，量詞后面的變元指明了量詞的作用范圍，變元也因此被稱為約束變元。約束變元與量詞有相互指涉的關系：“約束變元被用在量詞中，以確定隨后要相互指涉的是哪個量詞；然后它被用在緊接著其后的語句中，反過來涉及了那個相應的量詞。”⑥對于語句“每個人都會嫉妒別人（Everybody envies somebody）”，我們依次可以用x、y兩個變元來表示兩個不同的約束變元，它們分別被全稱量詞和存在量詞所約束，以表示每個量詞作用的范圍，這樣一來，語句“每個人都會嫉妒別人（Everybody envies somebody）”就可以表示為Ax-y（Rx→（Ry∧Exy））（對于任一事物x而言，如果它是人，那么存在一個y，y是人，并且x嫉妒y。其中，R、E分別表示“人”和“嫉妒”）。約束變元與量詞的相互指涉，是弗雷格量詞理論和傳統邏輯量詞最大的不同。正是量詞的這種特點，使得弗雷格能夠進一步處理包含多個量詞的語句和表達關系的語句，從而使得邏輯的表達能力大為增強。

三、量詞—變元理論在邏輯學方面的影響

量詞—變元理論的發現，帶給了弗雷格關于邏輯和哲學的新的視角和洞見，并引發了邏輯和哲學的雙重革命。

在邏輯方面，首先，量詞—變元概念的發現，使得弗雷格在邏輯史上第一次能夠處理包含多個量詞的語句和表達關系的語句，邏輯的表達能力大大增強。量詞理論帶給弗雷格與以前的所有邏輯學家截然不同的視角，正是從發現量詞—變元理論的過程中，弗雷格發現了自然語言的不完善。弗雷格從一開始就放棄了自然語言，并發明了全新的表達普遍性的方法，新的邏輯體系呼之欲出。

其次，對于弗雷格而言，句子是一步步構建的觀點是語言分析的關鍵，自此，邏輯才和其他的哲學分支真正區別開來：邏輯并非像其他哲學分支一樣關注的是一定范圍內語詞的意義，而是關注語詞所屬的不同類型，以及由此所形成的不同的構建原子命題的途徑。

最后，正是通過量詞—變元的理論，人們第一次發現亞里士多德的詞項邏輯和斯多噶學派的命題邏輯原來存在如此緊密的聯系。涅爾夫婦認為：“把量詞應用于約束變元是現代邏輯的符號體系和方法的主要特點，這一特點使得它不僅優于普通語言，而且優于布爾所使用的代數類型的符號體系……認為對約束變元使用量詞是19世紀最偉大的理智發明之一，這是不過分的。”⑦當代邏輯學家達米特則認為：“摩爾將羅素的摹狀詞理論稱為哲學的典范，這個榮譽更應該給予弗雷格所發現的量詞理論，正是在這個基礎上，邏輯才有了更深遠的進步。”⑧

四、量詞—變元理論在哲學方面的影響

量詞—變元理論的發現，在哲學方面也產生了重大而深遠的影響。正是在發現量詞—變元理論的過程中，弗雷格區分了專名和概念，語言以及語言所表達的東西，涵義和意謂等，這些都是日后興起的語言哲學的關鍵術語，新的哲學形態蓄勢待發。對量詞—變元理論的關注和對心理主義傾向的拒斥，促使了哲學以后的語言轉向。新的邏輯理論和新的對數學基礎的思考，促使數學哲學成為20世紀以來活躍的哲學分支。

首先，量詞—變元理論的發現促使了哲學重心的轉移，即從認知向語言的轉向。哲學發展的每一個階段，都有其側重點和重心，所謂“重心”，在達米特看來是指“某些哲學分支是更基本的，其他哲學分支的很多問題的解決都依賴于這個重心領域內新的方法的創建”⑨。哲學史上，笛卡爾實現了傳統哲學從本體論到認識論的轉移，笛卡爾之后的整個哲學的發展都以認識論為基礎，這樣的狀況一直持續到20世紀。而基于量詞—變元理論所帶來的視角，弗雷格以自己的行動表明新的邏輯形態與認識論無關，這樣一來，新的邏輯而不是認識論成為哲學的出發點，哲學呈現出新的面貌。弗雷格以自己的行動推動了哲學重心的轉移。

