攝像機參數(shù)與地面點坐標(biāo)改正數(shù)的分離估計

余家祥，趙曉哲，梁德清，姜魯東，周晶

(1.海軍大連艦艇學(xué)院 戰(zhàn)術(shù)學(xué)博士后流動站，遼寧 大連116018;2.海軍裝備部，北京100083)

0 引言

利用無人機、電視偵察彈等空中平臺的航空偵察圖像對地面目標(biāo)進(jìn)行實時定位具有極其重要的軍事價值，因而受到普遍重視［1］。目前，根據(jù)航空圖像進(jìn)行實時目標(biāo)定位的方法大致可以歸為4 種，即基于數(shù)字高程(DEM)的定位方法［2-4］、基于激光測距的定位方法［5］、基于多幀圖像聯(lián)測的定位方法［6］和基于多幀圖像同名點的定位方法［7-8］。

基于多幀圖像同名點的定位方法是為降低其他3 種方法的使用條件而產(chǎn)生的一種地面目標(biāo)定位方法，應(yīng)用一次完成最小二乘算法(LMS)求解攝像機參數(shù)改正數(shù)和地面點坐標(biāo)改正數(shù)是該方法的一個重要環(huán)節(jié)。然而，在運用該方法的實踐中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)圖像幀數(shù)及同名點數(shù)目較大時，一次完成LMS 的系數(shù)矩陣規(guī)模偏大、算法時間復(fù)雜度高、效率低。為解決該問題，本文根據(jù)改正數(shù)約束方程的特點，提出了基于分離LMS 原理的分離估計算法，該算法運用迭代方式交替估計航空攝像機參數(shù)改正數(shù)和地面點坐標(biāo)改正數(shù)，能夠有效提高改正數(shù)估計算法的效率。

1 分離LMS 原理

考慮如下線性方程組

式中:x 為l 維未知參數(shù)向量;b 為q 維觀測數(shù)據(jù)列向量;A 為q×l 維系數(shù)矩陣(q ＞l).

為了估計未知參數(shù)，將x 劃分成n 組，并相應(yīng)地將矩陣A 劃分成n 塊，即將x 和A 分別寫成如下形式

將(2)式和(3)式代入(1)式，可得

式中:A1，A2，…，An分別為q ×l1，q ×l2，…，q ×ln階矩陣;未知參數(shù)向量x1，x2，…，xn的維數(shù)分別為l1，l2，…，ln，并且有

假設(shè)估計順序為x1→x2→…→xn.在估計xi時，將x1，x2，…，xi-1的本次迭代估計值和xi+1，xi+2，…，xn的上次迭代估計值(或首次迭代初值)一并代入(4)式，移項整理后得

根據(jù)(6)式可以得到xi的估計值

根據(jù)測量平差理論的慣例［9］，將(8)式中Wbi稱為觀測向量bi的權(quán)陣，它是bi的協(xié)因數(shù)陣Qbi的逆陣，即

式中協(xié)因矩陣Qbi可以通過如下運算得到

式中Qb為b 的協(xié)因矩陣。

當(dāng)k ＜i 時，(10)式中的Qxk為xk當(dāng)前迭代估計值的協(xié)因數(shù)陣;k ＞i 時，Qxk為xk上一次迭代估計值的協(xié)因數(shù)陣，且對于第一次迭代有

當(dāng)i=1 時，(11)式被定義為

(11)式中xk的當(dāng)前迭代估計值的協(xié)因數(shù)陣Qxk可以通過下式求取

根據(jù)(8)式得到xi的估計值以后，用類似的方式依次求解其他n-1 組參數(shù)。所有n 組參數(shù){xk|k=1，2，…，n}計算完成后，意味著關(guān)于未知參數(shù)向量x 的第一次迭代步驟結(jié)束，得到x 的一個近似值。接著進(jìn)入下一次迭代，直到所有參數(shù)組估計精度滿足要求。

