柱形爆炸容器安全概率的區間估計＊

劉 鈺，韓 峰，董 楠，陸希成，雷 鳴

（西北核技術研究所，陜西 西安710024）

爆炸容器用于封閉高能炸藥的爆炸效應，限制爆炸沖擊波和爆炸產物的作用范圍，對人員和設備實現有效防護，便于實驗觀測和測試的安全，并保護環境。爆炸容器的優異性能使其廣泛應用于爆炸加工、科學研究、特種物質運輸、新材料研制等多個領域［1］。由于爆炸容器需要承受一定當量的爆炸沖擊波和封閉爆炸產物，所以應關注爆炸容器的安全性。

當前爆炸容器的設計主要采用工程設計、數值模擬、實驗驗證的思路。一般的容器設計方法，是在給定的爆炸載荷條件下，計算容器需要承載的最大載荷并增加一定的安全裕量，進而確定容器的壁厚，最后通過實驗評估容器的安全性。如常用的動力系數法［2－3］，或基于塑性變形的設計方法［4］。但爆炸容器實驗裝置是一個復雜系統，在研制和實驗過程中不可避免地會受到各種隨機因素的影響，如爆炸載荷和屈服強度等［5－6］。上述確定性設計方法中，沒有考慮影響容器安全的不確定性因素，會使容器安全裕量設計得過大且實驗成本較高。而基于隨機性分析的爆炸容器安全評判方法，可以分析并量化隨機因素對爆炸容器安全的影響，進而估計爆炸容器的安全概率。

本文中，基于爆炸容器安全的概率評判方法，研究爆炸容器的安全概率區間估計問題，并以柱形容器為例，給出計算容器安全概率區間估計的一般方法。

1 數值模擬結果的統計分析

1.1 實驗對象及數值計算

在本文的數值計算中，爆炸裝置爆炸后的狀態及產生的力學效應和爆炸產生的力學效應與周圍介質的相互作用，被作為一個整體使用動力學分析軟件進行研究，爆炸及其力學效應使用Euler方法描述，容器及其他結構的變形采用Lagrangian方法描述，相互之間的作用采用流固耦合技術處理［7］。由于單層柱形容器結構相對簡單，有利于研究在不同當量TNT 炸藥爆炸下變形和破壞的概率，選擇某單層柱形容器作為研究對象，其剖面結構示意圖如圖1所示。

圖1 柱形容器結構示意圖Fig.1Sketch of cylindrical vessel structure

炸藥的半徑和長度取決于當量，容器內半徑為6cm、厚度1cm、半長30cm。在8種不同TNT 炸藥當量下，對質量比內能及切線模量進行了拉丁超立方抽樣，獲得了100組計算參數，并計算得到了數值模擬結果，即變形量xr的隨機樣本，部分數據的直方圖如圖2所示。

圖2 部分爆炸當量下容器徑向變形量直方圖Fig.2 Histogram of radial distortion of the vessel with different TNT equivalentce

1.2 數值計算結果的概率分布檢驗

從直方圖觀察，可以假設xr服從正態分布、對數正態分布、Beta分布以及Weibull分布，然后對給定的顯著性水平α，通過柯爾莫哥洛夫檢驗法［8］（KS檢驗）對徑向變形量數據進行分布檢驗。原假設為

式中：Xi表示樣本。

檢驗方法是使用KS統計量Dn與檢驗臨界值Dn，α進行比較，若Dn＞Dn，α，則拒絕H0，否則接受H0。其中檢驗統計量Dn是樣本順序統計量X（i）頻數分布與假設分布偏差的最大值，再通過計算得到臨界值Dn，α。在顯著性水平為α＝0.01下，對不同TNT 當量WTNT徑向變形量數據進行了分布檢驗，如表1所示。

表1 置信度1－α ＝0.99和樣本量n ＝100時KS檢驗結果Table 1 The results of KS test with the confidence 1－α ＝0.99 and sample size n ＝100

從表1可見，除了Weibull分布檢驗P 值明顯較小外，其他3種分布都可以描述各當量下徑向變形量數據的不確定性。但是，正態分布的檢驗P 值是幾種分布中最大的，因此，徑向變形量數據服從正態分布的可能性最大。在此基礎上，可以進一步通過Lilliefors檢驗法［8］對徑向變形量數據進行正態性檢驗。原假設為

表2 置信度1－α ＝0.99和樣本量n ＝100時Lilliefors檢驗結果Table 2 The results of Lilliefors test with the confidence 1－α ＝0.99 and sample size n ＝100

