電各向異性色散介質電磁散射時域有限差分分析的半解析遞推卷積方法*

王飛 魏兵

(西安電子科技大學物理系,西安 710071)

(2012年7月8日收到;2012年9月26日收到修改稿)

1 引言

近年來,等離子體與電磁波的相互作用受到了人們的廣泛關注.鑒于等離子體介質的色散特性以及實際問題的復雜性,其與電磁波的相互作用常常采用數值的方法進行分析.時域有限差分( finite difference time domain,FDTD)方法長于處理復雜介質的電磁問題,因此常采用FDTD方法仿真等離子體與電磁波的相互作用.文獻中處理各向同性色散介質電磁問題的FDTD方法有：遞歸卷積(recursive convolution,RC)法[1]、分段線性遞歸卷積(piecewise linear recursive convolution,PLRC)法[2]、電流密度卷積(current density convolution,JEC)法[3]、分段線性電流密度遞歸卷積(piecewise linear current density recursive convolution,PLJERC)法[4,5]、輔助方程(auxiliary differential equation,ADE)法[6,7]、Z變換 (Z-transform)法[8-10]、移位算子(shift operator,SO)法[11]和半解析遞推卷積(semi-analytical recursive convolution,SARC)法[12]等.

外加磁場時等離子體介質具有電各向異性色散特性,因此對磁化等離子體問題,需要將上述算法推廣到各向異性色散介質情況.1992年Hunsberger等[13]將RC法推廣用于一維磁化等離子體情形.1994年Young[14]將直接積分(direct integration,DI)法推廣到磁化等離子體情形.2004年劉少斌等[15-17]先后將JEC法、PLJERC法、ADE法推廣到磁化等離子體情形并計算了磁化等離子體層的反透射.2007年楊利霞等[18]將RC法推廣用于一維磁化等離子體情形.

SARC算法是一種在數字信號處理(digital signal process,DSP)技術中被廣泛應用、建立在對輸入信號的線性插值理論基礎上的快速遞歸卷積算法,具有低復雜性、絕對穩定和良好的精度等優點,不僅適用于穩定系統,而且還適用于漸進穩定系統和非均勻網格情況的卷積遞歸計算[19,20].2009年張玉強和葛德彪[12]將SARC算法應用于處理各向同性色散介質.本文根據磁化等離子體介質電磁特性,將SARC算法推廣應用于磁化等離子體的FDTD分析.首先利用坐標系轉換矩陣給出實驗室系中磁化等離子體介質的頻域極化率張量,再采用部分分式展開方法通過傅里葉逆變換得到極化率張量的時域指數函數形式,最后在對電場強度采用線性插值近似基礎上應用SARC算法,給出適用于處理任意外磁場方向情形下磁化等離子體目標電磁散射的SARC-FDTD計算方法,并計算了非磁化和磁化等離子體球的后向RCS,與SO法和RC方法的結果符合得很好.數值結果表明,該方法是正確有效的.文中時諧因子取exp(jωt).

2 實驗室系中磁化等離子體的頻域極化率張量

磁化等離子體屬于電各向異性色散介質,其頻域電本構關系為

其中εr(ω)是磁化等離子體相對介電系數張量的頻域形式：

各向異性介質的本構參數與所選取的坐標系有關.磁化等離子體的極化率張量在外磁場坐標系(設為x′y′z′系)中有簡單的表達式,而電磁測量往往在實驗室坐標系(設為xyz系)下進行.下面根據外磁場系和實驗室系的轉換矩陣以及外磁場系中磁化等離子體相對介電系數張量,得到實驗室系中極化率張量的表達式.

建立外磁場直角坐標系：x′y′z′系,并令外磁場B0方向為z′軸正向,即軸正向單位矢,B0是B0的大小.設外磁場B0在實驗室直角坐標系(xyz系)中的方向角為θt,φt,如圖1所示.

圖 1 x′y′z′系和 xyz系

3 實驗室系中極化率張量的時域指數函數形式

由上可知,χ(ω)各個元素χαβ(ω)可寫成 jω的有理分式的真分式,可采用部分分式展開法展開為部分分式進行傅里葉逆變換.令

由 (14),(19)式可知χαβ(ω)的分母A(jω)有 4個單根,即A(jω)可寫為

4 磁化等離子體SARC-FDTD方法

最后可以將磁化等離子體的SARC-FDTD步進計算步驟總結如下：

1)由E→H,用(49)式計算;2)由E→ψ,用(45)式計算;3)由ψ,H→E,用(51)式計算;4)回到步驟1).

