軟巖的動態力學本構模型＊

趙光明，謝理想，孟祥瑞

（1.重慶大學西南資源開發及環境災害控制工程教育部重點實驗室，重慶400044；2.安徽理工大學煤礦安全高效開采省部共建教育部重點實驗室，安徽 淮南232001）

在煤礦開采中，巖體常常受到動態載荷擾動，如掘進爆破、巖板斷裂等動力擾動，這些動力擾動常導致采場和巷道圍巖的局部失穩，誘發沖擊礦壓和瓦斯突出［1］。為了研究這些擾動對巖體產生的破壞機理以及如何采取合理的抗爆設計措施，需要充分掌握巖石在動載作用下的動態力學性能、本構關系，特別是巖石和巖體在動載作用下的本構關系，是研究應力波傳播規律和抗爆設計等所必需的資料［2］，因此研究軟巖材料的動態本構關系具有重要意義。

采用合理的本構模型是研究軟巖材料本構關系的關鍵，本構模型的精度在很大程度上決定著軟巖材料在動載作用下的計算結果是否正確反應其動態力學行為［3］。目前，影響最大的巖石動態本構模型是U.S.Lindholm 等［4］提出的過應力模型，但該模型中的物理參量并不明確。20世紀80年代，木下重教等［5］對巖石的動態力學性能進行測試，根據大量實驗結果，認為巖石的沖擊本構特性可以用賓厄模型來描述，該模型通常稱為過應力模型。于亞倫等［6］對過應力模型進行了改進，但是該模型的缺陷是不能反映彈性模量隨加載率變化的特征［7］。鄭永來等［8］在鮑埃丁流變模型的基礎上提出黏彈性連續損傷本構模型，該模型把整個模型認為是損傷的，即黏性元件也是可以損傷的，事實上黏性元件不具備損傷的特征，因此，該模型在物理概念上比較模糊。單仁亮等［7］對大理巖和花崗巖的本構特性進行了研究，根據其應力應變曲線的特點建立了沖擊時效損傷模型，但是，專門針對軟巖的本構模型還未見報道。

本文中，以泥巖和砂質泥巖2種典型的軟巖材料為研究對象，進行動態壓縮性能研究，根據其動態力學特性，在考慮現有模型的基礎上進行改進，引入一種適合軟巖材料的黏彈性統計損傷模型。

1 軟巖的SHPB實驗

1.1 SHPB實驗

以安徽兩淮礦區埋深1km 以下的泥巖和砂質泥巖典型軟巖為研究對象，利用小直徑SHPB 實驗系統［9］進行單軸壓縮力學性能研究，裝置如圖1所示。SHPB 桿直徑14.5 mm，入射桿長500 mm，透射桿長500mm，兩桿的彈性模量為210GPa，泊松比0.30，密度為7.85g／cm3，射彈長度為200mm，彈徑14.5mm。

圖1SHPB示意圖Fig.1SHPB setup

1.2 動態應力應變曲線分析

圖2 為泥巖和砂質泥巖在不同沖擊速度下的典型應力應變曲線。在圖2中，泥巖和砂質泥巖的動態應力應變曲線在初始的上升階段，其線性響應的變化及初始彈性模量變化表現出與泥巖相似的性質：應力應變曲線在初始的上升階段表現出非線性，應變率越低，非線性越強；隨著應變率的增加，初始彈性模量總體上表現出增加的趨勢，和應變率有相關性。達到屈服應力以后，泥巖和砂質泥巖的動態力學性能發生了變化：泥巖隨著變形的增加，首先達到極限應力（即單軸抗壓強），然后應力幅值有一個小的下降過程，隨后進入顯著的塑性變形階段，有的甚至出現一個塑性平臺，近似為理想塑性變形；隨著應變的增加，砂質泥巖應力幅值有一個小的下降過程，然后直接進入顯著塑性變形階段，極限應力前后有小的塑性變形部分，其塑性變形范圍小于泥巖的塑性變形范圍。塑性變形后，泥巖和砂質泥巖的應變雖然有一定程度的增加，但應力急劇下降，軟巖的全面破壞發生在這一階段。

圖2 泥巖和砂質泥巖不同應變率下的應力應變曲線Fig.2Stress－strain curves for mudstone and sandy mudstone at different strain rates

動載作用下的泥巖和砂質泥巖的應力應變曲線表現出顯著的應變硬化和塑性流動等復雜的動態力學特性，考慮現有的動態力學模型，朱－王－唐模型［10］能夠描述這種動態力學性能。由于巖石為非均質材料，內部存在缺陷，如巖礦顆粒邊界、微孔洞、微裂紋以及軟弱介質等，在沖擊荷載作用下的破壞應當考慮損傷的影響，因此需要對朱－王－唐模型進行改進，建立一種適合軟巖材料的動態力學模型。