這樣，經過KS檢驗以及Lilliefors檢驗，認為徑向變形量數據是服從正態分布的。對于未知總體的概率分布估計問題，還可以使用最大熵方法進行估計［9］。

1.3 正態分布參數區間估計

設爆炸容器變形量xr服從N（xr，μ，σ）分布，其概率密度函數為

式中：μ 和σ 為分布參數，且σ ＞0［10］。

在考慮置信度要求下，一般使用參數的區間估計方法。對于正態分布，該總體的均值μ 和方差σ2都未知［11］，則在置信水平為1－α 下，μ 的區間估計為

σ2的區間估計為

1.4 安全概率P（D）的區間估計

對任意給定的變形量D，安全概率P（D）服從正態分布，分布參數為μ 和σ，可以通過參數μ 和σ的區間估計來分析P D（）的置信區間。

分析正態分布函數隨參數σ（或μ）的變化情況，如圖3（a）所示，如果隨機變量x ＞μ0，則概率是參數σ 的減函數；如果x ≤μ0，則概率）是參數σ 的增函數。同理可分析，圖3（b）顯示，概率P （x ，μ ，σ0）是參數μ 的減函數。

圖3 正態分布隨單參數變化規律示意圖Fig.3 Plot of normal CDF with the change of single parameter

在雙參數坐標空間內，對給定隨機變量x0，當μ ＜x0時隨參數σ 增大而減小，隨參數μ 增大也減小；當μ≥x0時，P （x0，μ，σ）隨參數σ增大而增大，隨參數μ增大仍減小，這與前面的分析結果是一致的。從而可以看出P （x ，μ，σ）在μ 和σ 的取值空間上關于x 是單調遞增的，如圖4所示。

圖4 正態分布隨雙參數變化規律示意圖Fig.4Surface plot of normal CDF with the change of both parameters

由于x 在參數μ的兩側時，P （x）與參數的單調性關系是不同的，參數μ又在區間上變化，根據x 和μ 的大小關系，可以分段給出P（x）的上、下限函數

則由式（6）～（8）可計算得到，在置信度1－α 下，安全概率P D（）的置信區間為［PLD（），PUD（）］。

P（x）的函數圖像如圖5所示。圖5（a）為不同參數組合下P D（）函數的圖像，其中aL、aU分別表示分布參數的上、下界。圖5（b）是圖5（a）中曲線的包絡，圖中標出了在D 取值不同時，不同參數組合下P D（）函數的上、下限。同樣，也可以通過優化方法計算P D（）的區間估計。

圖5 在置信度為1－α ＝0.95下，P（D）的上、下限函數圖Fig.5 The upper and lower limits curve of the P（D）with the confidence intervals 1－α ＝0.99

2 柱形容器安全概率的區間估計

根據以上統計分析方法，可以對柱形容器在不同TNT 爆炸當量下，100組容器徑向變形量數值模擬數據進行統計分析。

對于給定變形量要求D ＝15%，在置信度1－α ＝0.95 下，考察徑向變形量xr＜D 的概率的置信區間為，結果如表3所示。

表3 置信度1－α ＝0.95時安全概率P（15%）的置信區間Table 3 The confidence intervals of the security probability P（15%）corresponds to1－α ＝0.95

顯然，對于給定變形量D＝15%，在置信度1－α＝0.95下，隨爆炸TNT 當量變化，柱形容器徑向變形量xr＜15%的概率具有明顯變化。那么可以反過來考察，如果要求在置信度1－α＝0.99下，對不同當量TNT 爆炸，柱形容器徑向變形量xr不超過Di（i＝1，2，…，8）的概率下限PL（Di）＝0.999，則可以計算出不同當量下的Di，如表4所示。

表4 安全概率PL（Di）＝0.999對應的給定變形量Table 4 The radial distortion threshold corresponding to the security probability PL（Di）＝0.999

此時各當量下，徑向變形量以最小有99.9%的概率小于Di，且這個結論的置信度為99%，這樣的結論已經是相當可靠的了，那么此時計算得到給定變形量的下限可以作為衡量實驗安全的判據。

3 結 論

綜上所述，在爆炸容器設計完成后，該容器安全概率的區間估計與爆炸載荷具有一定的相關性：

（1）TNT 當量與Di是近似線性的，說明炸藥當量越大，徑向變形量上限也越大，容器安全性越低，如圖6所示。

（2）隨著TNT 當量的增大，容器的安全概率將逐漸降低，對應的（在一定置信度下）概率上下限也逐漸降低，且分散性（不確定性）增大，如圖7所示。

圖6 TNT 當量與徑向變形量的關系圖Fig.6 The relation between the radial distortion and TNT equivalence

圖7 TNT 當量與安全概率的關系圖Fig.7 The relation between the security probability and TNT equivalence

本文在爆炸容器數值計算中考慮了主要計算參數的隨機性，并通過Monte－Carlo方法獲得了計算結果的隨機樣本，取代了以往單一的、確定性數值計算結果，能夠更客觀地反映真實的物理過程。應用統計分析方法對柱形容器爆炸后徑向變形量的不確定性進行了定量描述，給出了在一定置信度下容器安全概率的區間估計。

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