5 算例驗證及數值結果

圖2 等離子體球的后向RCS

當外加磁場平行于z軸時,設等離子體電子回旋頻率為ωce=3.0×1011rad/s.計算得到該磁化等離子體球的同極化以及交叉極化后向RCS,分別在圖3(a),(b)中用實線表示,作為比較圖3中同時給出RC-FDTD方法的結果[18](如圖3中圓圈所示),兩者符合得非常好.由于本文方法適用于處理任意磁化方向的等離子體目標,因此同時計算了外磁場沿x軸正向時該等離子體球的后向RCS(如圖3中五角星所示).

圖3 磁化等離子體球的后向RCS (a)同極化;(b)交叉極化

6 結論

將DSP技術中被廣泛應用的SARC方法應用于磁化等離子體介質的FDTD分析,首先利用坐標系轉換矩陣給出實驗室系中磁化等離子體介質的頻域極化率張量,再采用部分分式展開方法通過傅里葉逆變換得到極化率張量的時域指數函數形式,最后在對電場強度采用線性插值近似基礎上應用SARC算法,給出適用于處理任意外磁場方向情形下磁化等離子體目標電磁散射的SARC-FDTD計算方法,并采用該方法計算了非磁化和磁化等離子體球的后向RCS,與SO法和RC方法的結果符合得很好.數值結果表明,該方法是正確有效的.

[1]Luebbers R J,Hunsberger F,Kunz K S 1991IEEE Trans.Antennas Propagat.39 29

[2]Kelley D F,Lubbers R J 1996IEEE Trans.Antennas Propagat.44 792

[3]Chen Q,Katsurai M,Aoyagi P H 1998IEEE Trans.Antennas Propagat.46 1739

[4]Liu S B,Mo J J,Yuan N C 2004Acta Phys.Sin.53 778(in Chinese)[劉少斌,莫錦軍,袁乃昌2004物理學報53 778]

[5]Xu L J,Yuan N C 2005IEEE Microw.Wireless Compon.Lett.15 277

[6]Nickisch L J,Franke P M 1992IEEE Antennas Propagat.Mag.34 33

[7]Takayama Y,Klaus W 1994IEEE Microw.Wireless Compon.Lett.12 102

[8]Sullivan D M 1992IEEE Trans.Antennas Propagat.40 1223

[9]Sullivan D M 1995IEEE Trans.Antennas Propagat.43 676

[10]Sullivan D M 1996IEEE Trans.Antennas Propagat.44 28

[11]Ge D B,Wu Y L,Zhu X Q 2003Chin.J.Radio Sci.18 359(in Chinese)[葛德彪,吳躍麗,朱湘琴2003電波科學學報18 359]

[12]Zhang Y Q,Ge D B 2009Acta Phys.Sin.58 4573(in Chinese)[張玉強,葛德彪2009物理學報58 4573]

[13]Hunsberger F,Lubbers R J,Kunz K S 1992IEEE Trans.Antennas Propagat.40 1489

[14]Young L J 1994Radio Sci.29 1513

[15]Liu S B,Mo J J,Yuan N C 2004Acta Phys.Sin.53 783(in Chinese)[劉少斌,莫錦軍,袁乃昌2004物理學報53 783]

[16]Liu S B,Mo J J,Yuan N C 2004IEEE Microw.Wireless Compon.Lett.14 222

[17]Liu S B,Mo J J,Yuan N C 2004Acta Phys.Sin.53 2233(in Chinese)[劉少斌,莫錦軍,袁乃昌2004物理學報53 2233]

[18]Yang L X,Ge D B,Wei B 2007Acta Phys.Sin.56 4509(in Chinese)[楊利霞,葛德彪,魏兵2007物理學報56 4509]

[19]Janke W,Blakiewicz G 1995IEE Proc.Circuits Dev.Syst.142 125

[20]Pietrenko W,Janke W,Kazimierczuk M K 2001IEEE Trans.Circuits Syst.48 1246

[21]Ge D B,Yan Y B 2011Finite-Difference Time-Domain Method for Electromagnetic Waves(3th Ed.)(Xi’an：Xidian University Press)p259(in Chinese)[葛德彪,閆玉波2005電磁波時域有限差分法(第三版)(西安：西安電子科技大學出版社)第259頁]

[22]BiDX1985Electromagnetic Field Theory(Beijing：Publishing House of Electronics Industry)p434(in Chinese)[畢德顯1985電磁場理論(北京：電子工業出版社)第434頁]

[23]Kong J A 2002Electromagnetic Wave Theory(Beijing：Higher Education Press)p333