其次，量詞—變元理論的發現，使得弗雷格成為分析哲學的創始人，日后分析哲學的主要術語和重要議題都來自于弗雷格。對象和概念之間的聯系和區別，一直是哲學史上的重要而核心的問題之一，哲學家對這個問題的回答奠定了其關于本體論和認識論的基本看法。雖然在不同的歷史階段，這個問題會呈現出不同的歷史形態，如演變為個體和普遍、殊相和共相等的爭論，但對這個問題的關注一直持續了哲學的整個發展歷程。由量詞—變元理論所提供的獨特視角，弗雷格認識到專名是真正的邏輯主語，而概念詞是用來謂述對象的，概念的最大特點就是其謂述性；量詞是對概念詞的限定，用來表明了對象的范圍，通過對量詞域內對象的指派，句子有了自己確定的真值。在此基礎上，弗雷格進一步區分了專名、概念詞以及句子的涵義和意謂。這樣一來，專名、概念、意義、真等分析哲學的重要概念和議題在弗雷格著作中都已經出現，弗雷格也因此被認為是分析哲學的開創者。

最后，量詞—變元理論也使得數學哲學成為哲學的重要的活躍的分支。作為一個數學家，弗雷格關注的重點是數學的基礎，邏輯對于弗雷格而言，是進行數學基礎分析的工具和手段。量詞—變元理論使得弗雷格能夠處理包含多個量詞的句子，而這樣的句子正是數學中的常見句型。對數的性質的考察，對數詞功能的分析，對自然數性質的重新界定和對自然數的重新定義，即使最后羅素所發現的悖論使得弗雷格的將數學還原為邏輯的綱領宣告破產，弗雷格的工作依然使得數學的基礎受到了20世紀哲學的極大關注。即使是在今天的數學哲學的研究領域中，“源于弗雷格思想的所謂新弗雷格主義，是最近十多年來數學哲學研究中相對活躍的課題，這也顯示了弗雷格經久不衰的影響”⑩。

五、弗雷格量詞—變元理論所留下的問題

盡管弗雷格的量詞—變元理論已經成為現代邏輯的基礎概念和形式語言的基本表達工具，但圍繞著量詞—變元的語義解釋問題，即量化問題，哲學界卻一直爭議不斷。

在弗雷格的形式語言和形式系統中，只有一個量詞，即全稱量詞，特稱量詞可以通過量詞之間的互定義性，由全稱量詞加否定詞得到，因此，弗雷格的量化理論主要是關于全稱量詞解釋的理論。在其著作中，弗雷格多次對全稱量詞進行解釋。在《概念文字——一種模仿算術語言構造的純思維的形式語言》中，在構造了全稱量詞后，弗雷格對其進行了語義的解釋：“它就意謂下面這樣一個判斷：無論把什么看作是其自變元，那個函數都是一個事實。”［11］這是關于量化的一個簡單解釋，其意思是，一個全稱命題為真，則意謂著所有對自變元的代入，其結果總是真的。