通過證明可分離算法估計結(jié)果與Jacobi 迭代計算結(jié)果等價，可以判斷LMS 的收斂性［10-11］。為此，將(1)式寫成如下形式

與(4)式類似，(14)式可以等價地寫為

使用Jacobi 迭代，得到(15)式的解

顯然，由(16)式確定的解與由(8)式確定的解相同。由于矩陣ATWA 是對稱正定的，因此上述可分離算法的交替迭代過程是收斂的。

2 改正數(shù)約束方程

文獻(xiàn)［7］指出:如果m 個地面點在從不同方位上攝取的n 幀圖像上均有可識別像點，則根據(jù)這些像點可以建立2mn 個關(guān)于航空攝像機參數(shù)改正數(shù)和地面點坐標(biāo)改正數(shù)的約束方程組，且該方程組可以簡潔地表示為

式中:

3 改正數(shù)的分離估計方法

3.1 地面點坐標(biāo)改正數(shù)的分離估計

求解u 之前，將(17)式改寫成類似于(1)式的形式，即

式中

式中v 為上一次迭代的估計值(或首次迭代的初值)。

若v 是給定的常量初值，則bu的協(xié)因數(shù)陣Qbu與b 的協(xié)因數(shù)陣Qb相同，即

否則，若v 是上一次迭代估計值，則根據(jù)誤差傳播規(guī)律可以推導(dǎo)出

式中Qv為上一次迭代v 估計值的協(xié)因數(shù)陣。

根據(jù)誤差傳播規(guī)律，u 的協(xié)因數(shù)陣Qu可以由下式求取

式中Wb通常稱為觀測向量b 的權(quán)陣，它是協(xié)因數(shù)陣Qb的逆陣，即

由于m 個地面點坐標(biāo)改正數(shù)u1，u2，…，uj，…，um相互獨立，因此可以利用分離算法求解(23)式。為此，將(23)式重寫為

式中Au1，Au2，…，Aum為矩陣C 的2mn×3 階子塊。

假設(shè)估計順序為:u1→u2→…→um.在估計uj時，將u1，u2，…，uj-1的本次迭代估計值和uj+1，uj+2，…，um的上次迭代估計值代入(29)式，移項、整理后，得

式中

這樣，uj的估計值為

式中Wbuj為觀測向量buj的權(quán)陣，它是buj的協(xié)因數(shù)陣Qbuj的逆陣，即

根據(jù)(31)式可以推導(dǎo)Qbuj的表達(dá)式

當(dāng)k ＜j 時，(34)式中的Quk為uk當(dāng)前迭代估計值的協(xié)因數(shù)陣;當(dāng)k ＞j 時，Quk為uk上一次迭代估計值的協(xié)因數(shù)陣，且對于第一次迭代有

當(dāng)j=1 時，(35)式被定義為

(34)式和(35)式中，uk的當(dāng)前迭代估計值的協(xié)因數(shù)陣Quk可以通過(37)式求取

3.2 攝像機參數(shù)改正數(shù)的分離估計

用分離算法估計v 的過程與估計u 類似。首先，將(17)式改寫成類似于(23)式的形式，即

式中

式中u 為當(dāng)前迭代估計值。

根據(jù)誤差傳播規(guī)律，可以得到bv的協(xié)因數(shù)陣

式中Qu為u 的協(xié)因數(shù)陣，由(27)式確定。估計值v 的協(xié)因數(shù)陣

由于n 個攝像機參數(shù)改正數(shù)v1，v2，…，vi，…，vn相互獨立，因此(38)式也適用分離算法，且算法實現(xiàn)原理與(29)式～(37)式所示運算過程類同。

4 仿真分析

由于改正數(shù)估計的精度最終以同名地面點定位誤差的形式反映，因此實驗以定位誤差作為衡量分離LMS 和一次完成最小二法計算精度指標(biāo)，并在此基礎(chǔ)上比較兩類方法的運算效率。

仿真條件:1)圖像幀數(shù)為n，分別由攝像機從均勻分布在以待定位地面點的天頂點為圓心的圓圈上的n 個攝站上拍攝，如圖1所示;2)圖1中，圓圈直徑相對于待定地面點張角α 為90°，攝站與與待定位地面點的距離為2 500 m;3)攝像機焦距為120 mm;在圖1中的500 m ×500 m ×200 m 長方體內(nèi)隨機產(chǎn)生m 個地面點;4)仿真計算時，攝像機內(nèi)外參數(shù)和地面點坐標(biāo)的迭代初值與真值的偏差大小設(shè)置為真值的10%.仿真結(jié)果如表1所示。