2 軟巖的本構模型

2.1 朱－王－唐模型

該模型［10］由2個Maxwell體和1個非線性彈簧組成，其本構模型如圖3所示，本構方程為

2.2 改進的軟巖朱－王－唐模型

胡時勝等［11］在對混泥土材料進行動態力學性能研究時，對朱－王－唐模型進行簡化，并且考慮損傷的影響，建立損傷型線性黏彈性模型，但把整個模型看為損傷的，這也意味著黏性元件也是可以損傷的，因此物理概念上也存在模糊。為了克服以上缺點，本文中對朱－王－唐模型做進一步改進，利用黏彈性統計時效損傷模型中的損傷體代替朱－王－唐模型中非線性彈簧，引入黏彈性統計損傷模型。

圖3 朱－王－唐模型Fig.3 Zhu－Wang－Tang model

黏彈性統計損傷模型包括2個Maxwell體和1個損傷體，如圖4所示，2個Maxwell體一個用來描述松弛時間為φ1 的低應變率時的黏彈響應，另一個用來描述松弛時間為φ2 的高應變率時的黏彈響應，損傷體用來描述巖石材料內部的缺陷在動載作用下的巖石造成損傷的動態力學響應。

對于損傷體D 在損傷前認為是線彈性的，平均彈性模量為ED，強度服從參數為（m，α）的Weibull分布，對于損傷體，

圖4 黏彈性統計損傷模型Fig.4 Viscoelastic statistical damage model

式中：εD為損傷體應變，σD為損傷體的應力，由式（2）～（3）得

對于Maxwell體φ1，由串聯可得

式中：σ1、σ11、σ12分別為Maxwell體φ1 的總應力、彈性元件分應力、黏性元件的分應力，ε1、ε11、ε12為各應力所對應的應變。

由于

由式（7）～（9）可得

將式（5）代入式（10），得

式中：S 為拉氏變換中的復變量。

將初始條件σ1（0）＝0，ε1（0）＝0代入式（12），得

將式（13）化簡整理得

對式（14）進行拉普拉斯逆變換，可得

將上式化簡整理得

同理可得Maxwell體φ2 的應力表達式

由于2個Maxwell體和損傷體并聯，所以可得到

對式（20）求導，得

由式（4）和式（17）～（21）可得

式（22）可以用來描述軟巖材料在受到動載荷發生破壞前的應力應變曲線本構關系。

3 本構模型在實驗中的應用

由于極限應力之后，巖石試件在裂紋處發生破壞，導致應力急劇下降，這時由SHPB沖擊實驗得到的應變并不是巖石材料的真實應變，本文中采用式（22）的本構方程對極限應力以前的應力應變曲線進行擬合，在擬合時，應變率取反射波近似為平臺部分所計算的平均應變率。圖5～6分別為泥巖和砂質泥巖在不同應變率下的擬合曲線，表1～2分別為泥巖和砂質泥巖在不同應變率下的擬合參數結果。

圖5 泥巖在不同應變率下的應力應變曲線Fig.5Stress－strain curves for mudstone at different strain rates

表1 泥巖在不同應變率下的擬合參數Table 1 Fitting parameters for mudstone at different strain rates

表2 砂質泥巖在不同應變率下的擬合參數Table 2 Fitting parameters for sandy mudstone at different strain rates

從圖5～6中2種軟巖的擬合結果可以發現，擬合曲線和實測曲線具有較好的一致性，說明此模型適用于軟巖材料動態力學本構關系。從各組擬合參數結果發現，參數m 的值在1.5左右變化，α 的值進行開m 次方會在屈服應力對應的屈服應變附近變化。泥巖和砂質泥巖材料的松弛時間不是常數，兩種巖石反映低應變率響應的松弛時間φ1 的值與混凝土［11］和無煙煤［12］相比，其值相差不大，說明巖石、混凝土、無煙煤對低應變率的響應具有一致性；兩種巖石反映高應變率響應的松弛時間φ2 的值與混凝土和無煙煤相比，其值相差較大，說明巖石、混凝土、無煙煤對高應變率的響應具有敏感性。

4 結 論

（1）泥巖和砂質泥巖在動載作用下有顯著的應變硬化和塑性流動等復雜的動態力學特性。泥巖和砂質泥巖的應力應變曲線在極限應力之前，表現出非線性，應變率越小，非線性越強；泥巖的初始彈性模量隨著應變率的增加，總體上表現出增加的趨勢，與應變率有相關性。

（2）采用損傷體黏彈性統計損傷模型能夠很好地描述對砂質泥巖材料高低應變率的響應，同時擬合曲線和實測曲線具有很好的一致性。

（3）巖石材料對低應變率的響應具有一致性，對高應變率的響應具有敏感性。

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