《概念文字》發表后，鑒于當時的哲學界尤其是數學界對這種新的形式語言的陌生和不理解，弗雷格撰寫了一系列文章來解釋自己的哲學思想，包括《函數和概念》、《概念和對象》、《指稱和意謂》、《邏輯導論》等。在這些文章里，弗雷格對量詞和量化進行進一步論述：“只有在這里（論述普遍性時——作者注）才促使我們把一個思想分析為一些不是思想的部分。最簡單的情況是二分的情況。各部分是不同種類的：一類是不飽和的，另一類是飽和的（完整的）。這里必須考慮被傳統邏輯表示為單稱判斷的思想。這樣一個思想表達了一個對象的某種情況。表達這樣一個思想的句子是由一個專名和一個謂詞部分組成，這個專名相應于這個思想的完整的部分，這個謂詞部分相應于思想的不飽和部分……一個新思想（所有事物是與自身相等的），它與（二是與自身相等的，月亮是與自身相等的）這些單稱命題相比是普遍的。‘所有事物’一詞在這里處于專名的位置，但它本身不是專名，不表示對象，而只用來賦予這個句子內容的普遍性。”［12］在《函數和概念》里，弗雷格進一步解釋了什么是普遍性：“無論人們用什么做自變元，這個函數的值總是為真。”［13］

總之，弗雷格認為，包含量詞的函數是邏輯系統中表達普遍性的設置，每個量化表達式都有確定的真值，一個句子的真值就是將量詞限定域中的對象帶入函數的結果。對于一個全稱表達式而言，如果帶入的結果總是真的，全稱表達式就是真的，而如果代入的結果有假的，則全稱量化陳述就是假的。根據量詞之間的互定義性，對于一個特稱表達式而言，如果至少有一個自變元的帶入結果為真，則特稱量化式取真值，如果帶入的結果都為假，則特稱量化式取假值。這就是弗雷格關于量化的基本觀點。

盡管弗雷格對量詞—變元的解釋奠定了量化理論的基礎，但是弗雷格并沒有進一步考慮一些具體的問題，如自變元的位置可以代入什么，是只可以代入專名，還是也可以代入謂詞？對這個問題的不同回答會直接導致對邏輯的范圍的不同看法：如果自變元只可以代入專名或單稱詞，即自變元的值只能是對象，那么邏輯將主要指稱一階邏輯；而如果允許謂詞作自變元，則高階邏輯也將被納入邏輯的范圍。邏輯的范圍的不同將導致對邏輯的不同觀念，并將進一步導致對真、意義、同一等語言哲學的核心概念的不同看法。另外，如何把握一個量詞域的全體？如果我們的語言并不能為每一個對象命名，或者量詞域是不可測的，在這樣的情況下，我們如何判斷一個全稱量化式的真值？而對于這些與量詞有關的問題，弗雷格都沒有予以解答。

而正是對這些問題的不同回答，引發了后來的邏輯學家在量化解釋上的爭執和分歧，并最終形成了對象量化和替換量化兩種對立的觀點。對象量化堅持代入的只能是專名，而替換量化認為，每一次代入的都是某一類語詞，既可以是專名，也可以是謂詞，甚至可以是可能個體。從這樣的量化理論出發，對象量化和替換量化形成了不同的關于真的看法，并由此導致了對待模態邏輯和高階邏輯的不同態度：前者是反對，后者是支持。正是在這個意義上，安格爾斷言：“對量詞—變元的解釋問題已經成為現代邏輯的核心問題。”［14］

注釋

①⑧⑨Dummett M.Frege：Philosophy of Language.2ed.Cambridge：Harvard University Press，1981.xxxi- xxxiv，9，xxxiii.②Stevenson L.Frege’s Two Definitions of Quantification.The Philosophical Quarterly，Vol.23，No.23，July.1973.③④⑤［11］［12］［13］弗雷格：《弗雷格哲學論著選輯》，王路譯，商務印書館，2006年，第2、53、26、26、236—237、71頁。⑥Quine.Logic and the Reification of Univesals.In From a Logical Point of View.Cambridge：Harvard University Press，1962.103.⑦威廉·涅爾、瑪莎·涅爾：《邏輯學的發展》，張家龍、洪漢鼎譯，商務印書館，1985年，第638—639頁。⑩葉峰：《二十世紀數學哲學——一個自然主義者的評述》，北京大學出版社，2010年，第179頁。［14］Engel P.The Norm of Truth：An Introduction to the Philosophy of Logic.Toronto Buffalo：University of Toronto Press，1991.68.