圖1 攝站分布示意圖Fig.1 Layout of cameras

表1 兩種LMS 定位性能比較Tab.1 Location capability comparison of two LMS methods

分析表1可以得到如下兩點結(jié)論:1)分離算法和一次完成LMS 的計算精度相當(dāng);2)分離算法的運算效率高于一次完成算法，且隨著同名點數(shù)目增加，運算效率提高越顯著。

5 結(jié)論

針對一次完成LMS 運算效率較低的問題，根據(jù)攝像機參數(shù)改正數(shù)和地面點坐標(biāo)改正數(shù)約束方程組的特點，給出了基于分離LMS 的改正數(shù)迭代交替計算模型。仿真分析表明，分離估計算法與一次完成LMS 的計算精度相當(dāng)，但其運算效率高于一次完成算法，且隨著同名點數(shù)目增加，運算效率提高越顯著，體現(xiàn)了改正數(shù)分離估計算法的優(yōu)越性。本文后續(xù)研究內(nèi)容將主要考慮分離估計算法對攝像機空間位置分布的魯棒性。

References)

［1］ 余家祥.航空偵察攝像機參數(shù)估計與對地定位方法研究［D］.北京:清華大學(xué)，2007.YU Jia-xiang.Research on aerial reconnaissance camera parameter estimation and geo-location methods［D］.Beijing:Tsinghua University，2007.(in Chinese)

［2］ Sheng Y.Theoretical analysis of the iterative photogrammetric method to determining ground coordinates from photo coordinates and a DEM［J］.Photogrammetric Engineering and Remote Sensing，2005，71(7):863 -871.

［3］ 李雯，肖凱，劉文.應(yīng)用單張像片解析法實現(xiàn)測繪圖像實時定位［J］.航空學(xué)報，2002，23(1):82 -84.LI Wen，XIAO Kai，LIU Wen.Real-time location Determination of mapping image using single photo analytic method［J］.Acta Aeronautica et Astronautica Sinica，2002，23(1):82 -84.(in Chinese)

［4］ 姚杰，江碧濤.利用單張航空像片和DEM 實現(xiàn)GIS 空間數(shù)據(jù)的更新［J］.解放軍測繪學(xué)院學(xué)報，1996，(12):276 - 279.YAO Jie，JIANG Bi-tao.Updating spatial data of GIS with a single photo and DEM［J］.Journal of Institute of Surveying and Mapping，1996，(12):276 -279.(in Chinese)

［5］ 毛昭軍，汪德虎.姿態(tài)測量/激光測距的無人機目標(biāo)定位模型［J］.火力與指揮控制，2003，28(5):14 -17.MAO Zhao-jun，WANG De-hu.A model of target position for UAV based attitude measuring/laser range-finder［J］.Fire Control＆ Command Control，2003，28(5):14 -17.(in Chinese)

［6］ 段連飛.基于圖像序列的目標(biāo)定位方法研究［M］.合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2002:57 -86.DUAN Lian-fei.Research on target location methods using image series［M］.Hefei:University of Science and Technology of China，2002:57 -86.(in Chinese)

［7］ 余家祥，蕭德云，姜魯東.基于多幀圖像同名點的無人機對地定位新方法［J］.兵工學(xué)報，2008，29(3):360 -364.YU Jia-xiang，XIAO De-yun，JIANG Lu-dong.A new UAV geolocation approach based on common points on multiple images［J］.Acta Armamentarii，2008，29(3):360 -364.(in Chinese)

［8］ Yu J X，Xiao D Y，Jiang L D，et al.New geo-location approach based on camera coordinates and common points on multiple images［J］.Defense Science Journal，2009，59 (1):43 -48.

［9］ 游祖吉，樊功瑜.測量平差教程［M］.北京:測繪出版社，1991.YOU Zu-ji，F(xiàn)AN Gong-yu.Surveying adjustment［M］.Beijing:Survey Press，1991.(in Chinese)

［10］ Phillips C，Cornelius B.Computational numerical methods［M］.Chichester:Ellis Horwood，1986:375.

［11］ Wang X，Clarke T A.Separate adjustment in close-range photogrammetry［J］.ISPRS Journal of Photogrammetry and Remote Sensing，2001，55(5 -6):289 -298.